章节题目 第八节微分在近似计算中的应用 算函数增量的近似值 计算函数的近似值 内/误差估计 容提要 计算函数的近似值 重点分析 计算函数的近似值 难点分析 154:4、5(1)、8(1)、12 题布置 备注
1 章 节 题 目 第八节 微分在近似计算中的应用 内 容 提 要 计算函数增量的近似值 计算函数的近似值 误差估计 重 点 分 析 计算函数的近似值 难 点 分 析 计算函数的近似值 习 题 布 置 P154：4、5（1）、8（1）、12 备 注
教学内容 计算函数增量的近似值 着y=f(x)在点x处的导数(x)≠0,且A很小时 Ny-dl-n=f(x),△x 例1￥10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了00厘米 问面积增大了多少? 解:设A=m2,r=10厘米,N=005厘米 ∴AA4≈d=2m·Mr=2×10×005=x(厘米2) 二、计算函数的近似值 求f(x)在点x=x附近的近似值; Ay=f(x0+Ax)-f(x0)≈f(x)△x f(x0+△x)≈f(x)+f(x),△x.(A对很小时) 例1计算cos60°30的近似值 解:设f(x)=cosx,∴f(x)=-sinx,(x为弧度) cos60°30=cos(+ )≈cos-sn 3360 ≈0.4924 22360 2求f(x)在点x=0附近的近似值; 令x0=0.,△x=x∵:f(x+Ax)≈f(x)+f(x)Ax, ∫(x)≈f(0)+f(0)·x 常用近似公式(x很小时)
2 教 学 内 容 一、计算函数增量的近似值 ( ) ( ) 0, , 若y = f x 在点x0处的导数f x0 且x很小时 0 0 x x dy x x y = = ( ) . 0 = f x x 例 1 ? 10 , 0.05 , 问面积增大了多少 半径 厘米的金属圆片加热后 半径伸长了 厘米 解： , 2 设A =r r =10厘米, r = 0.05厘米. A d = 2rr = 2 100.05 ( ). 厘米2 = 二、计算函数的近似值 1. ( ) ; 求f x 在点x = x0附近的近似值 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ( ) . 0 f x x ( ) ( ) ( ) . 0 0 0 f x + x f x + f x x (x很小时) 例 1 计算cos60 30的近似值. o 解： 设f (x) = cos x, f (x) = −sin x, (x为弧度) , 360 , 3 0 x = x = . 2 3 ) 3 , ( 2 1 ) 3 ( = = − f f ) 3 360 cos60 30 cos( = + o 3 360 sin 3 cos − 2 360 3 2 1 = − 0.4924. 2.求f (x)在点x = 0附近的近似值; 0, . 0 令 x = x = x ( ) ( ) ( ) , 0 0 0 f x + x f x + f x x f (x) f (0) + f (0) x. 常用近似公式 ( x很小时)
(1)31+x≈1+-x,(2)sinx≈x(x为弧度) (3)tanx≈x(x为弧度)(4)e≈1+x (5)ln(1+x)≈x 证明:(1)设f(x)=小+x,f(x)=(1+x)”,f(0)=1,f(O)=n f(x)≈f(0)+f(0)x=1+ 例2计算下列各数的近似值 (1)998.5;(2) 1.5 解:()V985=1000415=1000)=10N1-00015 1000 ≈10(1-×0005=9995 (2)e0≈1-0.03=097 三、误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响,测得的数据 往往带有误差,而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差,我们把它叫 做间接测量误差 定义,如果某个量的精度值为A它的近似值为a那末-a叫做 a的绝对误差 而绝对误差与的比值叫做的相对误差 问题在实际工作中绝对误差与相对误差无法求得? 办法将误差确定在某一个范围内 又知道它的误差不超过6,即A-a≤6,那末δ叫做测量A的 绝对误差限,而叫做测量A的相对误差限 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差 例3 正方形边长为241±0005米,求出它的面积,并估计 绝对误差与相对误差 解:设正方形边长为x,面积为y,则y=x
3 (5) ln(1 ) . (3) tan ( ); (4) 1 ; ; (2)sin ( ); 1 (1) 1 1 x x x x x e x x x x x n x x n + + + + 为弧度 为弧度 证明： (1) ( ) 1 , n 设 f x = + x (1 ) , 1 ( ) 1 1 − = + n x n f x . 1 (0) 1, (0) n f = f = f (x) f (0) + f (0)x 1 . n x = + 例 2 计算下列各数的近似值. (1) 998.5; (2) . 3 −0.03 e 解： 3 3 (1) 998.5 = 1000 −1.5 3 ) 1000 1.5 = 1000(1− 3 =10 1−0.0015 0.0015) 3 1 10(1− = 9.995. (2) 1 0.03 0.03 − − e = 0.97. 三、误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据 往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫 做间接测量误差. 定义： . , , 的绝对误差 如果某个量的精度值为 它的近似值为 那末 叫做 a A a A − a 而绝对误差与 的比值 叫做a的相对误差. a A a a − 问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得? 办法:将误差确定在某一个范围内. , . , , 绝对误差限 而 叫做测量 的相对误差限 又知道它的误差不超过 即 那末 叫做测量 的 A a A a A A A A A − 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差. 例 3 . 2.41 0.005 , , 绝对误差与相对误差 正方形边长为 米 求出它的面积 并估计 解： 设正方形边长为x,面积为y,则 . 2 y = x
釭=24l时,y=(241)2=58081(m2) y1241=2xx24=482 边长的绝对误差为δ=0.005 面积的绝对误差为6=482×0005=0241(m2) 6 面积的相对误差为 0.0241 ≈0.4% 5.8081 四、小结 近似计算的基本公式当A很小时, Ayles%o s dyess=f(x)△x f(x)=f(xo)+f(xo) (x-xo), 当x=0时,f(x)≈f(O)+f(0),x
4 当x = 2.41时, (2.41) 5.8081( ). 2 2 y = = m =2.41 = 2 =2.41 x x y x = 4.82. = 0.005, 边长的绝对误差为 x 面积的绝对误差为 y = 4.820.005 0.0241( ). 2 = m y 面积的相对误差为 y 5.8081 0.0241 = 0.4%. 四、小结 近似计算的基本公式 当x很小时, 0 0 x x dy x x y = = ( ) . 0 = f x x ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 0 f x f x + f x x − x 当x = 0时, f (x) f (0) + f (0) x