安徽理工大学：《混凝土结构设计基本原理》课程教学资源（教案讲义）第9章 钢筋混凝土构件的变形、裂缝及混凝土结构的耐久性

进行计算如图9-6。其折算高度为,应力丰满系数为a。对T形截面,混凝土的计算受 压区的面积为(-b+b,而受压区合力为m(+‰M,其中x=当-D 图9-6裂缝截面处的计算应力图形 (9-15) o(t+5bh,n 则混凝土压区边缘的平均应变为 令=mnv(y+n/v 则 chh 式中 受压区边缘混凝土平均应变综合系数 (3)短期刚度B的一般表达式 将公式(9-13)、(9-16)代入公式(9-12)并简化后,可得出在荷载标准组合作用下钢 筋混凝土受弯构件短期刚度计算公式的基本形式为 EA (9-17) Y, CEp 式中α——钢筋与混凝土的弹性模量比; 向受拉钢筋配筋率 根据试验资料回归分析当可按下式计算 aP=0.2+6p (9-18) 这样,可得《规范》中规定的在荷载标准组合作用下受弯构件短期刚度的计算公式为 Es,ho 9-19) 1.15+02+6a1P 考虑荷载长期作用影响时受弯构件刚度B的计算 计算荷载长期作用对梁挠度影响的方法有多种,第一类方法为用不同方式及在不同程度 上考虑混凝土徐变及收缩的影响以计算长期刚度,或者直接计算由于荷载长期作用而产生的 挠度增长和由收缩而引起的翘曲,第二类方法是根据试验结果确定的挠度增大系数来计算长 期刚度。我国《规范》采用第二类方法。考虑荷载长期作用影响时受弯构件刚度B的计算公 式。目前因缺乏部分荷载长期作用对挠度影响的资料,《规范》对按荷载标准组成并考虑长 期作用影响的矩形和工字形截面受弯构件的刚度按下式计算

241 进行计算如图 9-6。其折算高度为 0 h ，应力丰满系数为  。对 T 形截面，混凝土的计算受 压区的面积为 f f 0 (b −b)h +bh ，而受压区合力为 ck f 0  (  +)bh ，其中 0 f f f ( ) bh b −b h   = 。 Mk Mk sAs sAs b c c D D b'f As h0 h h0 h0 h'f 图 9-6 裂缝截面处的计算应力图形 f 0 0 ck ( )bh h Mk       + = （9-15） 则混凝土压区边缘的平均应变为 f 0 0 c k cm c ( )bh h E M         + = 令 f c ζ =(  +)/ 则 c 2 0 k cm bh E M   = （9-16） 式中  ——受压区边缘混凝土平均应变综合系数。 （３）短期刚度 Bs 的一般表达式 将公式（9-13）、（9-16）代入公式（9-12）并简化后，可得出在荷载标准组合作用下钢 筋混凝土受弯构件短期刚度计算公式的基本形式为 ζ E A h B     E 2 s s 0 s + = （9-17） 式中 E ——钢筋与混凝土的弹性模量比；  ——纵向受拉钢筋配筋率， s 0  = A /bh 。 根据试验资料回归分析 ζ  E  可按下式计算 f E E ζ      +  = + 1 3.5 6 0.2 （9-18） 这样，可得《规范》中规定的在荷载标准组合作用下受弯构件短期刚度的计算公式为 f E 2 s s 0 s 1 3.5 6 1.15 0.2     +  + + = E A h B （9-19） ２考虑荷载长期作用影响时受弯构件刚度 B 的计算 计算荷载长期作用对梁挠度影响的方法有多种，第一类方法为用不同方式及在不同程度 上考虑混凝土徐变及收缩的影响以计算长期刚度，或者直接计算由于荷载长期作用而产生的 挠度增长和由收缩而引起的翘曲，第二类方法是根据试验结果确定的挠度增大系数来计算长 期刚度。我国《规范》采用第二类方法。考虑荷载长期作用影响时受弯构件刚度 B 的计算公 式。目前因缺乏部分荷载长期作用对挠度影响的资料，《规范》对按荷载标准组成并考虑长 期作用影响的矩形和工字形截面受弯构件的刚度按下式计算

