美十音线性系貌状态空间表达式的解23 3)特点A阵的对角线上的元素为表征系统基木特征的极点,而且各状态变量之间实现 了完全解耦,非常便于分析研究。 (2)约当规范型 1)条件。若A阵的n个实数特征值中有q个为λ的重特征值.其余(n-q)个为4异 特征值入+1,…λn。 2)变换阵P的构造 P=P1P2…PP4t…Pn 其中P1,P2,…P为分别对应于q个λ重特征值的特征向量;Pa,1,…,P。为分别 对应于(n-q)个为生异特征值的特征相量。 首先,可依下式求出P1,P2,…P° A1P1-AP1=0 λ1P2-AP2 A P- AP=-P 其次,可依下式求出P+1,…,Pn A;P1-AP1=0(=q+1,q+2 3)特点。约当规范型将系统化为所能达到的最弱耦合形式,且对于后续状态转移矩阵 的计算、能控性和能观性的分析十分方便。 第十章线性系统状态空陶表达式的解 状恋转移矩阵 1.状态转移矩阵的定义 将齐次状态方程x=Ax的自由解写成为x(t)=φ(t)x(0),或x(t)=更(t-to)x(to),从 这个解的表达式可知,它反映了从初始时刻的状态x(0)或x(l0)到任意时刻t>0或t>to的 状态的一种向量变换关系,起着状态转移的作用,所以φ()称为状态转移矩阵。φ(t)是n n维矩阵,且是φ(t)=φ(t),Φ(0)=I的唯一解,φ(t)=e。 在初始状态确定的情况下,齐次状态方程的解,由状态转移矩阵唯一确定,即状态转移 矩阵φ(t)包含了系统自由运动的全部信息,完全表征了系统的动态特性 2.状态转移矩阵的性质 (1)φ(0)=e4x0=I; (2)中(t)=A(t)=Φ(t)A; (3)φ(1+)=φ(t1)(t2)=φ(2)φ(t1); (4)西-(t)=φ(-t); (5)[Φ(t)]=(n); (6)φ(t-t1)φ(t1-t)=φ(!-0);
A 第一分自动控制理论知识汇总·第二第代控制理论知识汇总 (7)对于nxn维的矩阵A和B,如果满足AB=BA,则e4+8)=e,eB 3.几个特殊的状态转移矩阵 (1)若A为对角线矩阵,即 0 则 中(t) (2)若A为一个mxm的约当块,即 LO 则有 t2 01t 4.求状态转移矩阵的常用方法 主要有三种 (1)直接计算法:e= (2)拉氏变换法:e4=L-(s-A)] 3)特征值、特征向量法 1)若A的特征值互异,A=P-1AP,其中P是将A变换为对角线标准型A的非奇异变 换矩阵。则有e=PeP 2)若A的特征值有重根,A变换为约当标准型J,J=PAP,同理则有e=Pe4P-1。 二、状商方的解 (1)齐次状态方程x=Ax的解为 x(t)=φ(t)x(0)=e"x(0)(t≥0)或x(t)=φ(t-t0)x(to)=e(-)x()(t≥l) (2)非齐次状态方程=Ax+Bu的解为
第十一章线性系统的能控性和能观件 x(t)=Φ(t)x(0)+小(t-x)Ba(r)dr(t≥0) 或x(t)=更(t-t)x(t)+|φ(t-x)Bn(x)dr(≥to) 三、载性定常遠编系就的脔散化 若连续状态空间表达式为式(1-9-1),则离散化后的状态空间表达式为 X[(k+1)TI=GX(T)+Hu(kT) Y(kT)=CX(kr)+Du(kr) 其中 式中T为采样周期。当釆样周期T较小时,一般当其为系统最小时间常数的1/10左石 时,离散化的状态方程可近似表示为 X[(k+1)T=(TA+1)X(tr)+TBu (kr) G≈TA+1 离散系统状态方程的求解 (1)递推公式 X(k)=C4X()+∑-h(i) (2)z变换法 X(z)=(z-G)-1(0)+(d!-G)-hu(z) X(k)=z-1[(zl-G)-"aX(0)]+z-1[(xl-G)-h(z)] 算t一章线性系练的能控性和能洗性 采用状态空间法描述系统的特点是给出了系统内部的动态结构。能控性与能观性是说明 系统内部结构特征的两个最基本的概念,也是现代控制理论中最重要的概念。它是系统分析 和设计的理论基础。所谓系统的能控性是反映控制作用(t)对系统状态x()的制约能力; 而能观性指的是由系统的输出y(t)反映系统状态x(t)的能力。前者回答u(t)能否使x(t) 作任意转移的问题,后者则回答能否通过y(t)的量测确定x(t)的问题。现代控制理论所研 究的基本问题,例如极点配置、状态观测器设计、解耨等等都是以这两个概念为基础的。 、熊愧 1.定义 线性定常连续系统的状态方程为=Ax(t)+Bu(t) 如果存在一个无约束控制u(t),能在有限时间区间(t,t)内,把系统从任意初始状态x (ω)转移到任意终端状态x(tr)、则称此状态是能控的,若系统所有状态都是能控的,则称 此系统是状态完全能控的,或简称系统是能控的c 2.常用判据 (1)秩判据:对于线性定常连续系统∑=(A,B),状态完全能控的充要条件是能控性矩
