西南科技大学：《自动控制原理》第三章 时域分析法

332二阶系統的阶跃响应31341353 o单位阶跃函数作用下,二阶系统的响应称为单位阶跃响应。 其输出的拉氏变换为 1 C(s)=0()R(s52+2n5+2ss(s+S1)(s+52) o二阶系统特征方程 +2on+o2=0 其根决定了系统的响应形式。动画演示 °进一步的描述如下图: C Jo 1.6 1.4 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 兴 2 24681012141618 (a)闭环极点分布 (b)单位阶跃响应曲线

3.3.2 二阶系统的阶跃响应 2 0 2 2 s  n s n  •其根决定了系统的响应形式。 其输出的拉氏变换为 ( )( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 s s s s s s s s C s s R s n n n n              单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。 二阶系统特征方程 (a) 闭环极点分布 j  1 1 2 2 3 3 5 4 0 5 (b) 单位阶跃 响应曲线 1.2 1.0 1.6 1.4 0.8 0.6 0.4 0.2 c(t) 2 4 6 8 10 1214 16 18 0 t 2 1 3 5 4 •进一步的描述如下图： 动画演示 3.3.1 3.3.3 3.3.4 3.3.5

1.欠阻尼二阶系统(即0<《<1时) 系统有一对共轭复根: s12=-conj√1-2=-a±jnc0B B」0 阶跃响应为 c(l)=1e^ sin(nt+)(t≥0) S2 - 其中B arccos 5 c阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成 稳态部分等于1,表明不存在稳态误差; 瞬态部分是阻尼正弦振荡过程,阻尼的大小由cn(即σ,特 征根实部)决定; 振荡角频率为阻尼振荡角频率a4(特征根虚部),其值由 阻尼比和自然振荡角频率an决定

•稳态部分等于1，表明不存在稳态误差； • 瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由 n (即σ，特 征根实部）决定； • 振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚部），其值由 阻尼比ζ和自然振荡角频率n决定。 欠阻尼二阶系统的单位阶响应由 和 两部分组成： 1. 二阶系统 (即0<ζ<1时) •系统有一对共轭复根： 2 s1,2  n  jn 1  d =   j •阶跃响应为   arccos sin( ) ( 0) 1 ( ) 1 2        t t e c t d t n     •其中 =cos  0 s1 ωn -n s2 j jd  2 d   n 1  

l.2 =-50n±j0, 52=-a±jo 2临界阻尼二阶系统(即1时) 系统有两个相同的负实根:s12=-an 阶跃响应:c(t)=1-e-m'(1+onr) 系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的,不存 在稳态误差。 3.无阻尼二阶系统(即=0时) 此时系统有两个纯虚根:s12=±jan 阶跃响应:c(0)=1- cos ot 系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线 4.过阻尼二阶系统(即1时) 此时系统有两个不相等负实根s12=-a±anV52-1=T,n(>T) 阶跃响应:c(t)=1+ e 系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差

• 系统有两个相同的负实根：s1,2= -n • 阶跃响应: • 此时系统有两个纯虚根： s1,2 =±j n • 阶跃响应： c(t)=1-cos n t • 系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。 • 此时系统有两个不相等负实根 1 , ( ) 1 2 1 2 2 s1,2  n n   T T T T t T t T e T T e T T c t 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ( ) 1          c(t) 1 e (1 t) n t n       2 1 , 2 s   n  j n 1   d =    j 2. 二阶系统（即ζ=1 时） 3. 二阶系统 （即ζ=0 时） 4. 二阶系统 （即ζ>1 时） • 系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存 在稳态误差。 • 系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。 • 阶跃响应：

c以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图: 1.8 0.1 0.4 0.2 14 0.3 12 c() 0.6 08|07 0.8 0.6 20 0.4 0.2 0123456789101112 n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n t c(t) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图： =0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 2.0

33阻尼二阶系统的动态性能指标3313213135 1.动态性能指标计算动面演示 矿单位阶跃响应c()=1 e sin(ont+B)(t≥0) o上升时间t 阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。 此时 c(t)=1 -So,t 即 -sin(@t r +B)=0 得 d ny1-2 峰值时间t 矿单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间 由 dc(t) =0 得 元 d

3.3.3 欠阻尼二阶系统的 sin( ) ( 0) 1 ( ) 1 2        t t e c t d t n     2  1            n d r t 单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。 阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。 2  1        n d p t 1. 动态性能指标计算 上升时间 tr 峰值时间 tp 单位阶跃响应      sin( ) 0 1 2     d r t t e n r • 即 • 得 0 ( )   p t t dt dc t • 由 • 得 • 此时 c(t r )  1 动画演示 3.3.1 3.3.2 3.3.4 3.3.5