式中M—按荷载的准永久组合计算的弯矩值 θ——考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系数。 该式实质上是考虑荷载长期作用部分使刚度降低的因素后,对短期刚度B的修正。 对θ的取值可根据纵向受压钢筋配筋率(ρ=∫b)与纵向受拉钢筋配筋率 ⅸ(=Ab)值的关系确定,对钢筋混凝土受弯构件,根据按下列规定取用: p'=0时,b=20 p=p时,b=1.6 当为中间值时,按直线内插法确定 对翼缘在受拉区的倒T形截面,θ值应增加20%。但应注意,按这种θ算得的长期挠度 如大于相应矩形截面(不考虑受拉翼缘作用时)的长期挠度时,应按矩形截面的计算结果取 对于T形梁,在有的试验中,看不出θ减小的现象,但在个别梁的试验中则出现试验 值有随受压翼缘的加强系数y的加大而减小的趋势,但减小的不多,由于试件数量小,为简 单及安全起见,θ值仍然按矩形截面取用。 当建筑物所处的环境很干燥时,θ应酌情增加15-20%。 9.1.4影响截面受弯刚度的主要因素 1影响短期刚度B,的因素 通过试验梁M-◆的曲线、短期刚度B,计算表达式建立过程的分析,影响短期刚度B,的 外在因素主要是截面上的弯矩大小,内在主要因素是截面有效高度h、混凝土强度等级、截 面受拉钢筋的配筋率p以及截面的形式。 通过M-φ曲线我们看到,随着截面上弯矩的增加,在受拉区混凝土开裂以后,截面曲 率增长的幅度很大,说明截面的弯曲刚度在下降,这主要是由于受拉区混凝土开裂引起截面 的有效工作截面减小以及混凝土塑性发展造成的 通过短期刚度B计算表达式的参量进一步逐一分析。我们可以得到,当混凝土强度、 钢筋种类以及受拉钢筋截面确定时,矩形截面受弯构件的B.与梁截面宽度b成正比例、与梁 截面有效高度h的三次方成正比例,增加截面有效高度h是提高刚度的最为有效的措施 当钢筋种类、截面尺寸给定、在常用配筋率ρ=1%~2%的情况下,提高混凝土强度等级对构 件的B提高作用不大,但对低配筋率p=0.5%左右时,提高混凝土强度等级则构件的B,有所 增大。当有受拉翼缘或受压翼缘时,都会使构件的B,有所增长。 2影响长期刚度B的因素 在荷载长期作用下,受拉区混凝土将发生徐变,使受压区混凝土的应力松驰,以及受拉 区混凝土与钢筋间的滑移使受拉区混凝土不断地退出工作,因而钢筋的平均应变随时间而增 大,此外,由于纵向受拉钢筋周围混凝土的收缩受到钢筋的抑制,当受压区纵向钢筋用量较 小时,受压区混凝土可较自由地产生收缩变形,这些因素均将导致梁长期刚度的降低 试验表明,在加载初期,梁的挠度增长较快,随后,在荷载长期作用下,其增长趋势逐 渐减缓,后期挠度虽然继续增长,但増值不大。国内的试验表明,受压钢筋对荷载短期作用 下的短期刚度影响较小,但对荷载长期作用下受压区混凝土的徐变以及梁的长期刚度下降起 着仰制的作用。抑制程度与受压钢筋和受拉钢筋的相对数量的增大而增大,但到一定的程度 抑制作用不在加强

