《信号与线性系统分析》课程教学资源（教案讲义）第四章 连续系统的频域分析

第四章连续系统的频域分析 时域分析:f(t) y:(t)=h(t)*f(t) ↓分解 基本信号8(t)→LTI→h(t) 频域分析:f(t) yeot =h(t)* H(jo)Feot ↓分解 基本信号 sino t →LTI H(io)eo Hjo):系统的频域响应函数,是信号角频率o的函数,与t无关. 主要内容 、信号的分解为正交函数。 、周期信号的频域分析_付里叶级数(求和),频谱的特点 信号 非周期信号的频域分析—付里叶变换(积分),性质。 分析 四、LT系统的频域分析:频域响应H(io);y〔ω)=H(o)·F(ω).(系统分析) 五、抽样定理:连续信号→离散信号

第四章 连续系统的频域分析 时域分析：f(t) yf(t)=h(t)*f(t)  分解  基本信号(t)→ LTI →h(t) 频域分析： f(t) ye jt =h(t)* H(j)Fejt  分解  基本信号 sint → LTI → H(j)ejt e jt H(j)：系统的频域响应函数，是信号角频率的函数，与 t 无关. 主要内容： 一、信号的分解为正交函数。 二、周期信号的频域分析⎯付里叶级数（求和），频谱的特点。 信号 三、非周期信号的频域分析⎯付里叶变换（积分），性质。 分析 四、LTI 系统的频域分析：频域响应 H(j)；y(j)= H(j)·F(j). (系统分析) 五、抽样定理：连续信号→离散信号

841信号分解为正交函数 正交 两个函数满足「φ(t)q2(t)dt=0,称q(t),q(t)在区间(t1,t2)正交 二、正交函数集:几个函数∫(t)q(t)dtt0当i≠j; K1当 、完备正交函数集:在{q1(t)…n(t)}之外, 不存在v(t)满足「v(t)(t)dt=0(i=1,2,…n 例、三角函数集:{, cosT,cos2gt,…, cosmet,…,sing2t, sin2gt,…sin(nΩ2t),…}区间:(t,to+T),t=2π/g为周期 满足:0 cosmo2 tcosnQtdt m≠n T/2m=n≠0 T fto sin(mst) sin(nst)dt=.0 m≠n to+T sin(mgt)cos(ng2t)dt=0.所有的m和n 结论:三角函数集是完备正交集。 推导: t o+T cosmQtcosnetdt (1/2)rto [cos(m+n)Qt+cos(m-n) Qt]dt (1/2)sin(m+n) Q2t toT +(1/2)sin(m-n)2t to-T (1/2)[sin (m+n)Q(to+T)-sin(m+n)ntol +(1/2)sin(m-n)Q(to+T)-sin (mn)Qtol 当m≠n时

2 §4.1 信号分解为正交函数 一、正交： 两个函数满足 φ1(t) φ2(t)dt=0, 称 φi(t),φj(t)在区间( t1 ,t2)正交。 二、正交函数集：几个函数 φi(t) φi(t)dt= 0 当 i≠j; Ki 当 i=j. 三、完备正交函数集：在{φ1(t)…φn(t)}之外， 不存在(t)满足  (t) φi(t)dt= 0 (i=1,2,…n). 例、三角函数集:{1,cost,cos2t,… ,cosmt,…,sint, sin2t,…sin(nt),…}区间:（t0,t0+T）,t=2π/为周期. 满足： cosmtcosntdt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 T m=n=0 sin（mt）sin(nt)dt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 sin(mt)cos(nt)dt= 0. 所有的 m 和 n. 结论:三角函数集是完备正交集。 推导： cosmtcosntdt =(1/2) [cos(m+n) t+cos(m-n) t]dt =(1/2)sin(m+n)t +(1/2)sin(m-n)t =(1/2)[sin(m+n) (t0+T)-sin(m+n)t0] +(1/2)[sin(m-n) (t0+T)-sin(m-n)t0] =0 当 m≠n 时

