分布。问在月初进货时要库存多少件此种商品,才能以99%的概率满足顾客要求? Solution设月初库存M件,依题意 P(X=k ,(k=0,1,2 P(X≤ 0.99 即 3g3<001 k 査附表3,可知M最小应是8,即月初进货时要库存8件此种商品,才能以99%的概率满 足顾客要求。 底xme27一本500页的书,共500错字,每个字等可能的出现在每一页上,求在给 某一页上最多两个错字的概率 Solution设X表示在给定的某一页上出现的错字的个数,则X~B(500, 因为n 500 很大,n=1,所以可以用泊松分布近似计算,依题意 P(X≤2) 0.92 4.超几何分布 设一批产品共有N个,其中有M个次品,现从中任取n个(n≤N-M),则这n个产 品中所含的次品数X是一个离散型随机变量,X所有可能的取值为0,1,2,…,j,(其 中j=min{M,n}),其概率分布为: P(X=k)=CMC=M/CN(k=0,1,2,…,j),称之为超几何分布 Super geometry distribution) 5.几何分布 从一批次品率为p(0<p<1)的产品中逐个地随机抽取产品进行检验,验后放回再抽 取下一件,直到抽到次品为止。设检验的次数为Ⅹ,则X可能取的值为1,2,3,…,其概 率分布为 P(X=k)=(-p)p,(k=12…),称这种概率分布为几何分布( Geometry distribution) §2.3连续型随机变量的概率密度 (Probability Density of Continuous Random Variable) 除了离散型随机变量外,还有一类重要的随机变量——连续型随机变量,这种随机变量X 可以取某个区间[a,b]或(-∞,+∞)的一切值。由于这种随机变量的所有可能取值无法像离散型 随机变量那样一一排列,因而也就不能用离散型随机变量的分布律来描述它的概率分布,刻 画这种随机变量的概率分布可以用分布函数,但在理论上和实践中更常用的方法是用所谓的 概率密度 分布密度的概念( The concept of density distribution Definition2.4设随机变量X的的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数
18 分布。问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以 99%的概率满足顾客要求？ Solution 设月初库存 M 件，依题意 ,( 0,1,2,...) ! 3 ( ) 3 = = = − e k k P X k k 那么 0.99 ! 3 ( ) 0 3 = = − M k k e k P X M 即 0.01 ! 3 ! 3 = + − k M k e k 查附表 3，可知 M 最小应是 8，即月初进货时要库存 8 件此种商品，才能以 99%的概率满 足顾客要求。 Example 2.7 一本 500 页的书，共 500 错字，每个字等可能的出现在每一页上，求在给 定的某一页上最多两个错字的概率。 Solution 设 X 表示在给定的某一页上出现的错字的个数，则 ) 500 1 X ~ B(500, ，因为 n 很大， np = 1 ，所以可以用泊松分布近似计算，依题意 0.92 2 5 ! 2 1 ( 2) 1 1 1 1 1 2 0 = + + = − − − − − = e e e e e k P X k 4. 超几何分布 设一批产品共有 N 个，其中有 M 个次品，现从中任取 n 个（ n N M − ）,则这 n 个产 品中所含的次品数 X 是一个离散型随机变量， X 所有可能的取值为 0，1，2，…， j , ( 其 中 j M n = min , )，其概率分布为： n N n k N M k P(X k) CM C /C − = = − （ k =0,1,2,…, j ），称之为超几何分布(Super geometry distribution)。 5. 几何分布 从一批次品率为 p （ 0 1 p ）的产品中逐个地随机抽取产品进行检验，验后放回再抽 取下一件，直到抽到次品为止。设检验的次数为 X ，则 X 可能取的值为 1，2，3，…, 其概 率分布为： ( ) (1 ) ,( 1,2,....) 1 = = − = − P X k p p k n ， 称 这 种 概 率 分 布 为 几 何 分 布 (Geometry distribution)。 §2.3 连续型随机变量的概率密度 (Probability Density of Continuous Random Variable) 除了离散型随机变量外，还有一类重要的随机变量——连续型随机变量，这种随机变量 X 可以取某个区间 [a,b] 或 (−,+) 的一切值。由于这种随机变量的所有可能取值无法像离散型 随机变量那样一一排列，因而也就不能用离散型随机变量的分布律来描述它的概率分布，刻 画这种随机变量的概率分布可以用分布函数，但在理论上和实践中更常用的方法是用所谓的 概率密度。 一、 分布密度的概念(The concept of density distribution) Definition 2.4 设随机变量 X 的的分布函数为 F x( ) ，如果存在一个非负可积函数