242 s q k k ( 1) B M M M B − + =  （9-20） 式中 Mq ——按荷载的准永久组合计算的弯矩值；  ——考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系数。 该式实质上是考虑荷载长期作用部分使刚度降低的因素后，对短期刚度 Bs 的修正。 对  的取 值可 根据 纵向 受压 钢筋 配筋 率 ( / ) As bh0   =  与纵向 受拉 钢筋 配筋率 ( / )   = As bh0 值的关系确定，对钢筋混凝土受弯构件，根据按下列规定取用：  = 0 时，  = 2.0  =  时，  =1.6 当为中间值时，按直线内插法确定。 对翼缘在受拉区的倒 T 形截面，  值应增加 20%。但应注意，按这种  算得的长期挠度 如大于相应矩形截面（不考虑受拉翼缘作用时）的长期挠度时，应按矩形截面的计算结果取 值。 对于 T 形梁，在有的试验中，看不出  减小的现象，但在个别梁的试验中则出现  试验 值有随受压翼缘的加强系数 f   的加大而减小的趋势，但减小的不多，由于试件数量小，为简 单及安全起见，  值仍然按矩形截面取用。 当建筑物所处的环境很干燥时，  应酌情增加 15-20%。 9.1.4 影响截面受弯刚度的主要因素 1 影响短期刚度 Bs 的因素 通过试验梁 M − 的曲线、短期刚度 Bs 计算表达式建立过程的分析，影响短期刚度 Bs 的 外在因素主要是截面上的弯矩大小，内在主要因素是截面有效高度 0 h 、混凝土强度等级、截 面受拉钢筋的配筋率  以及截面的形式。 通过 M − 曲线我们看到，随着截面上弯矩的增加，在受拉区混凝土开裂以后，截面曲 率增长的幅度很大，说明截面的弯曲刚度在下降，这主要是由于受拉区混凝土开裂引起截面 的有效工作截面减小以及混凝土塑性发展造成的。 通过短期刚度 Bs 计算表达式的参量进一步逐一分析。我们可以得到，当混凝土强度、 钢筋种类以及受拉钢筋截面确定时，矩形截面受弯构件的 Bs 与梁截面宽度 b 成正比例、与梁 截面有效高度 0 h 的三次方成正比例，增加截面有效高度 0 h 是提高刚度的最为有效的措施。 当钢筋种类、截面尺寸给定、在常用配筋率  =1% ~ 2% 的情况下，提高混凝土强度等级对构 件的 Bs 提高作用不大，但对低配筋率  = 0.5% 左右时，提高混凝土强度等级则构件的 Bs 有所 增大。当有受拉翼缘或受压翼缘时，都会使构件的 Bs 有所增长。 2 影响长期刚度 B 的因素 在荷载长期作用下，受拉区混凝土将发生徐变，使受压区混凝土的应力松驰，以及受拉 区混凝土与钢筋间的滑移使受拉区混凝土不断地退出工作，因而钢筋的平均应变随时间而增 大，此外，由于纵向受拉钢筋周围混凝土的收缩受到钢筋的抑制，当受压区纵向钢筋用量较 小时，受压区混凝土可较自由地产生收缩变形，这些因素均将导致梁长期刚度的降低。 试验表明，在加载初期，梁的挠度增长较快，随后，在荷载长期作用下，其增长趋势逐 渐减缓，后期挠度虽然继续增长，但增值不大。国内的试验表明，受压钢筋对荷载短期作用 下的短期刚度影响较小，但对荷载长期作用下受压区混凝土的徐变以及梁的长期刚度下降起 着仰制的作用。抑制程度与受压钢筋和受拉钢筋的相对数量的增大而增大，但到一定的程度 抑制作用不在加强

9.1.5最小刚度原则与挠度验算 在求得钢筋混凝土构件的短期刚度B或长期刚度B后,挠度值可按一般材料力学公式 计算,需将上述算得的刚度值代替材料力学公式中的弹性刚度即可。 由于沿构件长度方向的配筋量及弯矩均为变值,因此,沿构件长度方向的刚度也是变化 。例如,在承受对称集中荷载作用的简支梁,除纯弯区段外,在剪跨段各截面上的弯矩 不相等的,越靠近支座弯矩越小。靠近支座的截面弯曲刚度要比纯弯段内的大,但在剪跨段 内存在剪切变形,甚至可能出现少量斜裂缝,会使梁的挠度增大。为了简化计算,对等截面 构件,可假定同号弯矩的每一区段内各截面的刚度是相等的,并按该区段内最大弯矩处的刚 度(最小刚度)来计算,这就是最小刚度计算原则,例如,对于均布荷载作用下的单跨简支 梁的跨中挠度,即按跨中截面最大弯矩M。