上海交通大学：《现代控制理论（B类）》教学资源（PPT课件）第五章 最小实现

式中，1，与0是pxp单位阵与零阵 A是pxp阵，它由r列r行pxp阵组成 B是P×p阵，它由r列pxP阵组成 C是9×p阵，它由”行9×P阵组成 (证略) 式(5一5)的实现称为的能控性实现。 必须指出，定理5一1仅适用于G(s)的实现具有式（⑤一1）的状态空间 描述，这类系统称为正常系统。已有学者提出，若G(s)不是正则 的，也存在实现，其实现具有如下形式 Ex(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t) 式中E为奇异阵。 这种形式的系统称为广义系统，或奇异系统。 本课程仅研究正常系统。 6

6 式中， 与 是 单位阵与零阵 是 阵，它由 列 行 阵组成 是 阵，它由 列 阵组成 是 阵，它由 行 阵组成 (证略) 式(5—5)的实现称为的能控性实现。 p I 0 p p A rp rp r B rp p C q  rp r q p p p r p p r 必须指出，定理5－1仅适用于 的实现具有式(5－1)的状态空间 描述，这类系统称为正常系统。已有学者提出，若 不是正则 的，也存在实现，其实现具有如下形式 G(s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t y Cx Du Ex Ax Bu      式中 为奇异阵。 这种形式的系统称为广义系统，或奇异系统。 本课程仅研究正常系统。 G(s) E

例5-1求下列G(s的实现 S+2 1 G(S)= S+1 S+3 S+1 S+1 S+2 G(s)是双输入双输出。 G(s)=Gp(s)+G(∞) 1 s+1 S+3 10 01 S+1 5+2 G(s)所有子式的首一最小公分母 d(s)=(s+1)s+2)(s+3)=s3+6s2+11s+6 G,-9高N。N+N+N] owe2wa+9][6 7

7 例5-1 求下列 G(s的) 实现              2 1 1 3 1 1 2 ( ) s s s s s s s G s G(s)是双输入双输出。                        0 1 1 0 2 1 1 1 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) s s s s s s G Gsp G Gsp (s)所有子式的首一最小公分母 ( ) ( 1)( 2)( 3) 6 11 6 3 2 d s  s  s  s   s  s  s                                             6 3 6 2 5 3 5 4 1 1 1 1 ( 1)( 2)( 3) 1 [ ] ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 s s s s s s s s d s d s s s r r r r sp N N N N N G 1 2 

得 x1=6,a2=11,a3+6 w,日N[6 G(s)的实现是 0 01 00 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 文= x+ 0 0 0 0 0 1 00 -6 0 -11 0 -6 0 10 0 -6 -11 0-6 01 6 2 11( J= -1x+0/ x+ -6 -3 G(s)是2×2矩阵，而上述实现是6维的。 如果将上例的传递函数阵写成 G(s)=[G,s)G2s)] 分别求出G,s)和G,s)的实现，Gs)的实现就是这两个实现的直帮

8 6 , 11, 6  1   2   3                          6 3 6 2 5 3 5 4 1 1 1 1 1 2 N 3 N , N , y x u x x u                                    0 1 1 0 6 3 5 3 1 1 6 2 5 4 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 11 0 6 6 0 11 0 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0  得 G(s)的实现是 G(s)是 22矩阵，而上述实现是6维的。 如果将上例的传递函数阵写成 G( )  G ( ) G ( )  1 2 s  s s 分别求出G1 (s)和 G2 (s)的实现， G(s)的实现就是这两个实现的直和

1 G1(s)= G2(S)= S+2 G(s)的实现是 x1=-X1+山1 [小*da G2(s)的实现是 G(s)的实现是 Γ-10 0 文=0 0 1+00 山1 0 -6 - 2 1 这是一个3维的实现。 可见，同一个G(s)可以得到不同维数的实现。 9

9              10 213 1 , ( ) 01 111 1 ( ) 1 2 ss s ss G s G G1 (s)的实现是 1 1 1 1 1 1 01 11 x u x x u y            G2 (s)的实现是 2 2 2 2 2 2 10 1 3 1 2 10 6 5 0 1 uu y x x x                                        2121 0 1 1 0 1 3 1 1 2 1 0 1 0 0 1 0 0 6 5 0 0 1 1 0 0 uuuu y x x x G(s) 的实现是 可见，同一个G(s)可以得到不同维数的实现。 这是一个3维的实现

5.2.2最小实现的性质 定义G(s)的实现中，维数最小的实现叫做G(s)的最小实现。 最小实现也称为不可简约的实现或既能控又能观的实现。 最小实现的性质有如下定理： (1)定理5-2(A,B,C,D)是G(s)的一个最小实现的充分必要条件是： (A,B,C,D)是既能控又能观的。 证明 必要性：如果(A,B,C,D)是G(s的一个最小实现，则(A,B,C,D)是既 能控又能观的。 反证法：如果(A,BC,D)是G()的一个最小实现，而又不是既能控 又能观的，则可以通过结构分解得到一个既能控又能观的子系 统，它的维数小4，B,C,D)的维数，而又具有相同的传递函数阵 ,说明(4，B,C,D)不是的最小实现，与假设矛盾。 10

10 5.2.2 最小实现的性质 定义 G(s)的实现中，维数最小的实现叫做G(s)的最小实现。 最小实现也称为不可简约的实现或既能控又能观的实现。 最小实现的性质有如下定理： ⑴ 定理5-2 是 的一个最小实现的充分必要条件是： 是既能控又能观的。 (A,B,C, D) (A,B,C, D) G(s) 证明 必要性：如果 是 的一个最小实现，则 是既 能控又能观的。 (A,B,C, D) (A,B,C, D) G(s) 反证法：如果 是 的一个最小实现，而又不是既能控 又能观的，则可以通过结构分解得到一个既能控又能观的子系 统，它的维数小于 的维数，而又具有相同的传递函数阵 ，说明 不是的最小实现，与假设矛盾。 (A,B,C, D) G(s) (A,B,C, D) (A,B,C, D)