例2.求二次曲线x23xy+2y2+x3y+4=0的渐近线. 解法一：山 x-3y+-0 3 2 2 3 2+2y-20 解得中心为C(5, 3),山(X,Y)=X23XY+2Y2=0解得渐近方向为 X1:Y1=2:1,X2:Y2=1:1, 所以渐近线方程为 x+5y+3 x+5y+3 2=1, 1-1, 即 x-2y-1=0,x-y+2=0. 解法二：同解法一求得中心为C(5,3),山上题得渐近线为 (x+5,y+3)=(x+5)23(x+5)(y+3)+2(y+3)2=0, 或 [(x+5)2(y+3)][(x+5)(y+3)]=0, 即 x2y1=0,xy+2=0. 例3.证明以A1x+B1y+C1=0为渐近线的二次曲线方程总能写成 (A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D=0. 证明：设以A1x+B1y+C1=0为渐近线的二次曲线为 F(x,y）a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0, 它的渐近线为 (xx0,yy0)=0. 其中(x0,y0)为曲线的中心，因为它是关于xx0,yy0的二次齐次式，所以它 可以分解为两个一次式之积，从而有 (x x0,y yo)=(A1x+B1y+C1)(Ax+By+C). 但另一方面 (xx0,yy0)=a11(xx0)2+2a12(xx0)(yy0)+a22(yy0)2 =a11x2+2a12xv+a22y22(a11x0+a12v0)x2(a12x0+a22y0)y+a11x02 +2al2x0y0+a22y02, 因为(x0,y0)为曲线的中心，所以有 a11x0+a12y0=al3,a12x0+a22y0-a23, 因此 (xx0,yy0)=F(x,y)+(x0,y0)a33. 令 (x0,y0)a33=D,代入上式就有F(x,y)=(xx0,yy0)+D, 即 F (x,y)=(A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D, 故以A1x+B1y+C1=0为渐近线的二次曲线可写成 (Alx+B1v+C1)(Ax+By+C)+D=0
例4.求下列二次曲线的方程. (1)以(0,1)为中心，月通过点(2,3)，(4,2)与(1,3)： (2)通过点(1,1)，(2,1)，(1,2)月以直线x+y1=0为渐近线， 解：(1)：设二次曲线方程为 F(x,y)a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0, 山于曲线以(0,1)为中心，从而 a12+a13=0,a22+a23=0, 又曲线过(2,3)，(4,2)，(1,3)，故有 4a11+12a12+9a22+4a13+6a23+a33=0, 16a11+16a12+4a22+8a13+4a23+a33=0, a11+6a12+9a222a136a23+a33=0. 山以上五式解得： 1 al1:al2:a22:al3:a23:a33=0:2:0: 2:0:4 故所求二次曲线方程为xyx=0. (2):山上题结论，设二次曲线方程为 (x+y1)(Ax+By+C)+D=0, 因曲线过(1,1)，(2,1)，(1,2)，从而有 (A+B+C)+D=0, 2(2A+B+C)+D=0, 4(A2B+C)+D=0. 即 A+B+C+D=0, 4A+2B+2C+D=0, 4A+8B4C+D=0. 山以上三式解得A:B:C:D=2:3:3:4, 代入所设方程就有(x+y1)(2x3y3)+4=0, 化简整理得2x2xy3y25x+7=0. 作业题： 1.求下列二次曲线的渐近方向，并指出曲线是属于何种类型的. (1)x2+2xy+y2+3x+y=0: (2)3x2+4xy+2y26x2y+5=0: (3)2xy4x2y+3=0. 2.判断下列二次曲线是中心曲线、无心曲线还是线心曲线
(1)x22xy+2y24x6y+3=0: (2)x24xy+4y2+2x2y1=0: (3)9x26xy+y26x+2y=0. 3.求下列二次曲线的中心 (1)2x2+5xy+2y26x3y+5=0: (2)9x230xy+25y2+8x15y=0: (3)4x24xy+y2+4x2y=0. §5.3二次曲线的切线 教学目的 1、理解二次曲线的切线及奇异点和正常点概念： 2、掌握求二次曲线的切线方程的方法。 教学重点 二次曲线的切线概念及求法 教学难点 过二次曲线外一点求二次曲线的切线方程 教学内容 一、概念 1.定义1：如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫 做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点：果直线全部在二次曲线上，我们也 称它为二次曲线的切线，直线上的每一个点都可以看作切点. 2.定义2：二次曲线F(x,y)=0上满足条件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0的点 (x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点：二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正 常点.奇点是中心，但中心不一定是奇点。 注：(1)二次曲线有奇点的充要条件是I3=0, (2)二次曲线的奇点一定是二次曲线的中心，但反之不然. 二、切线求法 1. 已知切点求切线： 设点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0上的点，则通过点(x0,y0)的直线方程总 x=本+沿 可以写成少=为+2
