28第一8分自礼控制理论知识汇总·第二篇现代控制理知识汇总 的能控性等价于系统Σ2的能观性;系统∑1的能观性等价于系统∑2的能控性。 (2)意义。对偶原理揭示了状态能控性和状态能观性之间的内在联系,使我们叮以将 系统的能控性(能观性)问题转化为其对偶系统的能观性(能控性)问题来处理。而凡还建 立了系统的控制问题秈观测(估计)问题的基本结构的对应关系。这既有重要的埋论意义 也有很好的实用意义。 五、单变量系统的熊控禄准型和能观标進型 1.能控标准型 0 0 0 RB1…B-2An-1] 变换阼Tc的构造 T= [A6 rc阵中的元素由特征多项式s1-A|=s"+an-152-+an-25"-2+…+a1s+a所确定。 2.能观标准型 0 B 变换阵To的构造 CA 六、戤性赈的枃分解 (1)含义。所谓系统的结构分解,从本质上讲,就是应用线性变换的方法,将状态空间 结构,按能控性、能观性的属性加以分鰥。一般来说,若线性系统是不完全能控或不完全能 观的,那么,从结构上看,系统包括能控能观子系统、能控不能观子系统、不能控能观子系 统、不能控不能观子系统,即将系统状态空间分解成以上四个子空间
第十一章控制系统的穩定性分析 (2)作用。研究系统的结构分解,有助于深入了解系统的结构特性,也有助丁深刻揭示 状态空间的内部描述方法与传递函数(阵)法的外部描述方法之间的联系。通过系统结构分 解可知,系统的传递函数(阵)描述只能反映能控能观子系统的特性,这就是说,只有当系 统能控能观时,传递函数(阵)描述方法和状态空间描述法才是等价的。所以传递函数 (阵)只是对系统的一种不完全的描述。而状态空间法才是一种能够揭示系统内在联系的完 全描述 (3)一般方法。研究结构分解的方法在于选取一种特殊的线性变换阵,使原来的状态向 量x变换成IXoX5XoXo]",相应地使系统中的A,B,C变换成某种规范形式。 七、最小奥现 已知传递函数阵G(s),寻求其相应的状态空间描述∑(A,B,C,D),使其满足关 系C(s1-A)-1B+D=C(s),则称状态空间描述∑(A,B,C,D)为传递函数阵G(s) 的一个实现。对于一个可实现的传递函数阵来说,将有无穷多个状态空间描述与之对应,其 中维数最低的实现叫做最小实现。最小实现一定是完全能控和完全能观的。传递函数阵的实 现并不唯一,最小实现也不唯一,仅最小实现的维数是唯一的。 寻求最小实现的方法 (1)对给定的传递函数阵C(s),先初选出一种能控标准型实现或能观标准型实现,若 m,则采用能控标准型实现;否则用能观标准型实现;若r=m,则任选其中一种。对上 面初选的实现,再检査其实现的能观性或能控性,若为能控又能观的,则其实现为最小实 现。否则进行下一步。 (2)对以上标准型实现进行结构分解,找出其完全能控又完全能观的子系统,即为 G(s)的一个最小实现。 第二章控制系统的定性分析 对于线性定常系统,其稳定性只取决于系统的结构参数,而与系统的初始条件即外界条 件的大小无关,因此线性系统的稳定性是全局性的。非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关,而且还与初始条件及外界扰动的大小有关,因此它的稳定性是局域性的。李雅 普诺夫针对非线性的特点,提出了一种有关稳定性的一般定义。这个定义是针对平衡点及其 邻域的,不同于线性系统的全局性的稳定定义。 、手我普谐夫关于稳定性的宠义 设系统的齐次状态方程为 式中 -n维状态向量; ∫一与x同维的向量函数,它是x的各分量和时间t的函数,一般为时变的非线性函数。 若系统x=∫(x,t)存在状态向量x,,对所有的t,均有:f(x。,t)=0,则称x为 系统的平衡状态或平衡点 对于线性定常系统,有x=f(x,t)=Ax,当A为非奇异矩阵时,要使Ax。=0,必有
3第一分目初控制理论知识汇·第二现代控制理论知识以总 x。=0,故线性定常系统只有一个平衡点。 对于非线性系统,它的平衡点不只一个,而且针对不同的平衡点,稳定性可能也是不相 同的。假设x为系统的初始状态,则李雅普诺夫对系统的稳定性分析分以下四种情况。① 李雅普诺夫意义下的稳定;②渐近稳定;③大范围渐近稳定;④不稳定 、李雅普诺夫稳定性分析的第一法(间法) 它是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法,它适用于线性定常、线性时变及 非线性系统可线性化的情况。 对于线性定常系统=Ax,渐近稳定的充要条件是状态矩阵A的特征值均具有负实部。 对于非线性系统,设系统的状态方程为x=f(x,t),要求∫(x,t)对状态x有连续 的偏导数,在平衡状态x。=0处展开成泰勒级数,则得x=Ax+R(x),其中A定义为 f19f1 f23f2 A af ast R(x)包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。 (1)若A的特征值都具有负实部,则平衡状态是渐近稳定的。 (2)若A的特征值中至少有一个具有正的实部,则不论高阶导数项如何,系统的平衡 状态总是不稳定的。 (3)若A的特征值中至少有一个实部为零,其余的都具有负实部,此时原非线性系统 的稳定性不能用线性化方程来判断,平衡状态的稳定性取决于被忽略的高阶项。