处的刚度B(B=B-)计算而得 f=mMo (9-21) 又如对承受均布荷载的单跨外伸梁如图9-7,AE段按D截面的弯曲刚度取用:F段按C 截面的弯曲刚度取用。 鱼H 图9-7均布荷载作用下的单跨外伸梁的弯矩图及刚度取值 [例题9-1]已知矩形截面简支梁的截面尺寸bxh=200×500m,计算跨度l=6m,承受 均布荷载,跨中按荷载效应标准组合计算的弯矩M=11N·m,其中按荷载效应准永久组 合计算的弯矩值占一半,即M4=5Nm。混凝土强度等级为C20,在受拉区配置HRB335级 钢筋,共2420+216(4=1030mm),梁的允许挠度为/200。试验算挠度是否符合要求。 解:f=1.54N/mm2,E=20×10N/m2,E=255×10N/mm 7.84 h=600-35=465mm A 1013 =00206 0.5bh0.5×200×500 10° =264N/mm2 0.87Ah0.87×1030×465 v=1.1-065/=11-065×154 0206×2640.916

243 9.1.5 最小刚度原则与挠度验算 在求得钢筋混凝土构件的短期刚度 Bs 或长期刚度 B 后，挠度值可按一般材料力学公式 计算，需将上述算得的刚度值代替材料力学公式中的弹性刚度即可。 由于沿构件长度方向的配筋量及弯矩均为变值，因此，沿构件长度方向的刚度也是变化 的。例如，在承受对称集中荷载作用的简支梁，除纯弯区段外，在剪跨段各截面上的弯矩是 不相等的，越靠近支座弯矩越小。靠近支座的截面弯曲刚度要比纯弯段内的大，但在剪跨段 内存在剪切变形，甚至可能出现少量斜裂缝，会使梁的挠度增大。为了简化计算，对等截面 构件，可假定同号弯矩的每一区段内各截面的刚度是相等的，并按该区段内最大弯矩处的刚 度（最小刚度）来计算，这就是最小刚度计算原则，例如，对于均布荷载作用下的单跨简支 梁的跨中挠度，即按跨中截面最大弯矩 Mmax 处的刚度 B（ ) B = Bmin 计算而得 min 2 max 0 48 5 B M l f = （9-21） 又如对承受均布荷载的单跨外伸梁如图 9-7，AE 段按 D 截面的弯曲刚度取用；EF 段按 C 截面的弯曲刚度取用。 A C −Mmax +Mmax A D E C F B2 B1 图 9-7 均布荷载作用下的单跨外伸梁的弯矩图及刚度取值 [例题 9-1 ]已知矩形截面简支梁的截面尺寸 bh = 200500mm ，计算跨度 l 0 = 6m ，承受 均布荷载，跨中按荷载效应标准组合计算的弯矩 Mk =110KN m ，其中按荷载效应准永久组 合计算的弯矩值占一半，即 Mq = 55kNm 。混凝土强度等级为 C20，在受拉区配置 HRB335 级 钢筋，共 220 + 216 ( 1030 ) 2 As = mm ，梁的允许挠度为 l 0 200 。试验算挠度是否符合要求。 解： 2 f tk = 1.54N mm ， 5 2 Es = 2.010 N mm ， 4 4 Ec = 2.5510 N mm ， E = = 7.84 c s E E  h0 = 600−35 = 465mm 0.0111 200 465 1013 0 s =  = = bh A  0.0206 0.5 200 500 1013 0.5 s te =   = = bh A  2 6 s 0 k s k 264N mm 0.87 1030 465 110 10 0.87 =    = = A h M  0.916 0.0206 264 0.65 1.54 1.1 0.65 1.1 =   = − = − te s k tk f   

