第七章系统函数 系统分类: 连续系统离散系统 分析方法:时域:h(t) h(k) 冲击响应/单位响应 ↑逆 ↑逆 复频域:H(s) H(z)系统函数H(·) S=JW 频域:H(w) 频率响应 系统的研究: 系统分析:给定系统→H(·)→系统的特性 系统综合:给定要求(如幅频特性)确定结构和参数→H(∽) 本章是在前几章的基础上加以概括和引伸 主要内容 H(·)与系统的特性(时域响应、频域响应) 二系统的因果性和稳定性及判别准则 三信号流图 四系统模拟。由系统函数→框图
1 第七章 系统函数 系统分类： 连续系统 离散系统 分析方法：时域： h(t) h(k) 冲击响应/单位响应 ↑逆 ↑逆 复频域: H(s) H(z) 系统函数 H(·) ↓s = jw ↓z = e jwT 频域: H(jw) H( e jwT ) 频率响应 系统的研究: 系统分析: 给定系统→H(·)→系统的特性 系统综合: 给定要求(如幅频特性)→确定结构和参数→H(·) 本章是在前几章的基础上加以概括和引伸 主要内容: 一 H(·)与系统的特性(时域响应、频域响应) 二 系统的因果性和稳定性及判别准则 三 信号流图 四 系统模拟。 由系统函数→框图
§7.1系统函数与系统特性 H(·)的零点与极点 极点:A(·)=0的根,P,H(P1) 零点:B(·)=0的根,5;,H(5)=0 类型:实数、共轭虚数、共轭复数,一阶或二阶 二H()与时域的响应关系:H(·)←h(·) 1连续系统:H(s)←→h(t)以虚轴为界 结论:①H(s)的极点位置→h(t)的函数形式 极点在左半开平面→h()是衰减的,h(t)→∞-0, 系统是稳定的 ○虚轴上的一阶极点→h(t)是幅度稳定,临界稳定 ①极点在右半开,和虚轴上二阶以上→h()是增长的, 系统不稳定 稳定性:若输入有界,则输出有界。若(·)<∞,则y(·) 离散系统:H(z)→h(k)以单位圆为界 结论:OH()的极点位置→h(k)的序列形式 Q极点在单位圆内→h(k)是衰减的,k→∞,h(k)→0 系统是稳定的 ○单位圆上的一阶极点→h(k)是幅度稳定,临界稳定 Q极点在单位圆外,和单位圆上二阶以上→hk)是增长的, 系统不稳定
2 § 7.1 系统函数与系统特性 一 H(·)的零点与极点 H(·)= ( ) ( ) • • A B 极点：A(·)=0 的根， i，H( i )→∞ 零点：B(·)=0 的根， i ，H( i )=0 类型：实数、共轭虚数、共轭复数，一阶或二阶 二 H(·)与时域的响应关系： H(·) h(·) 1 连续系统: H(s) h(t) 以虚轴为界 结论：○1 H(s)的极点位置→h(t)的函数形式 ○2 极点在左半开平面→h(t)是衰减的，h(t)| t→→0， 系统是稳定的 ○3 虚轴上的一阶极点→h(t)是幅度稳定，临界稳定 ○4 极点在右半开，和虚轴上二阶以上→h(t)是增长的， 系统不稳定 稳定性：若输入有界，则输出有界。若|f(·)|＜∞，则| yf(·)|＜∞ 2 离散系统：H(z) h(k) 以单位圆为界 结论：○1 H(z)的极点位置→h(k)的序列形式 ○2 极点在单位圆内→h(k)是衰减的，k→∞，h(k)→0 系统是稳定的 ○3 单位圆上的一阶极点→h(k)是幅度稳定，临界稳定 ○4 极点在单位圆外，和单位圆上二阶以上→h(k)是增长的， 系统不稳定
三极、零点与频率响应的关系: 1连续系统 ∏(-5 H(s)=_/=1设极点都在左半开平面,收敛域含虚轴 I(s-Pi) i=1 川w-5j) HGGFH(Sls=jw= 画幅频、相频特性 下面用矢量分析法分析,主要是定性分析其变化规律 矢量:pi|pi 差矢量:j-p 幅角g 幅角z 0 令j-p=A;e/O o-s=Bi e/v H(jG)=mn21B2…Bmg/V+y+…) j(6+2+…6,) H(o)=m2Bm(a)=(v1+v2+wym)(91+a2+-an) A142…A ω从0~∞时,可得到其幅频特性和相频特性曲线
