例2改变积分 2x-x2 dx f(x,y)d+axf(x,y)的次序 0 解积分区域如图 =2-x 2x 原式=上f(x,d 例3计算∫x2bDy=x,y=x2 解 ysx 0≤x<1 X一型
例 2 改变积分 − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序. 解 积分区域如图 y = 2 − x 2 y = 2x − x 原式 − − − = 1 0 2 1 1 2 ( , ) y y dy f x y dx. 例3 计算 D xy dxdy 2 D 2 y = x, y = x 0 1 2 x 解一 x y x D： X—型
xydxdy=dx ydy x(x-x)dx 40 解二DJsx≤√ 0≤y≤1Y一型 I=4x2a=y2(y-y2) 例4计算 ydh,D:y=x,P=2,x”=1 D
D = − = = 1 0 3 6 1 0 2 2 40 1 ( ) 3 1 2 x x x dx xy dxdy dx y dy D x x 解二 D 0 y 1 y x y Y—型 = = − = 1 0 2 2 1 0 2 40 1 ( ) 2 1 I dy xy dx y y y dy y y 例4 计算 = = = D dxdy D y x y xy x y , : , 2, 1 2 2
解D{y ≤x≤yY—型 l≤y≤2 s号………以 dy ∫p(y2-y)= 9 若先y后x由于D的下边界曲线在x的不同范 围内有不同的表达式,须分片积分,计算较麻烦
解 D 1 2 1 y x y y Y—型 I = 2 1 1 2 y 2 y dx x y dy 若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范 围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。 = − = 2 1 2 3 4 9 y ( y y)dy 2 1 2 1 2 1
由以上两例可见,为了使二重积分的计算较为 方便,究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的 特点来确定,在积分区域的表达式中选取比较简单 的一组,从而确定相应的公式,同时还要兼顾被积 函数的特点,看被积函数对哪一个变量较容易积分, 总之要兼顾积分区域和被积函数的特点 例5计算 JJ ye dxdy, D:x=1,x=2,y=2,xy=1 解D是x—型区域|=∫yep 要分部积分,不易计算
由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为 方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的 特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单 的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积 函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分， 总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。 例5 计算 = = = = D x y ye dxdy,D : x 1, x 2, y 2, xy 1 解 D是X—型区域 = 2 1 2 1 x xy I dx ye dy 要分部积分，不易计算