m=n≠0,原式=(1/2)r[cos(m+n)9t1]dt=(1/2)t0=/2 m=n=0,原式=(1/2)t[1+1]dt=T 4、复函数的正交函数集 几个复函数集{q1(1),2甲(t)甲(t)dt=10i≠j 例:复函数集{els}(n=0,±1,±2.) 区间(to,to+T),T=2π/g为周期。 满足∫re"(e0)t=∫17 n)ot dt =[1/(j(m-n)Q)l ej(an to+T=0 m≠n -fto ldt=T m-n 结论:{e}是完备正交集。(n=0,±1,±2.) 二、信号分解为正交函数集 1、分解:二维A=c1V2+c2y,{v,,v},二维正交矢量集 三维A=c1Vx+c2Vy+c2{v,w,v2}三维正交矢量集 n维:{q(t)…gn(t)}在(t1,t2)构成正交函数集 f()≈cq(t)+c2(t)+…cA中(t)+(t)=是1c甲(t) 任意一个函数可以用这几个正交函数的线性组合来近似。 2、系数c的选择。 方均误差定义:=[1/txt)J[(t)-,Cq(t)]dt 使ε2最小,对第i个系数c来说,应使a/ac1=0. ∷c=[「tf(t)q(t)dt]/∫[p(t)]at)

3 m=n≠0，原式=(1/2) [ cos(m+n)t+1]dt=(1/2)·t =T/2 m=n=0 , 原式=(1/2) [1+1]dt=T. 4、复函数的正交函数集： 几个复函数集{φi(t)}， φi(t) φi * (t)dt= 0 i≠j ki i=j 例：复函数集{ e jnΩt }(n=0,±1,±2…) 区间(t0,t0+T）,T=2π/为周期。 满足 e jm t (ejnt ) * dt= e j(m-n)t dt =[1/(j(m-n)Ω)] e j(m-n)t dt =0 m≠n = 1dt=T m=n. 结论：{ e jnΩt }是完备正交集。(n=0,±1,±2…) 二、信号分解为正交函数集。 1、分解： 二维 A=c1vx + c2yy { vx ，v}y二维正交矢量集 三维 A= c1vx +c2vy +c3vz { vx ，vy，vz }三维正交矢量集 n 维：{φ1(t)…φn(t)}在( t1 ,t2)构成正交函数集。 f(t)≈c1φ1 (t)+ c2φ2(t)+…cnφn(t)+(t)= cjφj(t) 任意一个函数可以用这几个正交函数的线性组合来近似。 2、系数 cj的选择。 方均误差定义： =[1/(t2-t1)] [f(t)- cjφj(t)]2 dt 使 最小，对第 i 个系数 ci来说，应使 / ci =0. ∴cj= [ f(t) φj(t)dt]/ ( [φj(t)]2 dt)

=(1/K)∫f(t)q(t)dt 最佳近似条件下的方均误差: e=[1/t-t)]g2[f(t)]2dt-差1c:3K) ∵82≥0,n个,2 ∴n→,3→0.则了:f(t)]2dt=1cK→称帕斯瓦尔方程 f(t)c甲(t) 即函数f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和。 §4.2付里叶级数 付里叶级数:(三角形式) f(t)=(ao/2).1+a,cosQ2t+azcos2Q2t+.tbsinQt+b2sin2Q2t+ ao/2+3 acos(nQt)+abasin(nQt) 积分区间:toto+T,0∞T,-T/2T/2 K= to+T(cos(nQt))2 dt=T/2 an=(/T)5-1/2 f(t)cos(nQt)dt b=(2/T)J-T/2 f(t)sin(nQt)dt 形制:a-n=an是偶函数 b-=bn时奇函数(其中n=0,1,2.) 2、三角形式二:同频率项合并。 f(t)=ao/+Acos( Q2t+1)+Ecos(2Q2t+p2)+ =a/2+器Acos(nt+q) Ao=ao an=Y(a, ) +(b' b, =-arctg(b,/a)

