等差数列 第一课时等差数列的概念及通项公式 以本为本·抓课 课前自主学习,基稳才能楼高 预习课本P36~38,思考并完成以下问题 (1)等差数列的定义是什么?如何判断一个数列是否为等差数列? (2)等差数列的通项公式是什么? (3)等差中项的定义是什么? 它义 1.等差数列的定 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示 点睛](1)“从第2项起”是指第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的 差”相吻合 (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”,强调了: ①作差的顺序;②这两项必须相钾 (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数 列不能称为等差数列 2.等差中项 如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.这三个数满足的关 系式是A+b 3.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a,公差为d 递推公式 通项公式 an-a-1=d(n≥2) an=a1+(u=1dn∈N)
等差数列 第一课时 等差数列的概念及通项公式 (1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？ (2)等差数列的通项公式是什么？ (3)等差中项的定义是什么？ [新知初探] 1．等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示． [点睛] (1)“从第 2 项起”是指第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的 差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数 列不能称为等差数列． 2．等差中项 如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．这三个数满足的关 系式是 A＝ a＋b 2 . 3．等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d. 递推公式 通项公式 an－an－1＝d(n≥2) an＝a1＋(n－1)d(n∈N* ) 预习课本 P36～38，思考并完成以下问题
点睛]由等差数列的通项公式a=a+(m-1)d可得an=mn+(a-,如采设p=d q=a1-d,那么an=pn十q,其中P,q是常数,.当P≠0时,an是关于n的一次函数;当p 0时,an=q,等差数列为常数列 小身手 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1诺一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列 (2)等差数列{a}的单调性与公差d有关() (3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项() (4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列 解析:(1)错误。若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等 则这个数列就不是等差数列 (2)正确,当小0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减数列. (3)正确.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项 (4)正确.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c一b,故a,b,c为等差数列 答案:(1)×(2)√(3)√(4)√ 2.等差数列{an中,a1=1,d=3,an=298,则n的值等于() B.100 D.101 解析:选Ban=m1+(n-1=3m-2,令an=298,即3mn-2=298→n=100 3在等差数列{an}中,若a1·a3=8,a2=3,则公差d=() B.-1 解析:选C由已知得, (an+2d=8, 解得d=±1 la1+c=3, 4.若log32,log3(2x-1),log3(2x+1)成等差数列,则x的值为 解析:由log(2+1)-log(2-1)=log(2-1)-1g32,得:(2)2-42-21=0,2 7,∴x=log27 答案:log7 学用结台通技祛 果堂讲练设计,举一能通类题 型 等差数列的通项公式及库用 典例]在等差数列{an}中
[点睛] 由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 可得 an＝dn＋(a1－d)，如果设 p＝d， q＝a1－d，那么 an＝pn＋q，其中 p，q 是常数．当 p≠0 时，an是关于 n 的一次函数；当 p ＝0 时，an＝q，等差数列为常数列． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( ) (2)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关( ) (3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数 a，b，c 满足 2b＝a＋c，则 a，b，c 一定是等差数列( ) 解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等， 则这个数列就不是等差数列． (2)正确．当 d>0 时为递增数列；d＝0 时为常数列；d<0 时为递减数列． (3)正确．只需将项数 n 代入即可求出数列中的任意一项． (4)正确．若 a，b，c 满足 2b＝a＋c，即 b－a＝c－b，故 a，b，c 为等差数列． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，an＝298，则 n 的值等于( ) A．98 B．100 C．99 D．101 解析：选 B an＝a1＋(n－1)d＝3n－2，令 an＝298，即 3n－2＝298⇒n＝100. 3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( ) A．1 B．－1 C．±1 D．±2 解析：选 C 由已知得， a1(a1＋2d)＝8， a1＋d＝3， 解得 d＝±1. 4．若 log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列．则 x 的值为________． 解析：由 log3(2x＋11)－log3(2x－1)＝log3(2x－1)－log32，得：(2x ) 2－4·2x－21＝0，∴2 x ＝7，∴x＝log27. 答案：log27 等差数列的通项公式及应用 [典例] 在等差数列{an}中