f(x),使得对于任意实数x,有: F(x)=f(x)dx 则称X为连续型随机变量,而f(x)称为X的分布密度函数(或概率密度函数),简称分布密 度(或概率密度)。( Suppose distribution function F(x) for random variable X, if there exists a nonnegative integral function f(x), such that for arbitrary x, there is F(x)=「f(x) then define X is a continuous random variable and f(x) is density function distribution(or probability density function), for short distribution density or probability density).) 由分布密度的定义及概率的性质可知分布密度∫(x)必须满足 (1)f(x)≥0:从几何上看,分布密度函数的曲线在横轴的上方 (2)「f(x)hx=1;这是因为-<X<+∞是必然事件,所以 ∫(x)dhx=P(-∞<X<+∞)=P(U)=1 从几何上看,对于任一连续型随机变量,分布密度函数与数轴所围成的面积是1 (3)对于任意实数ab,且a≤b有P{a<X≤b}=F(b)-F(a)=f(x)x (4)若∫(x)在点x处连续,则有F(x)=f(x) Note:①对于任意实数a有P(X=a)=0.即连续型随机变量取某一实数值的概率为零。从 而有: Pa<X<b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=Pa≤X≤b)=f(x)dt 该式说明,当计算连续型随机变量在某一区间上取值的概率时,区间端点对概率无影响。 ②P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a) 事实上,因为事件{a<X≤b}与事件{X≤a}互不相容,且 {X≤b}={a<X≤b}∪{X≤a} 所以 P(X≤b)=P(a<X≤b)+P(X≤a) 即P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(Xsa)=∫f(x)d-∫f(x)x=jf(x)h ③由定义可知,连续型随机变量就是存在理论分布曲线的随机变量,这一理论分布曲 线对应着一个函数∫(x),称为连续型随机变量的分布密度函数。连续型随机变量X落入微小 区间[x,x+ax]的概率为P(x≤X≤x+ax)≈∫(x)dx,称∫(x)dx为连续型随机变量X的 概率元。它起着离散型随机变量分布列中P类似的作用。 Example2,8设随机变量X具有概率密度 -3r >0 0,x≤0 (1)试确定常数K;
19 f (x) ，使得对于任意实数 x ，有： − = x F(x) f (x)dx 则称 X 为连续型随机变量，而 f (x) 称为 X 的分布密度函数（或概率密度函数），简称分布密 度（或概率密度）。(Suppose distribution function F x( ) for random variable X , if there exists a nonnegative integral function f (x) , such that for arbitrary x , there is − = x F(x) f (x)dx then define X is a continuous random variable and f (x) is density function distribution(or probability density function), for short distribution density ( or probability density). ) 由分布密度的定义及概率的性质可知分布密度 f (x) 必须满足： （1） f (x) 0 ；从几何上看，分布密度函数的曲线在横轴的上方； （2） + − f (x)dx = 1 ；这是因为 − X + 是必然事件，所以 + − f (x)dx = P(− X +) = P(U) = 1 从几何上看，对于任一连续型随机变量，分布密度函数与数轴所围成的面积是 1； （3） 对于任意实数 a,b ，且 a b 有 = − = b a P{a X b} F(b) F(a) f (x)dx ； （4）若 f (x) 在点 x 处连续，则有 ( ) ( ) ' F x = f x . Note: ○1 对于任意实数 a 有 P(X = a) = 0 .即连续型随机变量取某一实数值的概率为零。从 而有： = = = = b a P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b) f (x)dx 该式说明，当计算连续型随机变量在某一区间上取值的概率时，区间端点对概率无影响。 ○2 P(a X b) = P(X b) − P(X a) 事实上，因为事件 {a X b} 与事件 {X a} 互不相容，且 {X b} = {a X b}{X a} 所以 P(X b) = P(a X b) + P(X a) 即 = − = − = − − b a b a P(a X b) P(X b) P(X a) f (x)dx f (x)dx f (x)dx ○3 由定义可知，连续型随机变量就是存在理论分布曲线的随机变量，这一理论分布曲 线对应着一个函数 f (x) ，称为连续型随机变量的分布密度函数。连续型随机变量 X 落入微小 区间 [x, x + dx] 的概率为 P(x X x + dx) f (x)dx ，称 f (x)dx 为连续型随机变量 X 的 概率元。它起着离散型随机变量分布列中 i p 类似的作用。 Example 2.8 设随机变量 X 具有概率密度 = − 0, 0 , 0 ( ) 3 x Ke x f x x （1）试确定常数 K ；
(2)求P(X>0.1) (3)求F(x) Solution(1)由于f(x)dtx=1,即 f(x)dx= Ke-3xdx 34ked(、 得K=3.于是X的概率密度 0 f(x) (2)P(X>0D=G1fx)kG13d=0708 (3)由定义F(x) f(t)dt。当x≤0时,F(x)=0;当x>0时, F(x)=⊥(h-[,3-k=1-e1 所以 10.x≤0 二、几个常用的连续型随机变量的分布( Several special continuous models) 1.均匀分布 如果随机变量X的概率密度为 f(x)=b-a a≤x≤b 其他 则称X服从[ab]上的均匀分布( Uniform distribution) 如果X服从[a,b]上的均匀分布,那末,对于任意满足a≤c≤d≤b的c,d,应有 PcsX≤d)=」(xhsd-c 该式说明X取值于[a,b中任意小区间的概率与该小区间的长度成正比,而与该小区间的 具体位置无关。这就是均匀分布的概率意义 2.指数分布 如果随机变量X的概率密度为 x≥0 f(x) 0x<0 则称X服从指数分布( Index distribution)(参数为A) 指数分布也被称为寿命分布,如电子元件的寿命,电话通话的时间,随机服务系统的服 务时间等都可近似看作是服从指数分布的。 3.正态分布 如果随机变量X的概率密度为 )2 f(x)= (-∞<x<+∞); 2 其中σ>0,,H为常数,则称X服从参数为a,p的正态分布( Normal distribution),记为
20 （2）求 P X( 0.1) ； （3）求 F x( ) . Solution （1）由于 + − f (x)dx =1 ，即 + − f (x)dx= 1 3 3 ( 3 ) 3 1 0 3 3 0 3 0 = = − − = − = − − + + − + K e K Ke dx Ke d x x x x 得 K = 3.于是 X 的概率密度 = − 0, 0 3 , 0 ( ) 3 x e x f x x ； （2） P X( 0.1) = + 0.1 f (x)dx = 3 0.7408 3 0.1 = − + e dx x ; （3）由定义 F x( ) = − x f (t)dt 。当 x 0 时， F x( ) =0；当 x 0 时， F x( ) = − x f (t)dt = x x x e dx e 3 3 0 3 1 − − = − 所以 − = − 0, 0 1 , 0 ( ) 3 x e x F x x . 二、几个常用的连续型随机变量的分布(Several special continuous models) 1. 均匀分布 如果随机变量 X 的概率密度为 1 , ( ) 0, a x b f x b a = − 其他 则称 X 服从 [a,b] 上的均匀分布(Uniform distribution)。 如果 X 服从 [a,b] 上的均匀分布，那末,对于任意满足 a c d b 的 c, d ，应有 b a d c P c X d f x dx d c − − = = ( ) ( ) 该式说明 X 取值于 [a,b] 中任意小区间的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的 具体位置无关。这就是均匀分布的概率意义。 2. 指数分布 如果随机变量 X 的概率密度为 = − 0 ( ) x e f x ;( 0) 0 0 x x 则称 X 服从指数分布(Index distribution)（参数为 ）。 指数分布也被称为寿命分布，如电子元件的寿命，电话通话的时间，随机服务系统的服 务时间等都可近似看作是服从指数分布的。 3. 正态分布 如果随机变量 X 的概率密度为 ,( ) 2 1 ( ) 2 2 ( ) 2 1 = − + − − f x e x x ； 其中 0,, 为常数，则称 X 服从参数为 , 的正态分布(Normal distribution)，记为