高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 第五节对坐标的曲面积分 教学内容：有向曲面及曲面元素的投影： 对坐标的曲面积分的概念与性质： 对坐标的曲面积分的计算法 两类曲面积分之间联系。 教学目标：理解对坐标的曲面积分的概念和性质， 掌握对坐标的曲面积分的计算方法 了解两类曲面积分之间联系。 教学重点：对坐标的曲面积分的计算方法 教学难点：有向曲面及曲面元素的投影 对坐标的曲面积分的计算法 教学方法：讲授 作 业：课后习题 教学过程： 一、有向曲面及曲面元素的投影 有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双侧的.例如由方程=z(x)表示的曲面分为上 侧与下侧.设n=(cosa,cosB,cos)为曲面上的法向量，在曲面的上侧cos>0,在曲面的下 侧cos火0.闭曲面有内侧与外侧之分.类似地，如果曲面的方程为=r(乙，，则曲面分为左 侧与右侧，在曲面的右侧cos公0，在曲面的左侧cos及0.如果曲面的方程为仁x(y),则 曲面分为前侧与后侧，在曲面的前侧cosa心0，在曲面的后侧cos<0. 设Σ是有向曲面.在Σ上取一小块曲面△S把△S投影到xOy面上得一投影区域，这投影 区域的面积记为（△o).假定△S上各点处的法向量与z轴的夹角y的余弦cosy有相同的符号 (即cosy都是正的或都是负的).我们规定△S在xOy面上的投影（△S,为 (AO)x cosy>0 (△S)y (△O)y cosy<0, 0 coSy≡0 其中cos=0也就是（△σ），=0的情形.类似地可以定义△S在yOz面及在zOx面上的投影（△S)x 及（△S. 二、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x2)=(P八x八2)），Q(x2),R(xyz)） 给出，Σ是速度场中的一片有向曲面，函数P(xy2)、Q(x,)、R(xy2）都在Σ上连 续，求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量，即流量Φ
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 分析：如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域，且流体在这闭区域上各点处的流速 为（常向量）？又设为该平面的单位法向量，那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成 一个底面积为A、斜高为的斜柱体 当(g)=6<受时，这斜柱体的体积为Av©os:An 当(g小-受时，显然流体通过闭区域4的流向n所指侧的流量0为零，而加心，故 Φ=A四 当（化川>号时，4心，这时我们仍把n称为流体通过闭区城A流向n所指一侧的 流量，它表示流体通过闭区域A实际上流向-n所指一侧，且流向-n所指一侧的流量为-Arn. 因此，不论(g)为何值，流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为An, 对一般的有向曲面∑，对稳定流动的不可压缩流体的 速度场v=(P(x,y,z),Q(x,y,z)R(x,y,z) 用“大化小，常代变，近似和，取极限” 把曲面Σ分成n小块：△S,△S,··,△S(△S同时也代表第i小块曲面的面积).在Σ 是光滑的和v是连续的前提下，只要△S的直径很小，我们就可以用△S上任一点(5，，G) 处的流速 =v(5,1,5)=P八5,75)i+Q5,7,5）j升R(5,7,5)k 代替△S上其它各点处的流速，以该点(5，，5)处曲面Σ的单位法向量 n=cosa i+CosB,产cosyk代替AS上其它各点处的单位法向量.从而得通过△S,流向指定侧的流量 的近似值为n△S,(=1,2,···,d 于是，通过Σ流向指定侧的流量D≈yAS, i=l -P()cosa,+O(5)cosB+R(56)cosy1AS. i=1 但 cosar△S≈(AS)W,cosB△S≈（△S）m,cos△S≈（△S)w, 故中≈∑P(5,,5)AS)z+Q(5,,5)AS,)zx+R(5,1,5i)AS)]; i= 令入→0取上述和的极限，就得到流量Φ的精确值这样的极限还会在其它问题中遇到.抽去 具体意义，就得出对坐标的曲面积分的概念 提示：把△S,看成是一小块平面，其法线向量为，则通过△S流向指定侧的流量近似地 等于一个斜柱体的体积。 此斜柱体的斜高为v,高为cos(,n)=rn,体积为rn△S. 因为n=cosa,i+C0sB:升cos为k 2
