第六章离散时间系统的Z域分析 ￡要内容:离散时阃信号的2域分析 离散时阃系统的2域分析 离散时闻系统数与系统特咝 离散时间系统的模拟 §6.1z变换 双边Z变换定义 双边Z变换 F(=) k]=-k Z反变换:k]=25F(=) C为F(z)的ROC中的一闭合曲线 物理意义:将离散信号分解为不同频率复指数ek的线性组合 二、单边Z变换定义 单边Z变换 F(=) f[k1= A=( Z反变换: ftk F(=) 2 其中,C为F(z)的ROC中的一闭合曲线。使级数收敛的所有z值范围称作 F(=)的收敛域,用符号ROC( (region of convergence)表示。 三、收敛域(ROC) 1有限长序列F(=)=∑mk ROC: E>0
第六章 离散时间系统的 Z 域分析 主要内容：离散时间信号的 Z 域分析 离散时间系统的 Z 域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟 §6.1 Z 变换 一、双边 Z 变换定义 双边 Z 变换 C 为 F(z) 的 ROC 中的一闭合曲线。 物理意义：将离散信号分解为不同频率复指数 esTk 的线性组合 二、单边 Z 变换定义 单边 Z 变换 Z 反变换： 其中，C 为 F(z) 的 ROC 中的一闭合曲线。使级数收敛的所有 z 值范围称作 F(z)的收敛域，用符号 ROC (region of convergence)表示。 三、收敛域（ROC) 1.有限长序列 F z z dz j f k k c 1 ( ) 2 1 [ ] − = k k F z f k z − = ( ) = [ ] 0 k N k N F z f k z − = ( ) = [ ] 2 1 ROC: z 0 k k F z f k z − =− ( ) = [ ] Z 反变换： F z z dz j f k k c 1 ( ) 2 1 [ ] − =
10≤k≤N-1 例:f[k]= 0其它 RNLi N F(=) 2.右边序列 flk ROC R 例:f[k]=a4[k A Im() 四、常用序列的Z变换 l)z{Sh]}=1,z≥0 2)∠{ak]}= 3) Ze/oFulk] 120--1 1-cos Q20 =-+isin 222- 1-22- cos Q+2-2 coS(Q2ok )u[k]< 2- coS +2 sin sin( @ k )u[k]t 2二cosg2。+
2. 右边序列 四、常用序列的 Z 变换 [ ] 0 1 0 1 [ ] R k k N f k = N − = 其它 例： 1 1 0 1 1 ( ) − − − − = − − = = z z F z z N k N k z 0 k k N F z f k z − = ( ) = [ ] 1 ROC z Rf f[k] a u[k] k 例： = 1 0 1 1 ( ) − − = − = = az F z a z k k k ROC : z a Im(z) Re(z) Rf 1) Z{[k]} =1, z 0 z a z Z u k k − = −1 1 1 2) { [ ]} 2 0 1 1 0 1 0 1 1 2 cos 1 cos sin 1 1 3) { [ ]} 0 0 − − − − − − + − + = − = z z z j z e z Z e u k j j k 2 0 1 1 0 0 1 2 cos 1 cos cos( ) [ ] − − − − + − ⎯→ z z z k u k 2 0 1 1 0 0 1 2 cos sin sin( ) [ ] − − − − + ⎯→ z z z k u k
§6.2Z变换的主要性质 f4<>F1(=)>R f2[]←→F2()>R2 1线性特性 [k]+b2[k]>aF1(二)+bF2(=) =>max(Ri, Rr2) 例:R[k]=4k]-[k-N 1-z F(z) 0 2.位移特性 因果序列的位移 flk-n]<>=F() ROC=R, 非因果序列的位移 k+1 k Z{f[k+1]ak]}=x(F(=)-f[0]) 例:F()=1/(z-a)|>a求[k 解: F(2= 由因果序列的位移特性 ∫[k]=z{F(=)}=a-u[k-1 3.指数加权特性 a^/[k]2>F(=/a) =>a
§6.2 Z 变换的主要性质 1.线性特性 2．位移特性 例：F(z)=1/(z−a) |z| a 求 f [k]。 解： 由因果序列的位移特性 3.指数加权特性 1 1 1 [ ] ( ), Rf f k ⎯→F z z 2 2 2 [ ] ( ), Rf f k ⎯→F z z [ ] [ ] ( ) ( ) 1 2 1 2 af k + bf k ⎯→aF z + bF z R [k] u[k] u[k N] 例： N = − − 1 1 1 1 1 ( ) − − − − − − = z z z F z N 0 1 1 1 − − = − − z z z N max( , ) Rf 1 Rf 2 z 因果序列的位移 f [k − n] z −nF(z) ROC = Rf 非因果序列的位移 f [k] k 0 f [k +1] k 0 f [k − 2] k 0 Z{ f [k +1]u[k]} = z(F(z) − f [0]) 1 1 1 1 ( ) − − − = az F z z [ ] { ( )} [ 1] 1 1 = = − − − f k Z F z a u k k a f[k] F(z/ a) k ⎯Z→ a Rf z
