式是用x=1代入,而第二个公式是用x=与x=代入由于与 239 5239 比I小得多,因此第二个公式的通项(或余项)比第一个公式的通项 (或余项)趋于零的速度快得多,所以用第二个公式计算π的近似值 效果更好。 5.利用 Taylor公式求近似值(精确到10-): (1)lg11 (3)sin31° (4)cos89 (5)250 (6)(11)2 解(1)01010m+面m+( n+1 其中r(x)= 5位于0与之间。 ln1010(n+1)(+2) 由;(1)| (ln10)10(n+1)(1+2)(n10)10(n+1) 得到r;(1)k<089×10, 满足精度要求,所以 lg11≈1+1 n10102.10231054.10)=104139。 (2)e=S 知kx+(x),其中2(x)=+D’5位于0与x之间。 分x3n=4,()51x2=027×10°,满足精度要求,所以 ≈1+-+ 1.39561。 32.96·2724.81 (3)sin(+)=sin()+cos()x--sin ()x'+r(x) 其中r(x)3×x+),5位于0与x之间
式是用 x =1代入，而第二个公式是用 1 5 x = 与 1 239 x = 代入。由于 1 5 与 1 239 比 1小得多，因此第二个公式的通项（或余项）比第一个公式的通项 （或余项）趋于零的速度快得多，所以用第二个公式计算 的近似值 效果更好。 π ⒌ 利用 Taylor 公式求近似值（精确到10−4）： ⑴ lg11; ⑵ e 3 ; ⑶ sin o 31 ; ⑷ cos o 89 ; ⑸ 250 5 ; ⑹ ( . ) . 11 1 2 . 解（1） ln(10 ) 1 lg(10 ) 1 ln(1 ) ln10 ln10 10 x x x + + = = + + 1 1 1 ( 1) 1 ( ln10 10 n k k k n k x r x k − = − = + ∑ + )， 其中 1 1 ( 1) ( ) (ln10)10 ( 1)(1 ) n n n n n x r x n ξ + + + − = + + 1 ，ξ 位于0 与 10 x 之间。 由 1 1 1 1 1 | (1) | (ln10)10 ( 1)(1 ) (ln10)10 ( 1) nr n n n n n ξ + + + = < + + + ，得到 ， 满足精度要求，所以 6 4 | ( r 1) | 0.89 10− < × 2 3 4 1 1 1 1 1 lg11 1 ( ) 1.04139 ln10 10 2 10 3 10 4 10 ≈ + − + − ≈ ⋅ ⋅ ⋅ 。 （2） 0 1 ( ) ! n x k n k e x r = k = ∑ + x ，其中 1 ( ) ( 1)! n n e r x x n ξ + = + ，ξ 位于0 与 x之间。 令 1 3 x = ， n = 4 ， 1 3 5 4 5 1 | ( ) | 0.27 10 3 5!3 e r − ≤ ≈ × ，满足精度要求，所以 3 1 1 1 1 1 1.39561 3 2 9 6 27 24 81 e ≈ + + + + ≈ ⋅ ⋅ ⋅ 。 （3） 2 2 1 sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) ( ) 6 6 6 2 6 x x x r x π π π π + = + − + ， 其中 3 2 ( ) cos( ) 3! 6 x r x π = − +ξ ，ξ 位于0 与 x之间。 125
由于|n2(-)k 0.88×10,满足精度要求,所以 1803!180 sin 31=sin(-+- )=sin(-)+ co sin(.)2≈0.51504 6180 61802 (4)sinx=x+2(x),其中(x)=-cos5,位于0与x之间 由于|(x)103,满足精度要求,所以 cos89=sin°=sin(。) ≈0.01745。 180180 (5)f(x)=31+x)3=3(1+2x 525.x)+h(x), 其中r(x)= ,5位于0与x之间 125(1+)5 由于|2(x,)k 187 )3≈034×10-3,满足精度要求,所以 243125243 243s3(1+7 243)2=205301+7 4.72 524325.2.2432301708 (6)f(x)=(1+x)2=1+1.2x+ 1.2.0.221.2.0.2.0.8 x+r2(x), 1.2.0.2.0.8·1.8 其中(x)=241+8°x2,5位于0与x之间。 由于|r;(01)k≤001440.1)=0.144×103,满足精度要求,所以 f(0.1)=(1.1)}2=1+1.20.1+ 1.2.02 O.12_1.2 0.2.0 60.13≈1.12117 6.利用函数的 Taylor公式求极限 e sinx-x(l+x (2)lim (a>0) (4)lim(x5+x X→+
由于 3 6 2 3 | ( ) | 0.88 10 180 3!180 r π π − ≤ ≈ × ，满足精度要求，所以 1 2 sin 31 sin( ) sin( ) cos( ) sin( )( ) 0.51504 6 180 6 6 180 2 6 180 π π π π π π π = + = + − ≈ D 。 （4） 2 sin x = +x r (x) ，其中 3 2 ( ) cos 3! x r x = − ξ ，ξ 位于0 与 x之间。 由于 5 2 | ( ) | 10 180 r π − ≤ ，满足精度要求，所以 cos89 sin1 sin( ) 180 π = = D D 0.01745 180 π ≈ ≈ 。 （5） 1 5 2 2 1 4 ( ) 3(1 ) 3(1 ) ( ) 5 25 2 f x x = + = + x − x + r ⋅ x ， 其中 3 2 14 5 18 ( ) 125(1 ) r x x ξ = + ，ξ 位于0 与 x之间。 由于 3 2 7 18 7 | ( )| ( ) 0.34 10 243 125 243 r −5 < ≈ × ，满足精度要求，所以 1 5 7 7 ( ) 3(1 ) 243 243 f = + 1 2 5 2 7 4 7 250 3(1 ) 3.01708 5 243 25 2 243 ⋅ = ≈ + − ≈ ⋅ ⋅ ⋅ 。 （6） 1.2 2 3 3 1.2 0.2 1.2 0.2 0.8 ( ) (1 ) 1 1.2 ( ) 2 6 f x x x x x r x ⋅ ⋅ ⋅ = + = + + − + ， 其中 4 3 2.8 1.2 0.2 0.8 1.8 ( ) 24(1 ) r x x ξ ⋅ ⋅ ⋅ = + ，ξ 位于0 与 x之间。 由于 4 3 | r (0.1) | 0.0144(0.1) 0.144 10−5 ≤ = × ，满足精度要求，所以 1.2 1.2 0 2 3 .2 1.2 0.2 0.8 (0.1) (1.1) 1 1.2 0.1 0.1 0.1 1.12117 2 6 f ⋅ ⋅ ⋅ = = + ⋅ + − ≈ 。 ⒍ 利用函数的 Taylor 公式求极限： ⑴ lim e sin ( ) x x x x x → x − + 0 3 1 ; ⑵ ( 0) 2 lim 2 0 > + − − → + a x a a x x x ; ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → x x x csc 1 lim 0 ; ⑷ lim ( ) x x x x x →+∞ + − − 5 5 4 5 5 4 ; 126