章节题目 第九节曲率 弧微分公式 曲率定义与计算 内|曲率圆与曲率半径 容提要 曲率的定义及其计算 重点分析 曲率的定义 难点分析 P 题布置 备注
1 章 节 题 目 第九节 曲率 内 容 提 要 弧微分公式 曲率定义与计算 曲率圆与曲率半径 重 点 分 析 曲率的定义及其计算 难 点 分 析 曲率的定义 习 题 布 置 P223：2、3 备 注
教学内容 弧微分 设函数f(x)在区间a,b)内具有连续导数基点:A(x,y) M(x,y)为任意一点, R 规定:(1)曲线的正向与x增大的方向一致 (2)AM=当A的方向与曲线正向一致时,s取正号 相反时,s取负号 单调增函数s=s(x).如图,设N(x+Ax,y+△y) M<MN<M1+M当Ax→0时, MN=V(△x)2+(△y) MN Mr=v(x)+(dy)'=V1+y2ldx M=4y-d→0故=1+y2 s=s(x)为单调增函数, 故d=√1+y2dx,(弧微分公式) 二、曲率及其计算公式 1曲率的定义:曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量
2 教 学 内 容 一、弧微分 设函数f (x)在区间(a,b)内具有连续导数. : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定： (1)曲线的正向与x增大的方向一致; , . (2) , , , 相反时 取负号 当 的方向与曲线正向一致时 取正号 s AM = s AM s 单调增函数 s = s(x). 如图， 设N(x + x, y + y), MN MN MT + NT 当x →0时, 2 2 MN = (x) +(y) x x y = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx MN = s → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y dx NT = y −dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx （弧微分公式） 二、曲率及其计算公式 1.曲率的定义：曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 N R T A 0 x M x x+x x y o
弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大 设曲线C是光滑的, M′ S M 0 M0是基点MM1=,M→M切线转角为△a 定义:弧段M的平均曲率为K=曲线C在点M处的曲率 K=lm/ 4al 在im △ada 存在的条件下 注意 (1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数且半径越小曲率越大 2曲率的计算公式 设y=f(x)阶可导tna=y,有a= arctan y,d=,)ax d=√1+y2d.∴k (1+y
3 设曲线 C 是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定 义 ： . s MM K = 弧段 的平均曲率为 曲 线 C 在 点 M 处的曲率 s K s = → 0 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . ds d K = 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大. 2.曲率的计算公式 设y = f (x)二阶可导,tan = y , 有 = arctan y , , 1 2 dx y y d + = 1 . 2 ds = + y dx . (1 ) 2 3 2 y y k + = M1 M3 ) 2 M2 S2 S1 M M 1 S S2 N N ) 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1 ) ) + S S ) . M . M C M0 y o x
设 jx=g(口) 二阶可导 y=v() dy y(o dy p(oy(o-o(Ow'(t) dx () p(y()-g(y( [q2(m)+y2() 例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解:y=2ax+b,y"=2a,∴k= 1+(2ax+b)]2 显然,当x 2G时,最大又(b_62-4)为抛物线的顶点 抛物线在顶点处的曲率最大 例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时,若接头处的曲率突然改变,容易发生 事故,为了行驶平稳,往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段(如 图使曲率连续地由零过渡到(R为圆弧轨道的半径) R 通常用三次抛物线y6x,x∈[0,x作为缓冲段OA,其中1 为OA的长度,验证缓冲段OA在始端O的曲率为零,并且当很 小(1<1)时,在终端A的曲率近似为1 R R llIlIllIlllIlIllIlI C(x0,0) 证:如图
4 , ( ), ( ), 设 二阶可导 = = y t x t , ( ) ( ) t t dx dy = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − = . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k + − = 例 1 ? 抛物线 y = ax 2 +bx + c 上哪一点的曲率最大 解： y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + + = 显然, , 2 当 时 a b x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b − − − 抛物线在顶点处的曲率最大. 例 2 ( ). 1 ), ( , 图 使曲率连续地由零过渡到 为圆弧轨道的半径 事故，为了行驶平稳，往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段 如 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处的曲率突然改变 容易发生 R R . 1 ( 1) , [0, ] 6 1 0 3 R A R l R l OA OA O x x x OA l Rl y 小 时，在终端 的曲率近似为 为 的长度，验证缓冲段 在始端 的曲率为零 并且当 很 通常用三次抛物线 ， ．作为缓冲段 ，其中 = 证：如图 x y o R ( , ) 0 0 A x y ( ,0) 0 C x l
x的负半轴表示直道,OA是缓冲段AB是圆弧轨道在缓冲段上 2Ry=x.在x=0处y=0,y”=0, 故缓冲始点的曲率k=0.实际要求l≈x 有y=0=2R02R2R RI RI R 故在终端的曲率为k=-2 R x=To (1+,n) 4R2 1、略去二次项 得kA 三、曲率圆与曲率半径 定义: 设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为k(k≠0)在点M处的 曲线的法线上,在凹的一侧取一点D使围DMk p以D为圆 心p为半径作圆(如图)称此圆为曲线在点M处的曲率圆 y=f(x) D---曲率中心,p---曲率半径 注意 1曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数 即 k k 2曲线上一点处的曲率半径越大曲线在该点处的曲率越小曲线越平坦;曲率半径 越小,曲率越大曲线越弯曲
5 x的负半轴表示直道，OA是缓冲段, AB是圆弧轨道. 在缓冲段上, , 2 1 2 x Rl y = . 1 x Rl y = 在x = 0处, y = 0, y = 0, 0. 故缓冲始点的曲率 k0 = 实际要求 , 0 l x 2 0 2 1 0 x Rl y 有 x=x = 2 2 1 l Rl , 2R l = 0 1 0 x Rl y x=x = l Rl 1 , 1 R = 故在终端A的曲率为 0 2 3 2 (1 ) A x x y y k = + = 2 3 2 2 ) 4 (1 1 R l R + 1, R l , 4 2 2 R l 略去二次项 . 1 R k 得 A 三、曲率圆与曲率半径 定义： , ( ), . . 1 , , ( ) ( , ) ( 0). 心 为半径作圆 如图 称此圆为曲线在点 处的曲率圆 曲线的法线上 在凹的一侧取一点 使 以 为圆 设曲线 在点 处的曲率为 在点 处的 M D k D DM y f x M x y k k M = = = D−−−曲率中心, −−−曲率半径. 注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数. . 1 , 1 = k = k 即 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径 越小,曲率越大(曲线越弯曲). D y = f (x) M k 1 = x y o