x0x+2(x0v+xy0)+3y0y 2(x+x0) 3(y+y0)+3=0, 5 5 即 (x0+2y0 2)x+(2x0+3y03)y2x03y0+3=0, 山已知条件有 5 即 1(x0+2v0 2)=2x0+3y03, 或 2x0+5y07=0. ① 又切点在曲线上，从而 古+4x0y0+3片5x06y0+3=0, ② 山①，②解得切点为(1,1)，(4,3)，故所求切线方程为 x+4y5=0和x+4y8=0 例4.试求经过原点月切直线4x+3y+2=0于点(1,2)及切直线xy1=0于 点(0， 1)的二次曲线方程. 解：因为二次曲线过原点(0,0)，所以设二次曲线为 a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y=0, 切线方程为 (xx0)F1(x0,y0)+(yy0)F2(x0,y0)=0, 还可写为 F1(x0,y0)x+F2(x0,y0)y+F3(x0,y0)=0. 从而过点(1， 2)及(0,1)的切线分别为 (a112a12+al3)x+(a122a22+a23)y+al32a23=0, (a12+a13)x+(a22+a23)ya23=0, 山题设它们应分别为4x+3y+2=0及xy1=0,故有 a1-2a+as=42 -4z+4=4, 4-2aa+ae=3(a*0) a知+a=-4(04*0) 4,-2as=21 -a8=-4 解得 3 从而a11=6,a12- 2, a22-1,a13=1,a23= 2 故所求二次曲线为 6x2+3xyy2+2xy=0. 作业题： 1.求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程. (1)曲线5x2+7xy+y2x+2y=0在原点：
(2)曲线5x2+6xy+5y2=8经过点(0,2V2). 2.已知曲线x2+xy+y2=3的切线平行于x轴，求切线方程和切点坐标.· §5.4二次曲线的直径 教学目的： 1、理解二次曲线的直径与共轭弦概念及共轭方向与共轭直径概念： 2、掌屋求二曲线直径方程及共轭方向与共轭直径的方法： 3、掌握中心曲线与非中心曲线的直径特征。 教学重点 二次曲线的直径概念及方程求法 教学难点 共轭方向与共轭直伦的概念及关系 教学内容 一、直径 1.定理1：二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线。 证明：设X:Y是二次曲线的非渐近方向，即(X,Y)0,而(x0,y0)是平行于 X=x+2 方向X:Y的弦的中点，那么过(xO,y0)的弦的方程为 y=%+羚，它与二次曲线的 交点山方程 (X,Y)t2+2[F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y]t+F(x0,y0)=0 的两根t1,t2所决定，因为(x0,y0)是弦的中点，所以有t1+t2=0, 从而有 XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)=0. 这就是说平行于方向X:Y的弦的中点坐标(x0,yO)满足方程 XF1(x,y)+YF2(x,y)=0, 即 X(a11x+a12y+al3)+Y(al2x+a22y+a23)=0, 或 (a11X+a12Y)x+(a12X+a22Y)y+(a13X+a23Y)=0 月一次项系数不全为零（杏则，若a11X+al2Y=a12X+a22Y=0时，将有(X,Y) =al1X2+2al2XY+a22Y2=(a11X+a12Y)X+(al2X+a22Y)Y=0,这于X:Y是非渐 近方向的假设矛盾)，所以此二元一次方程表示一条直线， 2.定义1：二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这条二次曲线的直径，它所对应