4 =(1/Kj) f(t)φj(t)dt 最佳近似条件下的方均误差： =[1/(t2-t1)]( [f(t)]2 dt - cj 2Kj). ∵ ≥0,n, ; ∴n→∞, →0. 则 [f(t)]2 dt= cj 2Kj→称帕斯瓦尔方程。 f(t)= cjφj(t). 即函数 f(t)在区间( t1 ,t2)可分解为无穷多项正交函数之和。 §4.2 付里叶级数 一、付里叶级数：（三角形式） f(t)=(a0/2)·1+a1cost+a2cos2t+…+b 1sint+b 2sin2t+… = a0/2+ ancos(nt)+ b nsin(nt). 积分区间：t0 t0+T, 0 T, -T/2 T/2 Ki= (cos(nt))2 dt=T/2. an=(2/T) f(t)cos(nt)dt bn=(2/T) f(t)sin(nt)dt 形制：a-n=an是偶函数 b-n=-bn时奇函数 (其中 n=0,1,2…). 2、三角形式二：同频率项合并。 f(t)=a0/2+A1cos(t+φ1)+A2cos(2t+φ2) +… = a0/2+ Ancos(nt+φn). A0=a0 an= bn =-arctg(bn / an)

由性质可知:a=Aan= Ancoso b= bn sinop 3、物理意义;同周期信号可分解为各次谐波之和。 f(t)=a/2+Acos(2tp)+Acos(292tq)+,+Aacos(2t+q)+ 例4.2-1f(t)为方波,分解为付里叶级数。 周期:T频率:1/T角频率:g=2π/T.区间:(-T/2,T/2) (1)f(t)= ao/2+8 acos(nQt)+bsin(nQt) a=(2/T)1/2 f(t)cos (n t)dt =O T/2 b=(2/T)I-T/2 f(t)sin(n Qt)dt= n=2,4,6 4/(nπ)n=1,3,5 ∴f(t)=(4/π)[sing2t(1/3)sin(39t)+.+(1/n)sin(mng2t)+… 结论:方波只含有1,3,5等奇次谐波分量,无直流分量。 (2)方均误差(有限项逼近) e=[1/(t2t)][ f(t)dt-2, c2 K 1 (1/T)[m21dt-(T/2)1(b)2]=1-(1/2)1(b)2 只取基波:8=1-(1/2)(4/π)2=0.189 取基三次谐波:=1-(1/2)[(4/π)2+(4/3)2=0.0994. 基“+”3,”+”5次:c=1-(1/2)[(4/m)2+(4/3x)2+(4/5x)2]=0.069 (3)方波分解的特点 1、它包含的基波分量越多,越接近方波,其均方误差越小。 2、当合成波所含基波次数n>∞,在间断点仍有约9%偏差,在间断点出尖峰 下的面积非常小以致趋近于零

5 由性质可知：a0= A0 an=Ancosφn bn= bn sinφn 3、物理意义;同周期信号可分解为各次谐波之和。 f(t)= a0/2+A1cos(t+φ1)+A2cos(2t+φ2) +…+Ancos(t+φn)+… 例 4.2-1 f(t)为方波，分解为付里叶级数。 周期：T 频率：1/T 角频率：=2/T. 区间：(-T/2,T/2) (1)f(t)= a0/2+ ancos(nt)+ bnsin(nt) an=(2/T) f(t)cos(nΩt)dt =0 bn=(2/T) f(t)sin(nΩt)dt= 0 n=2,4,6… . 4/(n) n=1,3,5… ∴f(t)=(4/)[sint+(1/3)sin(3t)+…+ (1/n)sin(nt)+…] 结论：方波只含有 1，3，5 等奇次谐波分量，无直流分量。 （2）方均误差（有限项逼近） =[1/(t2-t1)][ f 2 (t)dt- c 2 jKj] =(1/T)[ 1dt-(T/2) （bj）2 ]=1-(1/2) （bj）2 只取基波： =1-(1/2)(4/) 2 =0.189. 取基三次谐波： =1-(1/2)[(4/) 2 +(4/3) 2 =0.0994. 基“+”3，”+”5 次: =1-(1/2)[(4/) 2 +(4/3) 2 +(4/5) 2 ]=0.0669 （3）方波分解的特点 1、它包含的基波分量越多，越接近方波，其均方误差越小。 2、当合成波所含基波次数 n→∞，在间断点仍有约 9偏差，在间断点出尖峰 下的面积非常小以致趋近于零