信息化论坛 教育信息化2003年8月第1 期 师:给予肯定。请各组发表意见 A组:对于第2种挖法,不对,因为球的截面,自上而下,截面面积由小变大,再由大变小 B组:(紧跟着)第1种挖法不对,因为随着截面的位置不同,h也不同,是在改变。mh2在改变。 (大家把目光集中在第3种画法,停顿。) 师:请F组同学说明第3种画法的理由: 组:把高为2R的圆柱、球分为对半,显然体积是一样的,如图: S柱截=R2-mh2 S球截=zR2-mh 柱数 S zR2×R) 评析:上述过程是以问题分层即“低起点、高要求、分层次”进行探究教学,坚持“让思想从 学生的头脑中产生”的原则,以问题的转化为主线,照顾到学生认知水平发展的差异,提高了学生 的思维参与度 师:请同学们回顾上述解法,利用祖咂原理求体积,关键是解决什么问题? :(一起回答),截面面积问题 师生共同归纳小结:利用祖咂原理求旋转体体积的方法:1)找到一个可求体积的几何体。2) 关键是解决被平行于底面的平面所截的截面的面积相等的问题。 评析:引发学生解题后进行反思,对自己的思维过程进行评价,有助于内化知识,提炼解法, 深化对祖咂原理的理解,是发展“想”的能力的重要一环,是对“想”的过程进行再创造的教学) 三、应用探究: 1、求椭圆:+,=1(a>b>0),绕y轴旋转一周所得旋转体体积? 16
信息化论坛 教育信息化 2003 年 8 月第 1 期 - 16 - 1） 2） 3） 师：给予肯定。请各组发表意见。 A 组：对于第 2 种挖法，不对，因为球的截面，自上而下，截面面积由小变大，再由大变小。 B 组：（紧跟着）第 1 种挖法不对,因为随着截面的位置不同,h 也不同，是在改变。 2 h 在改变。 （大家把目光集中在第 3 种画法，停顿。） 师：请 F 组同学说明第 3 种画法的理由： F 组：把高为 2R 的圆柱、球分为对半，显然体积是一样的，如图： S 圆柱截＝ 2 R － 2 h S 球截＝ 2 R － 2 h S 圆柱截＝ S 球截 V 体积＝ 3 2 3 3 4 ) 3 1 2(R − R R = R 评析：上述过程是以问题分层即“低起点、高要求、分层次”进行探究教学，坚持“让思想从 学生的头脑中产生”的原则，以问题的转化为主线，照顾到学生认知水平发展的差异，提高了学生 的思维参与度。 师：请同学们回顾上述解法，利用祖暅原理求体积，关键是解决什么问题？ 生：（一起回答），截面面积问题 师生共同归纳小结：利用祖暅原理求旋转体体积的方法：1）找到一个可求体积的几何体。2） 关键是解决被平行于底面的平面所截的截面的面积相等的问题。 评析：引发学生解题后进行反思，对自己的思维过程进行评价，有助于内化知识，提炼解法， 深化对祖暅原理的理解，是发展“想”的能力的重要一环，是对“想”的过程进行再创造的教学） 三、应用探究： 1、求椭圆： 1 2 2 2 2 + = b y a x （ a b 0 ），绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积？
信息化论坛 教育信息化2003年8月第1 期 (给学生充分的间思考讨论) A组:上述旋转体与球体有类似,即当a=b时,即为球体。 D组:旋转体高度为2a到中截面距离为h的截面是圆,由y=h代入 h2 x2=a2(1-2)∴截面面积S=ax2=m2(1-11)=m2-x(2)2h2(*) 师:提示由(★)式结构可知,构造两个几何体。应构造怎样的两个几何体呢? E组:构造两个几何体,使它们在高为h处,一个截面面积为ma2,另一个几何体的截面面积为 -h)2 如右图: 1) 对于1),任何地方的截面面积为m2,2)几何体的截面半径为r,则=力 面积为r(h)2 师:请同学们计算一下旋转体的体积 生:V=-2J=2ma2b-2×m2b=mb2a (哦,学生惊喜发现,当a=b=R时,即为=4mR) 师:刚才解决了椭圆绕直线旋转得到的几何体的体积,类似的我们还可以求哪些几何体的体积? 生:双曲线、抛物线等, 评析:以类比联想的思维方法为指导提出问题,有助于培养思维的深刻性。 17