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 v=v(5,7,5)=P(5,n,5)i+Q5,,G)j升R(5,,5)k rn△S=[P八5,7，S）cosa+Q(5,7,S）cosB+R5,,5)cosY]△S, 公 cosarAS≈（△S）a,cosBrAS≈(AS）r,cosyrAS≈(AS)r, 所以VrnAS≈P(5,n,5)(△S)+Q(5,7S)(△S》+R(5,,S）(△S》w. 对于Σ上的一个小块o,显然在△t时间内流过σ的是一个弯曲的柱体.它的体积近似于 以o为底，而高为(M△t)cos(gn)=n△t 的柱体的体积：V.nA tA.S,这里=(cosa,cosB,cos是o上的单位法向量，△S表示o的面 积.所以单位时间内流向σ指定侧的流体的质量近似于AS(P(xy2)cos叶Qx乃， z)cosB+(xyz)cosy)△S.如果把曲面∑分成n小块G(=1,2,···,n),单位时 间内流向Σ指定侧的流体的质量近似于 u≈∑{P(x,z)Cosa%+Qx,y,z)cosB+R(x,y,z)cosY}△S. i= 按对面积的曲面积分的定义， =P(x,y,2)cosa+Q(xy,z)cosB+R(x,y,z)cosyidS=[V.ndS 抽去流体物理内容，我们抽象出对坐标的曲面积分的概念 定义设Σ为光滑的有向曲面，函数R(x5z)在Σ上有界.把Σ任意分成n块小曲面 △S,(△S同时也代表第i小块曲面的面积).在xOy面上的投影为（△S),(5,7,5)是△S 上任意取定的一点.如果当各小块曲面的直径的最大值无0时.m之RG,,5AS →0 总存在，则称此极限为函数R(xy)在有向曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分，记作 JRGx.y.Xdxdy [fR(x.y.)ddy-limR.5D)(AS) λ0e 其中(x5z)叫做被积函数，Σ叫做积分曲面类似地 ∬Px,y,z)ddb=Iim∑P5,n,SaS)e 元01 O(x,y.2)dzdx=im5)(A5) 1>0=1 定义设Σ是空间内一个光滑的曲面，=(cosa,cosB,cos)是其上的单位法向量，V(x )=(P(x乃)，Q(x马)，(x乃z)是确在Σ上的向量场.如果下列各式右端的积分 存在，我们定义 Pdvd-P)cosadS. 3
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 d-(cosBdS, RGx,)dbdy-J[RGxy,)cosydS 并称小P(xy2)d边为P在曲面Σ上对坐标人z的曲面积分， 〔e(x,y,2dzk为Q在曲 面Σ上对坐标么x的曲面积分， 川R(x,y,z)kd为R在曲面Σ上对坐标人z的曲面积分 其中PQR叫做被积函数，Σ叫做积分曲面.以上三个积分也称为第二类曲面积分 对坐标的曲面积分的存在性： 出现较多的是 oc.y.xb-R. -P(x.)dyd=+Qx.y.dadk+R(x.y.dd 流向Σ指定侧的流量Φ可表示为 Φ=∬P(x.y.)dvd+-0x,ybdt+Rk,y,zhd 规定：如果Σ是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在Σ上对坐标的曲面积分等于函数 在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和， 对坐标的曲面积分的性质： 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质.例如(1)如果把Σ分成Σ： 和2，则 ∬Phdb+eddk+Rdk =J∬Pt+Obi+Rd+j∬Pt+Qb+Rhd (2)设Σ是有向曲面，-Σ表示与Σ取相反侧的有向曲面，则 ∬Pdt+Qdbk+Rhd= Pdydz+Odzdx+Rdxdy - 这是因为如果=(cosa,cosB,cos是Σ的单位法向量，则-∑上的单位法向量是-n=( Cosa,-c0sB,-c0s》 ∬Pddk+Qubk+Rd -Σ --iP(x.y.z)cosa+Q(.y.)cosB+R(x.y.)cosyidS =-∬Ptdk+Oddk+Rhkd
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 二、对坐标的曲面积分的计算法 将曲面积分化为二重积分：设积分曲面Σ由方程=z(x)给出的，∑在xOy面上的投 影区域为D,，函数=z(xy)在D上具有一阶连续偏导数，被积函数(xy)在Σ上连 续，则有 Rxy,zdd=±x,y2x,ykd, 其中当Σ取上侧时，积分前取“+”；当Σ取下侧时，积分前取“-”. 这是因为 R.y.dsdy-im(S) 九0写 当∑取上侧时，cos>0所以（△S)w=(△o).又(5，，5）是∑上的一点，故5=z(5,n）. 从而2R5,54So=2R5,2(5aow i=l 令1→0取极限，就得到 R(x,y,z)dxdy=RIx,y,z(,y)xdy D 同理当Σ取下侧时，有 [[R(x.y,z)dxdy=-[[RIx.y,z(x.y)ldxdy D 因为当卫取上侧时，c0s>0,(△S》=(△o)m.当(5，，）e∑时，=z(5,n).从而 有 [[R(x.y,2)dxdy=lim >R()(AS )y -im)Rx.y.(x)dy D 同理当Σ取下侧时，有 [[R(x.y.z)dxdy=-[[RIx.y,z(x,y)xdy. 这是因为n=(cosa,cosB,cos)=±- 1 1+2+z 5{-2,-2,1}, 1 cosy= V1+2+2 dS=V1+z+z子y, j∬R(x,y.)dvdy=∬Rxy2)cosS=±∬x,yzc,dw, D 如果∑由=x(gz)给出，则有 P(x,y,z)dyd=Px(y,z).y,zldydz. 如果Σ由=y(么给出，则有(x,y,z)tdk=±川gx,(2,x,z水 5