第八章系统的状态变量分析 系统的描述: 输入一输出描述法:外部法,关心貧·)与y(·)的关系 状态变量描述法:内部法,n阶系统用n个x(·)的 一阶微分(差分)描述 输入输出存在的问题:不便于研究与系统内部情况有关的各种问题 (如可观测性、可控制性) 可观测性:在输出端观测到所有的固有响应分量。否则,称为 不可观测的 f(t) ya(t) t H H Ha(s-- hb(s)- s-2 s+a 复合系统的H(s)=Hs)·Hs)= s+a s+ a 可控制性:能通过输入的控制作用从初始状态转移到所要求的状态 多输入、多输出分析不变 状态分析的优点 (1)可研究系统内部特征 (2)便于分析具有多个输入、多个输出的系统 (3)只有一阶微分(或差分)方程组,便于计算机进行数值计算 (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统
第八章 系统的状态变量分析 系统的描述： 输入—输出描述法：外部法，关心 f(·)与 y(·)的关系 状态变量描述法: 内部法，n 阶系统用 n 个 x(·)的 一阶微分(差分)描述 输入输出存在的问题：不便于研究与系统内部情况有关的各种问题 （如可观测性、可控制性） 可观测性：在输出端观测到所有的固有响应分量。否则，称为 不可观测的。 Ha(s)= 2 1 s − Hb(s)= + − s s 2 复合系统的 H(s)= Ha(s)· Hb(s)= 2 1 s − · + − s s 2 = s + 1 可控制性：能通过输入的控制作用从初始状态转移到所要求的状态 多输入、多输出分析不变 状态分析的优点： (1) 可研究系统内部特征 (2) 便于分析具有多个输入、多个输出的系统 (3) 只有一阶微分(或差分)方程组，便于计算机进行数值计算 (4) 容易推广应用于时变系统或非线性系统
主要内容 状态变量与状态方程的概念 二状态方程的建立 三状态方程的求解(时域、变换域) §81状态方程 由例子→状态变量与状态方程 it) t (t) L R 状态选ue(t)和i(t) 对节点a:i(=i()+i()=i()cdc dt 对2支路:u(t)+Rc·C dUc()=L出(+RL·i( dt 求出状态变量的一阶微分 duc(t) fi(t+ i(t) 状态方程 dt I uc(t)- RL+Ro dil(t)_1 LI(tH Rc L 求输出ut)和it)与状态变量的关系:代数方程 u(t=uc(t)-RciL(t+Rcis(t) 输出方程 ie(tF-i(t+ is(t)
主要内容： 一 状态变量与状态方程的概念 二 状态方程的建立 三 状态方程的求解（时域、变换域） §8.1 状态方程 一 由例子→状态变量与状态方程 状态选 uc(t)和 iL(t) 对节点 a： is(t)= iL(t) +ic(t) =iL(t)+C dt t dUc ( ) 对 2 支路：uc(t)+Rc·C dt t dUc ( ) =L dt diL(t) +R L·iL(t) 求出状态变量的一阶微分： dt t dUc ( ) = - C 1 iL(t)+ C 1 iL(t) 状态方程 dt diL(t) = L 1 uc(t)- L RL + RC iL(t)+ L RC iS(t) 求输出 u(t)和 ic(t)与状态变量的关系：代数方程 u(t)= uc(t)-RciL(t)+Rcis(t) 输出方程 ic(t)= -iL(t)+ is(t)
若已知「初始条件u)和i(t)→可唯一的确定u(1)和it) 激励i(t)t≥tb 状态方程1→总称为动态方程或系统方程 输出方程 动态方程的一般形式 连续:n阶系统,多输入p个,多输出q个 状态方程:x(t=Ax(t)+Bf(t 系统矩阵n×nn×p控制矩阵 输出方程:yt=Cx(t)+Dt 输出矩阵q×nq×p 2离散系统:n阶系统,输入p个,输出q个 状态方程:x(k+1)=Ax(k)+Bf(k) 输出方程:y(k)=Cx(k)+Df(k) §82状态方程的建立 输入一输出方程 系统方程 系统的模拟框图→列写状态方程 信号流图 电路 电路→状态方程 建立状态方程的步骤