h +3.5 2×103×1030×46 1.15×0.916+0.2+6×7.84×00111 2.51×103Nmm2 又。=0时,=20 M4(6-1)+M 110×10° 55×10°(2-1)+110 =5M=5×10×10600 f124.71 l06000 =243200满足要求 [例题9-2]:钢筋混凝土空心楼板截面尺寸为120×86mm(如图9-8),计算跨度 l=304m,板承受自重,抹面重量及楼面均布活荷载,跨中按荷载效应标准组合计算的弯矩 值M=53488Nm,按荷载效应准永久组合计算的弯矩值M=3430N·m。混凝土强度等级 为C20,配置HB235级钢筋98(4=452mm2),混凝土配置板允许挠度为b/200,试验算该 板的挠度。 解将圆孔按等面积、同形心轴位置和对形心轴惯性矩不变的原则折算成矩形孔,如图 可以求得b=09ld=091×76=616m,h=0.874=6m。折算后的工字形截面尺寸如图 -8所示 图9-8工字形截面尺寸 =120-15=105mm 0.014 307×105 A 0.0132 0.5b+(b4-bh20.5×307×120+(890-307)×27 0.87Ah0.87×452×105

244 1 3 2 5 2 f E 2 s s 0 s 2.51 10 N mm 1.15 0.916 0.2 6 7.84 0.0111 2 10 1030 465 1 3.5 6 1.15 0.2 =    + +      = +  + + =     E A h B 又  = 0 时，  = 2.0 1 3 2 1 3 6 6 6 s q k k 1.67 10 N mm 2.51 10 55 10 (2 1) 110 10 110 10 ( 1) =      − +   = − + = B M M M B  24.7mm 1.67 10 110 10 6000 48 5 48 5 1 3 2 6 2 0 =    = =  B M l f k l 200 1 243 1 6000 24.7 0 = =  l f l 满足要求。 [例题 9-2]：钢筋混凝土空心楼板截面尺寸为 120860mm （如图 9-8），计算跨度 l 0 = 3.04m ，板承受自重，抹面重量及楼面均布活荷载，跨中按荷载效应标准组合计算的弯矩 值 Mk = 5348.8Nm ，按荷载效应准永久组合计算的弯矩值 Mq = 3343.0Nm 。混凝土强度等级 为 C20，配置 HRB235 级钢筋 98 ( 452mm ) 2 A s = ，混凝土配置板允许挠度为 l 0 200 ，试验算该 板的挠度。 解 将圆孔按等面积、同形心轴位置和对形心轴惯性矩不变的原则折算成矩形孔，如图 9-8，即 1 1 2 4 b h d =  ， 64 12 3 1 1 4 d b h =  可以求得 b1 = 0.91d = 0.9176 = 69.16mm，h1 = 0.87d = 66mm 。折算后的工字形截面尺寸如图 9-8 所示 h1 b1 890 860 307 120 66 27 27 h'f hf 860 890 98 120 22 76 22 ( ) (b) (c) 图 9-8 工字形截面尺寸 h0 =120−15 =105mm7.84 2.55 10 2.0 10 4 5 E =   = = c s E E  0.014 307 105 452 0 s =  = = bh A  0.0132 0.5 307 120 (890 307) 27 452 0.5 ( ) f f s te =   + −  = + − = bh b b h A  2 s 0 k sk 130N mm 0.87 452 105 5348800 0.87 =   = = A h M 