那么此直线成为二次曲线切线的条件，当(X,Y)0时 =[F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y]2(X,Y)F(x0,y0)=0. 因为点(x0,y0)在二次曲线上，所以F(x0,y0)=0:因而上式可化为 F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y=0. 当(X,Y)=0时除了F(x0,y0)=0外，唯一的条件仍然是 F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y=0. (1)果点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的正常点：那么山以上条件得 X:Y=F2(x0,y0):(-F1(x0,y0)), 因此切线方程为 x=+瓦(m) y=%-()4 x--y-% 或写成 F(0%)-(0,) 或 (xx0)F1(x0,y0)+(yy0)F2(x0,y0)=0, 其中(x0,y0)是它的切点： (2)1果点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的奇异点，即F1(x0,y0)=F2(x0, y0)-0,则切线方向X:Y不能唯一地被确定，从而通过点(x0,y0)的切线不确定，这 时通过点(x0,y0)的任何直线都和二次曲线F(x,y)=0相交于相互重合的两点， 我们把这样的直线也看成是二次曲线的切线 这样我们就得到 定理1：如果点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的正常点，则通过点(x0,y0) 的切线方程是(xx0)F1(x0,y0)+(yy0)F2(x0,y0)=0,(x0,y0)是它的切点. 1果点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的奇异点，则通过点(x0,y0)的每 一条直线都是二次曲线F(x,y)=0的切线. 推论：如果点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的正常点，则通过点(x0,y0) 的切线方程是a11x0x+a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)十a23(y+y0)+a33=0. 证明：过点(x0,y0)的切线方程可改写成 xF1(x0,y0)+yF2(x0,y0)[x0F1(x0,y0)+y0F2(x0,y0)]=0, 那么 xF1(x0,y0)+yF2(x0,y0)+F3(x0,y0)[x0F1(x0,y0)+y0F2(x0,y0)+ F3(x0,y0)]=0, 则有 xF1(x0,y0)+yF2(x0,y0)+F3(x0,y0)=0, 即 x(a11x+a12y+al3)+y(a12x+a22y+a23)+(al3x+a23y+a33)=0, 从而得a11x0x+a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)+a23(y+y0)+a33=0. 2. 己知二次曲线外一点，求过此点的切线：
设点(x0,y0)不是二次曲线上的点，即F(x0,y0)0,则过点(x0,y0)的直 x=+近 线方程为少=名+2 此直线成为二次曲线上切线唯一条件是 (X,Y)0月=[F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y]2(X,Y)F(x0,y0)=0. 山此解出X:Y,从而得（两条）切线的方程. 例1.求以下二次曲线在所给点或通过所给点的切线方程。 (1)曲线3x2+4xy+5y27x8y3=0,在点(2,1)： (2)曲线x2+xy+y2十x十4y+3=0,经过点(2,1). 解：(1)F(x,y)=3x2+4xy+5y27x8y3,F1(x,y)=3x+2y F2(x, y)=2x+5y4,因为F(2,1)=12+8+51483+=0,月 9 F1(2,1)-2≠0， F2(2,1)=5≠0， 所以，点(2,1)是二次曲线上的正常点. 9 因此切线方程为 2(x2)+5(y1)=0, 化简得 9x+10y28=0. 11 (2)F(x,y)=x2+xy+y2+x+4y+3,F1(x,y)=2 2 F2(x,y)= 2x+y+2 因为F(2,1)=40,所以点(2,1)个在曲线上，而F1(2,1)=2, F2(2,1)=0, x=-2+粒 设所求切线方程为 y=-1+ 山(2X)24(X2+XY+Y2)=0得X1:Y1=1:1, X2:Y2=1:0, x=-2-1 x=-2+t 所以两条切线方程为 y=-1+t与 y=-1 即 x+y+3=0 y+1=0. 例3.已知曲线x2+4xy+3y25x6y+3=0的切线平行于x+4y=0,求切线方程和 切点坐标 解：设切点为(x0,y0),则切线方程为