信息化论坛 教育信息化 2003 年 8 月第 1 期 - 17 - （给予学生充分的时间思考、讨论） A 组：上述旋转体与球体有类似，即当 a = b 时，即为球体。 D 组：旋转体高度为 2a 到中截面距离为 h 的截面是圆，由 y = h 代入 (1 ) 2 2 2 2 b h x = a − 截面面积 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) ( ) h b a a b h S = x = a − = − （＊） 师：提示由（＊）式结构可知，构造两个几何体。应构造怎样的两个几何体呢？ E 组：构造两个几何体，使它们在高为 h 处，一个截面面积为 2 a ，另一个几何体的截面面积为 2 ( h) b a 。 如右图： 1） 2） 对于 1），任何地方的截面面积为 2 a ，2）几何体的截面半径为 r ，则 b h a r = h b a r = 面积为 2 ( h) b a 师：请同学们计算一下旋转体的体积 生： V V V a b a b b a 2 2 2 3 4 3 1 = 柱－2 锥 ＝2 − 2 = （哦，学生惊喜发现，当 a = b = R 时，即为 3 3 4 V球 ＝ rR ） 师：刚才解决了椭圆绕直线旋转得到的几何体的体积，类似的我们还可以求哪些几何体的体积？ 生：双曲线、抛物线等。 评析：以类比联想的思维方法为指导提出问题，有助于培养思维的深刻性。 a a b
信息化论坛 教育信息化2003年8月第1 期 2、求双曲线:a2-b2=1(a>b>0,与y=,y==0围成的图形绕y轴旋转一周所得 旋转体体积? 学生类似的解决:旋转体高度为2a到中截面距离为h的截面是圆,由y=h代入 h )∴截面面积S 2 h )2h2() 构造两个几何体,使它们在高为h处,一个截面面积为xa2,另一个几何体的截面面积为 对于1),任何地方的截面积为m2,2)几何体的截面半径为F,则f=h r=2h:面积为r(h) =+2 b=°mb2a 评析:通过上述两题的探究,学生已初步掌握这一类问题的探究方法,为提高思维的深刻性, 继续变式探究。 3、抛物线y=ax2与y=b(a>0,b>0)围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积? 18
信息化论坛 教育信息化 2003 年 8 月第 1 期 - 18 - 2、求双曲线： 1 2 2 2 2 − = b y a x （ a b 0 ），与 y = c、y = -c 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得 旋转体体积？ 学生类似的解决：旋转体高度为 2a 到中截面距离为 h 的截面是圆，由 y = h 代入 (1 ) 2 2 2 2 b h x = a + 截面面积 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) ( ) h b a a b h S = x = a + = + （＊） 构造两个几何体，使它们在高为 h 处，一个截面面积为 2 a ，另一个几何体的截面面积为 2 ( h) b a 。 如右图： 1） 2） 对于 1），任何地方的截面面积为 2 a ，2）几何体的截面半径为 r ，则 b h a r = h b a r = 面积为 2 ( h) b a V V V a b a b b a 2 2 2 3 8 3 1 = 柱 + 2 锥 ＝2 + 2 = 评析：通过上述两题的探究，学生已初步掌握这一类问题的探究方法，为提高思维的深刻性， 继续变式探究。 3、抛物线 y = ax 2 与 y = b ( a>0,b>0) 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积？ a b a
