第12章正交编码与伪为随机序列12.2.2阿达玛矩阵·定义：阿达玛矩阵简记为H矩阵。它是一种方阵，仅由元素+1和－1构成，而且其各行（和列）是互相正交的。最低阶的H矩阵是2阶的，即+1 +1H.-1+下面为了简单，把上式中的+1和－1简写为+和－，这样上式变成H.12
12 第12章 正交编码与伪随机序列 ◼ 12.2.2 阿达玛矩阵 ◆ 定义： 阿达玛矩阵简记为H矩阵。它是一种方阵，仅由元素+1 和－1构成，而且其各行（和列）是互相正交的。最低 阶的H矩阵是2阶的，即 下面为了简单，把上式中的＋1和－1简写为＋和－，这 样上式变成 + − + + = 1 1 1 1 H2 + − + + H2 =
第12章正交编码与伪为随机序列阶数为2的幂的高阶H矩阵可以从下列递推关系得出HN=HN/2CH2式中，N=2m;?-直积。上式中直积是指将矩阵Hn/2中的每一个元素用矩阵H,代替。例如：HHH4=H,?H,H.-H13
13 第12章 正交编码与伪随机序列 阶数为2的幂的高阶H矩阵可以从下列递推关系得出 H N＝ H N / 2 H 2 式中，N ＝ 2 m； － 直积。 上式中直积是指将矩阵HN / 2中的每一个元素用矩阵H2代替。 例如： + − − + + + − − + − + − + + + + = − = = 2 2 2 2 2 H H H H H4 H2 H
第12章正交编码与伪为随机序列十?十十十十+十十++十HH十++H.=H4 H, =H4-H十十++十上面给出几个H矩阵的例子，都是对称矩阵，而且第一行和第一列的元素全为"+”。我们把这样的H矩阵称为阿达玛矩阵的正规形式，或称为正规阿达玛矩阵。14
14 第12章 正交编码与伪随机序列 上面给出几个H矩阵的例子，都是对称矩阵，而且第一行和 第一列的元素全为“＋”。我们把这样的H矩阵称为阿达玛 矩阵的正规形式，或称为正规阿达玛矩阵。 + − − + − + + − + + − − − − + + + − + − − + − + + + + + − − − − + − − + + − − + + + − − + + − − + − + − + − + − + + + + + + + + = = = 4 4 4 4 8 4 H - H H H H H H2
第12章正交编码与伪为随机序列·性质口在H矩阵中，交换任意两行，或交换任意两列，或改变任一行中每个元素的符号，或改变任一列中每个元素的符号都不会影响矩阵的正交性质。因此，正规H矩阵经过上述各种交换或改变后仍为H矩阵，但不一定是正规的了。按照递推关系式可以构造出所有2k阶的H矩阵。可以证明高于2阶的H矩阵的阶数一定是4的倍数。不过，以4的倍数作为阶数是否一定存在H矩阵，这一问题并未解决H矩阵是正交方阵。若把其中每一行看作是一个码组，则这些码组也是互相正交的，而整个H矩阵就是一种长为n的正交编码，它包含n个码组。因为长度为n的编码共有2n个不同码组，现在若只将这n个码组作为准用码组，其余(2nn)个为禁用码组，则可以将其多余度用来纠错。这种编码在纠错编码理论中称为里德-缪勒(Reed-Muller)码15
15 第12章 正交编码与伪随机序列 ◆ 性质 在H矩阵中，交换任意两行，或交换任意两列，或改变任 一行中每个元素的符号，或改变任一列中每个元素的符号， 都不会影响矩阵的正交性质。因此，正规H矩阵经过上述 各种交换或改变后仍为H矩阵，但不一定是正规的了。 按照递推关系式可以构造出所有2 k阶的H矩阵。可以证明， 高于2阶的H矩阵的阶数一定是4的倍数。不过，以4的倍数 作为阶数是否一定存在H矩阵，这一问题并未解决。 H矩阵是正交方阵。若把其中每一行看作是一个码组，则 这些码组也是互相正交的，而整个H矩阵就是一种长为n的 正交编码，它包含n个码组。因为长度为n的编码共有2 n个 不同码组，现在若只将这n个码组作为准用码组，其余(2n - n)个为禁用码组，则可以将其多余度用来纠错。这种编码 在纠错编码理论中称为里德-缪勒(Reed-Muller)码
第12章正交编码与伪为随机序列12.2.3沃尔什函数和沃尔什矩阵·沃尔什函数定义wal(2 j + p,0) = (-1)/2+p (wa[(j,2(β + 1 / 4)] +(-1)+P wal[j,2(β -1 / 4)-1/2≤0<1/2wal(0,0)0<-1/2, 0≥1/2式中p=0或1，j=0，1，2，…，及指数中的[i/2表示取i/2的整数部分。正弦和余弦函数可以构成一个完备正交函数系。由于正弦和余弦函数具有完备和正交性，所以由其构成的无穷级数或积分（即傅里叶级数和傅里叶积分）可以表示任一波形。类似地，由取值"+1"和”－1"构成的沃尔什函数也具有完备正交性，也可以用其表示任一波形16
16 第12章 正交编码与伪随机序列 ◼ 12.2.3 沃尔什函数和沃尔什矩阵 ◆ 沃尔什函数定义 式中 p = 0或1，j = 0，1，2，，及指数中的[j / 2]表示取j / 2 的整数部分。 ◆ 正弦和余弦函数可以构成一个完备正交函数系。由于正 弦和余弦函数具有完备和正交性，所以由其构成的无穷 级数或积分（即傅里叶级数和傅里叶积分）可以表示任 一波形。类似地，由取值“＋1”和“－1”构成的沃尔什 函数也具有完备正交性，也可以用其表示任一波形 (2 , ) ( 1) [( ,2( 1/ 4)] ( 1) [ ,2( 1/ 4)] / 2 + = − + + − − + + wal j p wal j wal j j p j p − − = 0 1/ 2, 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 (0, ) wal