章节题目 第二节函数的和、差、积、商的求导法则 函数的和、差、积、商的求导法则 内容提要 函数的积、商的求导法则 分段函数求导 重点分析 分段函数在分段点处可导的判定、及其导数的求法 难点分析 习题布置 110:2(单)、3(单)、5 备注
1 章 节 题 目 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 内 容 提 要 函数的和、差、积、商的求导法则 重 点 分 析 函数的积、商的求导法则 分段函数求导 难 点 分 析 分段函数在分段点处可导的判定、及其导数的求法 习 题 布 置 P110：2（单）、3（单）、5 备 注
教学内容 和、差、积、商的求导法则 如果函数u(x),v(x)在点x处可导,则它们的和、差、积、 商(分母不为零)在点x处也可导,并且 (1)(x)±(x)='(x)±v(x) (2)[u(x)·v(x)=l'(x)v(x)+l(x)v(x) G)ru(x)yu(x)v(x)-u(x)v(x) (v(x)≠0) 证(1)、(2)略 证(3)设f(x)=-,(v(x)≠0 u(x+h)u(x) f(x)=lim f(x+h-f(x) =lim v(x+) v(x) h h lim u(x+h)v(x)-=u(x)v(x+h) (x+h)v(xh lim Lu(x+h)-u(xlv()-u(x)Lv(x+h)-v()1 h→0 v(x+h)v(x)h u(x+h-u(x) v(x)-u(x) v(x+h)-v(x) =lm h h v(x+hv(x) l(x)(x)-u(x)(x) [v(x)2 f(x)在x处可导 推论 ()D∑(x)=∑f(x (2)[Cf(x)=C(x)
2 教 学 内 容 一、和、差、积、商的求导法则 定理： 商 分母不为零 在点 处也可导 并且 如果函数 在点 处可导 则它们的和、差、积、 ( ) , ( ), ( ) , x u x v x x ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) (3)[ (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); 2 − = = + = v x v x u x v x u x v x v x u x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x 证(1)、(2)略. 证(3) , ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) = v x v x u x 设 f x h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h v x u x v x h u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 − + + = → v x h v x h u x h v x u x v x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − + = → v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h + + − − + − = → 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) v x u x v x −u x v x = f (x)在x处可导. 推论： (1) [ ( )] ( ); 1 1 = = = n i i n i i f x f x (2) [Cf (x)] = Cf (x);
(3)[∏f(x)=f1(x)(x)…f,(x)+…+f(x)1(x)…(x) ∑∏f(x)f(x) 例题分析 例1求y=x3-2x2+sinx的导数 解:y=3x2-4x 例2求y=sn2xhx的导数 ∴y=2snx·cosx·inx y'=2cos x cosx.In x +2sin x(sin x).In x +2sin xcosx =2coS 2x Inx+-sin 2x 例3求y=tanx的导数 解:y2=(anxy=(温xy=(snx)cosx-smx(osx) COS x cos2x cos x+sin x = sec x 即(tanx)=sec2x 同理可得(cotx)=-csc2x 例4求y=secx的导数 SIn x 解:y3=(secx)y=( sec x tan x cos x cos x COs x 同理可得(cscx)=- csc x cot x 例5求y= sinh x的导数 A: y=(sinh x)=[(ereI=-(e+e)=cosh x 同理可得( cosh x)'= sinh x( tanh x)=
3 ( ) ( ); (3) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 = = = = + + = ni nk i k i k n n ni i f x f x f x f x f x f x f x f x f x 二、例题分析 例 1 2 sin . 求 y = x3 − x2 + x的导数 解 ： 2 y = 3 x − 4 x + cos x . 例 2 求 y = sin 2 xln x的导数. 解 y = 2sin x cos x ln x y = 2cos x cos x ln x + 2sin x ( −sin x )ln x x x x 1 + 2sin cos sin 2 . 1 2cos 2 ln x x = x x + 例 3 求 y = tan x的导数. 解 ： ) cos sin = (tan ) = ( xx y x x x x x x 2 cos (sin )cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos1 = = (tan ) sec . 2 即 x = x 同理可得 (cot ) csc . 2 x = − x 例 4 求 y = sec x的导数. 解 ： ) cos1 = (sec ) = ( x y x xx 2 cos − (cos ) = xx2 cos sin = = sec x tan x . 同理可得 (csc x ) = −csc x cot x. 例 5 求 y = sinh x的导数. 解 ： ( ) ] 21 = (sinh ) = [ − x −x y x e e ( ) 21 x x e e − = + = cosh x . 同理可得 (cosh x ) = sinh x x x 2 cosh1 (tanh ) =
例6设f(x)= 0 (1+x)x≥0求f(x) 解:当x<0时,f(x)=1,当x>O时, ln(1+x+h)-h(1+x) h f(x)=lin =lm,h(1+ h 1+x1+x x=0时,(0)=mn (0+h)-n(1+0) h ∫(0)=lim ln[1+(0+h)-ln(1+0 f(0)=1 1, < f'(si+r'x>0 三、小结 注意:[(x)v(x)≠(x)+(x/(习≠“(x) 分段函数求导时,分界点导数用左右导数求 思考题 求曲线y=2x-x3上与x轴平行的切线方程 思考题解答 y=2-3x2,令y=0→2-3x2=0 切点为 55)(1-) 所求切线方程为y9 和
4 例 6 , ( ). ln(1 ), 0 , 0 ( ) f x x x x x f x + 设 = 求 解：当x 0时, f (x) =1, 当x 0时, h x h x f x h ln(1 ) ln(1 ) ( ) lim 0 + + − + = → ) 1 ln(1 1 lim 0 x h h h + = + → , 1 1 + x = 当x = 0时, h h f h (0 ) ln(1 0) (0) lim 0 + − + = − → − =1 h h f h ln[1 (0 )] ln(1 0) (0) lim 0 + + − + = + → + =1 f (0) =1. . , 0 1 1 1, 0 ( ) + = x x x f x 三、小结 注意: [u(x)v(x)] u (x) + v (x); . ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ v x u x v x u x 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 思考题 求曲线 3 y = 2x − x 上与 x 轴平行的切线方程. 思考题解答 2 y = 2−3x ， 令 y = 0 2 3 0 2 − x = 3 2 x1 = ， 3 2 x2 = − 切点为 9 4 6 , 3 2 ， − − 9 4 6 , 3 2 所求切线方程为 9 4 6 y = 和 9 4 6 y = −