若已知 初始条件 uc(t0)和 iL(t0) 可唯一的确定 u(t)和 ic(t) 激励 is(t) t≥t0 状态方程 总称为动态方程或系统方程 输出方程 二 动态方程的一般形式 1 连续： n 阶系统，多输入 p 个，多输出 q 个 状态方程：x(t)=Ax(t)+Bf(t) 系统矩阵 n×n n×p 控制矩阵 输出方程：y(t)=Cx(t)+Df(t) 输出矩阵 q×n q×p 2 离散系统： n 阶系统， 输入 p 个，输出 q 个 状态方程：x(k+1)=Ax(k)+Bf(k) 输出方程：y(k)=Cx(k)+Df(k) §8.2 状态方程的建立 输入—输出方程 系统方程 系统的模拟框图 列写状态方程 信号流图 电路 一 电路→状态方程 建立状态方程的步骤：
(1)选状态变量的电容电压u(t),电感电容in(t) (2)对每一个独立电容,写出独立节点电流方程,cac( 对每一个独立电感,写出独立回路电压方程,L如 (3)保留激励和状态变量,利用电路关系消去非状态变量,整理 连续系统状态方程的建立:信号流图→状态方程 状态变量的选择:各积分器输出为xt) x SKi(s x1( 三离散系统状态方程的建立:信号流图→状态方程 状态变量的选择:延迟单元D(z)的输出信号 x1(k+1) X D z i(z X
(1) 选状态变量的电容电压 uc(t)，电感电容 iL(t) (2) 对每一个独立电容，写出独立节点电流方程，C dt t dUc ( ) 对每一个独立电感，写出独立回路电压方程，L dt diL(t) (3) 保留激励和状态变量，利用电路关系消去非状态变量，整理 二 连续系统状态方程的建立：信号流图→状态方程 状态变量的选择：各积分器输出为 xi(t) 三 离散系统状态方程的建立：信号流图→状态方程 状态变量的选择：延迟单元 D(z-1 )的输出信号
§8.3连续系统状态方程的解 方程:x(t)=AX(t)+Bf(t)一阶微分→状态矢量xt y(t)=Cx(t)+Df(t)代数方程→输出矢量y(t 方法:时域法:类似于经典法求微分方程 变换法:方程两边取拉氏变换 状态方程的变换解 由①:SX(s)-x(0)=AX(s)+BF(s) SI-A]·X(s)x(0)+BF(s)其中I为n×n维的单位矩阵 X(S=[]-x(0)+ [Sl-A]-. BF(S) 零输入解 零状态解 预解矩阵φ(s)=[SI-A]1=as- det(S-A 其中:a(S-A)为伴随矩阵deu(Sr-A为矩阵的行列式 X(t)=[X(s)] 由②:y(s)=CX(s)+DF(s) y(s)=CP(S)X(O)+[C 9(S)B+DF(s) 零输入响应 零状态响应 ys)=[Cp(s)B+D]·Fs)=H(s)·F(s) Hs)dC(s)B+DqXp矩阵系统函数矩阵 含义:其中H(s)是第ⅰ个输出分量对于第j个输入分量的转 移函数h(t)←→H(s)h(t)为冲击响应矩阵
§8.3 连续系统状态方程的解 方程：x(t)=Ax(t)+Bf(t) 一阶微分→状态矢量 x(t) y(t)=Cx(t)+Df(t) 代数方程→输出矢量 y(t) 方法：时域法：类似于经典法求微分方程 变换法：方程两边取拉氏变换 状态方程的变换解： 由○1 ：SX(s)- x(0)=A X(s)+BF (s) [SI-A]·X(s)=x(0)+BF (s) 其中 I 为 n×n 维的单位矩阵 X(s)= [SI-A]-1 x(0)+ [SI-A]-1·BF (s) ↓ ↓ 零输入解 零状态解 预解矩阵 (s)= [SI-A]-1 = det( ) ( ) SI A adj SI A − − 其中： adj(SI − A) 为伴随矩阵 det(SI − A) 为矩阵的行列式 X(t) = [X(s)] 由○2 ： y(s)=CX(s)+DF (s) y(s)=C (s)X(0)+[C (s)B+D]F (s) ↓ ↓ 零输入响应 零状态响应 yf(s)= [C (s)B+D]·F(s)=H(s)·F(s) H(s) def C (s)B+D q×p 矩阵 系统函数矩阵 含义：其中 Hij(s)是第 i 个输出分量对于第 j 个输入分量的转 移函数 h(t) H(s) h(t)为冲击响应矩阵