信息化论坛 教育信息化2003年8月第1 期 计算旋转体到底部距离为h的截面面积s,由y=h∴s=丌x2=丌 构造一个高度为b而体积易求的几何体,且此几何体到底部距离为h的截面面积sh 构造一个底面为等腰直角三角形(直角边长为b),侧棱长为一的直三棱柱,且将此直三棱柱置 于三维坐标中,则此几何体到底部距离为h的截面矩形面积也为丌 1, 2 Tb 变式:求由曲线:x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4,围成的图形绕y轴旋转一周所 得的旋转体的体积为V 此旋转体的体积=柱-21=48-2.,421=x44=64丌 问:上述问题是否可以构造一或二可求体积的几何体来求? 四、引申探究: 求由圆(x-a)2+y2=r2(a)r))绕y轴旋转一周所得环提体的体积 评析:探究性教学不仅局限于课堂,可以延伸到课外,体现了探究性教学的开放性。 五、提炼 利用祖咂原理求曲线旋转体的体积,这类问题可以通过灵活构造新几何体加以解决,具有探究 性和创造性的特点,有助于提高思维品质。 六、反思 在探究性教学实践中,探究学习不应停留在简单的变式和肤浅的问答形式上,使学生觉得“老 套”,即无“新产品”产出,更无创新之意,而应当以问题为中心组织教学,使课堂教学真正成为学 19
信息化论坛 教育信息化 2003 年 8 月第 1 期 - 19 - 计算旋转体到底部距离为 h 的截面面积 s，由 y=h s = x 2 = a h 构造一个高度为 b 而体积易求的几何体，且此几何体到底部距离为 h 的截面面积 s= a h 构造一个底面为等腰直角三角形（直角边长为 b），侧棱长为 a 的直三棱柱，且将此直三棱柱置 于三维坐标中，则此几何体到底部距离为 h 的截面矩形面积也为 a h a b a V V b 2 2 1 2 2 = 柱 = = 变式：求由曲线： x 4y 2 = ，x 4y 2 = − ， x = 4，x = −4 ，围成的图形绕 y 轴旋转一周所 得的旋转体的体积为 V1 此旋转体的体积 4 .4 64 4 1 4 2 1 2 4 .8 2. 2 2 2 V = V柱 − v1 = − = = 问：上述问题是否可以构造一或二可求体积的几何体来求？ 四、引申探究： 求由圆 ( ) ( 0) 2 2 2 x − a + y = r ar 绕 y 轴旋转一周所得环提体的体积。 评析：探究性教学不仅局限于课堂，可以延伸到课外，体现了探究性教学的开放性。 五、提炼： 利用祖暅原理求曲线旋转体的体积，这类问题可以通过灵活构造新几何体加以解决，具有探究 性和创造性的特点，有助于提高思维品质。 六、反思： 1、在探究性教学实践中，探究学习不应停留在简单的变式和肤浅的问答形式上，使学生觉得“老 套”，即无“新产品”产出，更无创新之意，而应当以问题为中心组织教学，使课堂教学真正成为学
信息化论坛 教育信息化2003年8月第1 期 生自主探究的学习过程 探究性教学的内容应当立足于教材,又高于教材,跳出教材。 3、问题设计要符合基础性、多样性、层次性、开放性的原则,有利于培养学生的自主意识和合 作精神,促进学生的全面发展 4、探究性教学的形式应当以课堂教学为主,同时也可以课前提出问题,在预习活动中开展探 究:留为作业,在课外或假期探究等 20
信息化论坛 教育信息化 2003 年 8 月第 1 期 - 20 - 生自主探究的学习过程。 2、探究性教学的内容应当立足于教材，又高于教材，跳出教材。 3、问题设计要符合基础性、多样性、层次性、开放性的原则，有利于培养学生的自主意识和合 作精神，促进学生的全面发展。 4、探究性教学的形式应当以课堂教学为主，同时也可以课前提出问题，在预习活动中开展 探 究；留为作业，在课外或假期探究等