sin(20k){k]<> sin S202 2z-cOsg2。+z 由因果序列的位移特性 a sin( ok )u[k]e> sin Q2o(=/a) 2(=/a)cos20+(=/a) a2-2a=-cos_20+ 4.Z域微分特性 dF k/[k]<>一 >R 例:已知a^[k]k21 求z{(k+1)a4[k]} 解:(k+1)a4u4[小 ÷+()(-1-a(-1)=2 5.序列卷积 升[k]*f2[小]>F1(z)F2(=) =Pmax(rn, Re 证:Z4*f小}=2乙k-m]} ∑[nz/k-n} F()∑fn F1(z)F2(=) 例:z∑几}=21]*}=F(=)
︱Z︱> 解： 由因果序列的位移特性 2 0 1 1 0 0 1 2 cos sin sin( ) [ ] − − − − + ⎯→ z z z k u k 2 0 1 1 0 0 1 2( / ) cos ( / ) sin ( / ) sin( ) [ ] − − − − + ⎯→ z z z k u k k z 1 dz dF z kf k z ( ) [ ]⎯→− Rf z (k +1)a k u[k]⎯Z→ 1 2 2 1 (1 ) ( 1)( )( 1) ( ) 1 1 − − − − − − − + − − az a z z az 1 2 (1 ) 1 − − = az {( 1) [ ]} , 1 1 [ ] 1 Z k a u k z a az a u k k k Z + − ⎯→ − 求 例：已知 5. 序列卷积 [ ] [ ] ( ) ( ) 1 2 1 2 f k f k ⎯→F z F z |z|>max(Rf1, Rf2) Z{ f [k]u[k]} = 1 1 ( ) − − z F z { [ ] [ ]} { [ ] [ ]} Z f 1 k f 2 k Z f 1 n f 2 k n n 证： = − = = { [ ]} 0 Z f n k n 例： [ ] { [ ]} f 1 n Z f 2 k n n = − n n F z f n z − = ( ) [ ] 2 1 ( ) ( ) 1 2 = F z F z 4. Z 域微分特性 2 0 2 1 1 0 2 cos sin − − − − + = z z z
6.初值与终值定理 f0]=lmF(=) ∞]=im(二-1)F(=) z→l 应用终值定理时,只有序列终值存在,终值定理才适用。 §6.3逆Z变换 定义 flk F(=)=k 2丌 C为F(z)的ROC中的一闭合曲线 ∑Res{F(-)2+}= 为F(=)=k-1在C中的极点 计算方法 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法 二、部分分式法进行Z反变换 有理真分式,分母多项式无重根 F()=∑ P;2 各部分分式的系数为 =(1-P1=-)F(z) -Pi 2.有理真分式,分母多项式在zu处有阶重极点 F(z)= 1-p2 2 (-i)! de 其中i=1,1 3.假分式
6. 初值与终值定理 应用终值定理时，只有序列终值存在，终值定理才适用。 §6.3 逆 Z 变换 一、定义 计算方法： • 幂级数展开和长除法 • 部分分式展开 • 留数计算法 二、部分分式法进行 Z 反变换 2. 有理真分式，分母多项式在 z=u 处有 l 阶重极点 f[0] lim F(z) z→ = [ ] lim( 1) ( ) 1 f z F z z = − → F z z dz j f k k c 1 ( ) 2 1 [ ] − = C 为 F(z) 的 ROC 中的一闭合曲线。 i z z k i F z z = − = Re s{ ( ) } 1 zi 为 F(z)z k−1 在 C 中的极点 1. 有理真分式，分母多项式无重根 1 1 1 ( ) − = − = p z r F z i i n i 各部分分式的系数为 pi i i z r p z F z = − = (1− ) ( ) 1 i i l i i i n l i uz q p z r F z 1 (1 ) ( ) 1 1 1 1 − = − − = − + − = i l uz F z u l i z q z u l l i l i l i i 1, (1 ) ( ) , d( ) d ( ) ( )! 1 1 1 = − − − = = − − − − − 其中 3. 假分式