要用李雅普 诺夫第二法来判别系统的稳定性。 气、李雅普谐夫稳定性分析的荜二法(直法) 李雅普诺夫第二法是从能量观点,构造一个虚拟的“能量函数”.即李雅普诺夫函数来 直接对系统的平衡点稳定性作出判断。它的显著优点就在于,不仅对于线性系统,而且对于 非线性系统,都能给出关于在大范围内稳定性的信息。 设系统方程为x=f(x,t),且平衡点x,=0,即f(0,t)=0,并设在原点邻域存在 v(x,t)对x的连续一阶偏导数,则有 (1)若V(x,t)正定,V(x,t)负定,则原点是渐近稳定的。 (2)若V(x,)正定,ⅳ(x,t)负半定,对于任意的初始时刻o时的任意状态 ≠0,在t≥!时除了在x=0时有V(x)=0外,W(x)不恒为零。则原点是渐近稳定的 (3)若(x,)正定,ⅳ(x.1)负半定,[x(t.x,t),]在非零状态存在 且恒为零,则原点是李雅普诺夫意义下稳定的
第十三线性控制系纸的综合31 (4)若V(x,t)正定,V(x,t)正定,原点是不稳定的。 值得指出的是,李雅普诺夫第二法只给出了判断平衡点稳定性的充分条件。当找不到满 足前述条件的李雅普诺夫函数Ⅴ(x,t)时,系统的稳定性是无法确定的。因此,构造李雅 普诺夫函数是该分析方法的关键。但是,日前尚无构造李雅普诺夫函数的一般方法,构造李 雅普诺夫函数需要相当的经验与技巧,对于复杂的非线性系统,构造李雅普诺夫函数通常是 相当困难的,这也是这种方法在工程上实用的一个障碍 亭雅普谐夫方法在线性系统中的疝用 线性定常连续系统 在平衡状态x=0处渐近稳定的充要条件是,给定一个正定对 称矩阵Q,存在一个正定对称矩阵P使得AP+PA=-Q成立,而且v(x)=x2Px 线性定常离散系统x(k+1)=Cx(k)在平衡状态x。=0处渐近稳定的充要条件是 给定一个止定对称矩阵Q,存在-个正定对称矩阵P使得GPG-P=-Q成立。而且 x(k).=x2(k)Px(k)。 五、亭推普谐夫方法在非线饨系统中的应用 非线性系统的问题比较复杂,不像线性系统有那么多规律可循,也没有一个统一的公式 可用,只能针对具体问题进行具体分析、目前,在L程上较常用的方法有克拉索夫斯基法和 阿依捷尔曼方法,这两种方法实际上属于线性化的方法,或称·-次近似法,由此构造的李氏 函数具有二次型的形式,计算较方便 第十三章线性控制系统的综含 一、状态血间设计法的基本恩恝 控制系统的综合是指对于给定的受控对象,根据规定的性能指标,确定出系统的控制结 构,寻求出控制策略,使系统的控制过程能满足生产工艺所规定的性能指标要求。在现代控 制理论中,由于采用了状态空阆来描述系统,所以,在综合系统时,除了采用输出反馈方式 外,更多的是采周状态变量进行反馈。综合的算法主要是极点氈置。 状态反馈与极点配置 1.定义 状态反馈是将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输人 相加形成控制线,作为受控系统的控制输入,即a=Kx+t。加入状态反馈系统的动态方程 为 (A+Bi iC+DK)x+Du 式中K×n维的状态反馈增益矩阵 2.特点
魏费考研网 第部分自动控制理论知识汇总·第二篇顼代控制理论知识汇总 状态反馈不改变系统的零点,只改变系统的极点。状态反馈的引人不改变系统的能控 性,但不保证系统的能观性不变 状态反馈的极点配置 对于给定的受控系统,通过设计状态反馈阵K,使所构成的状态反馈系统的闭环极点配 置在所希望的位置,达到规定的性能指标的要求。采用状态反馈对系统Σ0=(A,B,C) 进行极点任意配置的充要条件是0完全能控。 单变量线性系统状态反馈的极点配置方法 (1)判定受控系统的能控性。若完全能控,化∑为能控标准形。 (2)求状态反馈后系统的特征多项式 f(λ)=det[A-(A+BK)] 式中 (3)根据满足性能指标的期望极点λ,i=1,2,…,n,求期望的特征多项式 (4)令∫(λ)=f(λ),比较方程两边同幂次项的系数,可求出K=k1k2…k (5)把对应于x的K,通过K=KT的变换,得到对应于原状态x的状态反馈阵K 其中Tc为化二为能控标准型的变换矩阵。 三、鵪定问恧 (1)定义。如果采用状态反馈能使闭环系统的极点全部具有负实部,从而实现渐近稳 定,那么称这个系统是状态反馈能镇定的。 (2)如果系统状态完全能控,那么,系统一定是状态反馈能镇定的;如果系统不是完全 能控的,那么,系统是状态反馈能镇定的充要条件是不能控部分是渐近稳定的。 四、状态观淝器 1.问题的提出 实现状态反馈的前提是必须能够量测到全部状态变量,但是在实际系统中,往往不是所 有状态变量都是可以量测到的,这就给状态反馈的物理实现造成困难。解决这一问题的一个 基本方法,是在系统中构造一个附加的动态系统,以原系统可量测的输入变量和输出变量作 为其输入,以重构一个估计状态向量来逼近真实状态向量x,然后用代替x实现状态反 馈。称产生的附加动态系统为状态观测器 2.构造状态观测器的原则 (1)状态观测器应以原系统的输人u和输出y作为其输人 (2)为满足lim(x-x)=0,原系统必须完全能观,或是其不能观子系统是渐近稳定 的