3 三 极、零点与频率响应的关系： 1 连续系统 H (s)= = − = − n i pi s m j j bm s 1 ( ) 1 ( ) 设极点都在左半开平面，收敛域含虚轴 H (jω)= H (s)|s=jw = = − = − n i pi jw m j j bm jw 1 ( ) 1 ( ) 画幅频、相频特性 下面用矢量分析法分析，主要是定性分析其变化规律 矢量：pi | pi | jω |ω| 差矢量： jω- pi 幅角 i 幅角 2 令 jω- pi =A i i j e jω-ζi =Bj j j e H (jω)= ( ) 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 n m j A A An e j bmB B Bme + + + + = H (ω)= A A An bmB B Bm 1 2 1 2 () =( 1 + 2 + m )- ( 1 + 2 + n ) ω从 0～∞时，可得到其幅频特性和相频特性曲线
例71-1研究RC低通网络电压转移函数的频率响应Ha)=y20 U/1(o) 解:H(s)= RC 极点 H()= RO 令/+BC=A910A=(02+(pC A=arct G cR H(OFRCA p( 0-0=-arctg ocR 定性分析:o从0~∞时,A单调增大,θ从0~x H()单调下降,()从0~-x 例71-2典型的二阶系统,RIC串联电路,求动点导纳y=1(的 U/1(s) 频率特性 解:H(s 设a>0,02 s2+2a+02(s-Ps-P2) 零点:s=0 极点:p ±jB 其中:a=衰减因素B=V∞2-a 2L 谐振角频率 只讨论α<ωo时的频率响应,先画极、零图
4 例 7.1-1 研究 RC 低通网络电压转移函数的频率响应 H(jω)= 1( ) ( ) 2 U j U j 解：H (s)= SC R SC 1 1 + = RC S RC 1 1 1 + • 极点 S= - RC 1 H (jω)= RC j RC 1 1 1 + 令 j Ae RC j + = 1 A= 2 ) 1 ( 2 RC + θ=arctgωcR H (ω)= RC A 1 1 () =0-θ= - arctgωcR 定性分析：ω从 0～∞时，A 单调增大，θ从 0～ 2 H (ω)单调下降， () 从 0～ - 2 例 7.1-2 典型的二阶系统，RLC 串联电路，求动点导纳 y(s)= 1( ) ( ) 1 U s I s 的 频率特性 解：H (s) = 2 2 0 2 s + s + s = ) 2 (s p1)(s p s − − 设α＞0，ω0 2 ＞α2 零点：s=0 极点：p1，2 = - 2 2 j 0 − =- j 其中： L r 2 = 衰减因素 2 2 = 0 − LC 1 0 = 谐振角频率 只讨论α＜ω0时的频率响应，先画极、零图
y() j 62 j B,,j(v-,-0.) H(10)(o-PX-p)·e H(ω) q()=v-(1-b2) 定性分析:从0~∞ ①o=0B=0,A1=A= h=-62 q() ↑B和A2A1↓ +02↑W= y(o)↑ o=00y(o)=4为极大值00)=0+a2=x B、A2、A1y(o) +2↑o(m) h+b=r()=-z 2 全通函数:|H(o)为常数 设有二阶系统H(s),左半平面有一对极点p,2=-a±jB 右半平面有一队零点ξ1,2=a±jB
5 H (jω)= ( j p1)( j p2) j − − = ( ) 1 2 • −1 − 2 j e A A B H (ω) = A1A2 B () = − (1 −2 ) 定性分析：ω从 0～∞ ○1 ω=0 B=0，A1=A=ω 1 = − 2 2 = y (ω)=0 2 ( ) = ω↑ B 和 A2↑ A1↓ 1 + 2 ↑ 2 = y (ω) ↑ () ↓ ○2 ω=ω0 y (ω)= 2 1 为极大值 () = 0 2 1 2 + = ω↑ B、A2、A1↑ y (ω) ↓ 1 + 2 ↑ () ↓ ○3 ω→∞ y (ω)→0 1 +2 = 2 ( ) = − ⚫ 全通函数： |H(jω)|为常数 设有二阶系统 H(s)，左半平面有一对极点 p1，2 = - j 右半平面有一队零点ξ1，2 = j