2.22几种序列的Z变换及其收敛域 序列x(m)的性质决定了X(z)的收敛域, 不同形式的序列其收敛域不同。 有限长序列:0z<+或0<|z|+o 右边序列:Rx<|z<+ o n左边序列:0<|<Rx n双边序列:Rx<|z<Rx+
11 2.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域 序列x(n)的性质决定了X(z)的收敛域， 不同形式的序列其收敛域不同 。 ◼ 有限长序列：0≤|z|＜+∞ 或 0＜|z|≤+∞ ◼ 右边序列： Rx-＜|z|＜+∞ ◼ 左边序列： 0＜|z|＜Rx+ ◼ 双边序列： Rx- ＜|z|＜ Rx+
有限长序列 有限长序列只在有限区间nn≤n内具有非零 的有限值,在此区间外序列值都为零 2变换X(=)=∑x(m)z= 要求:在有限区间内级数的每一项都有界, 则有限项的和有界,级数就收敛 x(n)有界 开域 x(n)zm|<+∝ z|<+0 0<|z|<+∞ 边界讨论:z=0及z=∞两点是否也收敛与n、n取 值情况有关。(具体见教材p40与例题) 12
12 有限长序列 ◼ 有限长序列只在有限区间n1≤n≤n2内具有非零 的有限值，在此区间外序列值都为零 ◼ Z变换 2 1 ( ) ( ) n n n n X z x n z − = = ◼ 要求：在有限区间内级数的每一项都有界， 则有限项的和有界，级数就收敛。 | ( ) n x n z − |＜+ | | n z − ＜+ 0＜ ＜+ | | z x(n)有界 开域 ◼ 边界讨论：z= 0及z= ∞两点是否也收敛与n1、n2取 值情况有关。 （具体见教材p40与例题）
例:求有限长序列的Z变换 例22求序列x(m)=aR(m)的Z变换。 解:根据Z变换的定义 X(=)=∑a" 1-(ax1) n=0 =∑()=1-a n=0 讨论: m ■假设la|是有限值,且al|<1。 nX(z)有一个z=a的极点,但也有 一个z=a的零点,将零极点对消。 Re z 收敛域为0<|z≤+∞。 13
13 例：求有限长序列的Z变换 例2.2 求序列 的Z变换。 讨论： ◼ 假设|a|是有限值，且|a|＜1。 ◼ X(z)有一个z= a的极点，但也有 一个z= a的零点，将零极点对消。 ◼ 收敛域为0＜|z|≤+∞。 解：根据Z变换的定义 1 1 1 1 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 N N N n n n n n az X z a z az az − − − − − − = = − = = = − ( ) ( ) n N x n a R n =
右边序列 右边序列只在有限区间n≥n1内具有非零的有 限值,在此区间外序列值都为零 Z变换X()=∑x(n) (2.5) n=1 假设:级数(25在某个圆|=z1上绝对收敛 ∑|x(n)1"1<+
14 右边序列 ◼ 右边序列只在有限区间n≥n1 内具有非零的有 限值，在此区间外序列值都为零 ◼ Z变换 1 ( ) ( ) (2.5) n n n X z x n z + − = = ◼ 假设：级数(2.5)在某个圆|z|=|z1|上绝对收敛 1 1 | ( ) | n n n x n z + − = ＜+
右边序列(因果)的收敛域 假设:z是圆外任意一点,即|z>|z 当n位≥0时,序列为因果序列 X()=∑|x(n)∑|x(n)=11<+ =n1 jIm z1 显然,级数Ⅺ(z)收敛。 讨论:级数Ⅺ(z)中没有正幂项, z|=+∞时级数收敛,因此收敛 域包括∞点,即为 RXx-<|z|≤+ 15
15 右边序列（因果）的收敛域 假设：z是圆外任意一点，即|z|＞|z1| ◼ 当n1≥0时，序列为因果序列 1 1 1 ( ) | ( ) | | ( ) | n n n n n n X z x n z x n z + + − − = = = + ＜ ＜ ◼ 显然，级数X(z) 收敛。 ◼ 讨论：级数X(z)中没有正幂项， |z|= +∞时级数收敛，因此收敛 域包括∞点，即为 Rx-＜|z|≤+∞