第一邪分自动控制理论知识汇总·第二篇现代控制理论知识汇总 阵 rank M= rank LB AB A2B…A"'B]=a。 (2)标准型判据 )若系统特征值互异,则状态完全能控的充要条件是系统经非奇异线性变换后的对角 线标准型的矩阵B中不包含元素全为零的行。 2)若系统有重特征值,其中λ1(m1重),λ2(m2重),…,λ(m重),且有∑m n;各重特征值互异,则系统状态完全能控的充要条件是,系统经非奇异线性变换后的约 当标准型中,和每个约当块的最后一行相对城的B阵的各行,其元素不全为零。如果两个约 当块有相同的特征值,上述结论不成立。 (3)传递函数(阵)判据。该法是利用传递函数(阵)来判定能控性。 1)单变量系统。单变量线性定常连续系统状态完全能控的充要条件是,由状态空间表 达式导出的传递函数没有零极点对消 2)多变量系统。多变量线性定常连续系统状态完全能控的充要条件是,系统状态向量 与控制向量之间的传递函数矩阵G1=(s-A)-1B的n行是线性无关的(对单变量系统也 适用) 二、熊观憶 1.定义 对于线性定常连续系统 xr s Ax 对于任意给定控制输入a()或u(k),能够根据有限时间区间[t,4内的输出y(t),唯 地确定系统在初始时刻的某一初始状态x(to),则称此状态x(to)是能观的,若系统的所有 初始状态都是能观的,则称此系统是状态完全能观的,简称系统是能观的 2.能观性判据 由于能控性与能观性的对偶关系,所以能控性与能观性在判据形式上也是对偶的。这 样,在掌握能控性判据后,从对偶的角度出发,就容易掌握能观性判据了 (1)秩判据。对线性定常连续系统∑=(A,C),状态完全能观的充要条件是其能观性 矩阵rnkN=rank[CC (2)标准型判据: 1)若系统特征值互异,则状态完全能观的充要条件是系统经非奇异线性变换后的对角 线标准型的矩阵C中不包含元素全为零的列。 2)若系统有重持征值,其中A;(m重),4(m2重) 入(m重),且有∑m= n;各重特征值互异,则系统状态完全能观的充要条件是,系统经非奇异线性变换后的约当 标准型中,与每个约当块首行相对应的矩阵C中的各列,其元素不全为零。如果两个约当块 有相同的特征值,上述结论不成立 (3)传递函数(阵)判据 1)单变量系统。由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消
“羚的m4. 2)多变系统。系统输屮向虽与状态向量之间的传递兩数矩阵G、=C·s4)的n 列量是线性无义的(对单受量系统也适用) 三、线性定常憲敢系统能控性、能况性 线性定霄离散系统状态能控性能魏怍判定方法专线件定常连丝系统柑似,它们的判据形 式也相仿 1.能控性 (1)秩判据(G、H矩判据) 刀(HG…C"-H (2)标准型判据,若系统特征術异,则状态完仑能控的允要件是系统经非奇异线性 变换后的对角线标排型的矩阵屮不包含元素全为苓的行 (3)传递函数判据.对单变屝系統而言,状念完能控的允要条件是,状念空间表达 式导出的脉冲传递函数没有极点刈消 2.能观性 (1)秩判据 k「CCG…CGn (2)若系统特征偵异,则状怂完全能观的充要糸件是系统经非奇异线变换后的对角 线标准的矩阵C中不包含元全为零的列 (3)传递函数判据,对单变量系统而言.由离状态空间表达式导出的脉冲传递函数没 有零极点对消 3.连续系统离散化后系统的能控性和能观性 (1)荇连续系统是不能控(不能观)的、则离散化后的系统定也必是不能控(不能 观)的 (2)若连续系统是能控(能观)的.則其离散化后的系统忄·定是能挖(能观)的 (3)离散化后的系统能否保持原连续系统的能控(能观〉性、将取决于采样閻期T。保 持能控(能观)性的个允分条件是一切满足Re(λ1-λ)=0的特征值,均使 了≠ =± 成立,其中A,、λ;表小全部特征值中两个实部相等的特祉值 四、对偶系统和对偶原理 1.对偶系统 (1)定义。若两个系统(A,B1、C1)与2(4,B2,C2)满足下列关系:41= A2,B1=C,C1=B2.则称:与2是为刈偶的 (2)某本特征: 1)刘偶的两个系统的传递函数阵耳为转置.即G;(s)=(;}(s); 2)对偶的两个系统特征值相同 2.对偶原理 (1)定义。若系统(,B1,C1)与2(42,B2,C2)是4为对偶的,则系统少