(1)已知as=-1,as=2,求a与d (2)已知a1+a6=12,a=7,求ap 解](1)∵as=-1,as=2 +4-1, 解得 a+72, (2)设数列{an}的公差为d a1+a+5d=1 1, 由已知得, a+3d=7, 解得d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1, a=2×9-1=17. 类题通法 在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如 果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a,d的关系列方程组求解,但是要注意公 式的变形及整体计算,以减少计算量 活学活用 1.2016是等差数列4,6,8,…的() 第1006项 第1007项 C.第1008项 D.第1009项 解析:选B∵此等差数列的公差=2,∴an=4(m-1)×2,an=2n+2,即2016 =2n+2,∴n=1007 2.已知等差数列{an}中,as=33,a61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果 是,是第几项? 解:设首项为m,公差为d,则an=a1+(n-1)d, an+(5-1)d= 由已知 a+(61-1)=217, 解得 所以an=-23+(m-1)×4=4n-27 令an=153,即4n-27=153,解得n=45∈N,所以153是所给数列的第45项 E等中项的用」了 「典例已知等差数列{an},满足a+a+a=18,a2aa=66求数列{an}的通项公式
(1)已知 a5＝－1，a8＝2，求 a1 与 d； (2)已知 a1＋a6＝12，a4＝7，求 a9. [解] (1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴ a1＋4d＝－1， a1＋7d＝2， 解得 a1＝－5， d＝1. (2)设数列{an}的公差为 d. 由已知得， a1＋a1＋5d＝12， a1＋3d＝7， 解得 a1＝1， d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 在等差数列{an}中，首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如 果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关 a1，d 的关系列方程组求解，但是要注意公 式的变形及整体计算，以减少计算量． [活学活用] 1．2 016 是等差数列 4,6,8，…的( ) A．第 1 006 项 B．第 1 007 项 C．第 1 008 项 D．第 1 009 项 解析：选 B ∵此等差数列的公差 d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即 2 016 ＝2n＋2，∴n＝1 007. 2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果 是，是第几项？ 解：设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由已知 a1＋(15－1)d＝33， a1＋(61－1)d＝217， 解得 a1＝－23， d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*，所以 153 是所给数列的第 45 项. 等差中项的应用 [典例] 已知等差数列{an}，满足 a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
解]在等差数列{an}中 a3+a=18,3a3=18,a3=6. =1,解得{=1 a2+a=12, =11L an=m1+(n-1)d=16+(m-1)(-5)=-5n+21 类题通法 三数a,b,c成等差数列的条件是b=-,(或2b=a+c),可用来进行等差数列的判定 或有关等差中项的计算问题,如若证{an}为等差数列,可证2an+1=an+an+2(n∈N). 活学活用 1.已知数列8,a2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为 解析:因为8,a,2,b,c是等差数列, 所以1a+b=2×2,解得b=-1 谷案:5-1 2.已知数列a中,0=2,a=1,且教列十1为等差数列,则a= 解析:由数列n+1乃为等差数列,则有a+1a+1a+可解得a=5 答案 题型三 一题多法 牵回路转 等差数列的判定与证明 「典例已知数列{an}满足m=4,an=4--(m>1),记b=求证:数列{bn}是等 差数列 证明:法一定义法
[解] 在等差数列{an}中， ∵ a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6. ∴ a2＋a4＝12， a2·a4＝11， 解得 a2＝11， a4＝1 或 a2＝1， a4＝11. 当 a2＝11， a4＝1 时，a1＝16，d＝－5. an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21. 当 a2＝1， a4＝11 时，a1＝－4，d＝5. an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9. 三数 a，b，c 成等差数列的条件是 b＝ a＋c 2 (或 2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定 或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N* )． [活学活用] 1．已知数列 8，a,2，b，c 是等差数列，则 a，b，c 的值分别为________，________， ________. 解析：因为 8，a,2，b，c 是等差数列， 所以 8＋2＝2a， a＋b＝2×2， 2＋c＝2b. 解得 a＝5， b＝－1， c＝－4. 答案：5 －1 －4 2．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列 1 an＋1 为等差数列，则 a5＝________. 解析：由数列 1 an＋1 为等差数列，则有 1 a3＋1 ＋ 1 a7＋1 ＝ 2 a5＋1 ，可解得 a5＝ 7 5 . 答案：7 5 等差数列的判定与证明 [典例] 已知数列{an}满足 a1＝4，an＝4－ 4 an－1 (n>1)，记 bn＝ 1 an－2 .求证：数列{bn}是等 差数列． 证明：[法一 定义法]
∴bn+1-b=-1 21 2(an-2)an-22(an-2)2 为常数(n∈N) 又b1 数列{bn}是首项为,公差为的等差数列. 法二等差中项法 b b 4)_,2(an-2) an+I an an-1 (an+1-2) bn+bu+2-26nu+ 0 2(an-2) ∴bn十bn+2=2bn+1(m∈N) ∴数列{bn}是等差数列 题通法 等差数列判定的常用的2种方法 (1)定义法:an+1-an=常数)m∈N){为等差数列 (2)等差中项法:2an+1=an+an+(n∈N)分{an}为等差数列 活学活用 已知b成等差数列,并且叶+e,a-c,a+c-2均为正数,求证:g(a+c,kg(a c),lg(a+c-2b)成等差数列 解:∵ab,c成等差数列,=a+, ,即2ac=b(a+ (a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac-4ac=(a-c) ∵ac,a+c-2b,ac均为正数,上式左右两边同时取对数得,lgl(a+c)(a+c-2b lg(a-c)2, pp ig(a+c)+lg(a+c-26)=2lg(a-c)
∵bn＋1＝ 1 an＋1－2 ＝ 1 4－ 4 an －2 ＝ an 2(an－2) ， ∴bn＋1－bn＝ an 2(an－2) － 1 an－2 ＝ an－2 2(an－2) ＝ 1 2 ，为常数(n∈N* )． 又 b1＝ 1 a1－2 ＝ 1 2 ， ∴数列{bn}是首项为1 2 ，公差为1 2 的等差数列． [法二 等差中项法] ∵bn＝ 1 an－2 ， ∴bn＋1＝ 1 an＋1－2 ＝ 1 4－ 4 an －2 ＝ an 2(an－2) . ∴bn＋2＝ an＋1 2(an＋1－2) ＝ 4－ 4 an 2 4－ 4 an －2 ＝ an－1 an－2 . ∴bn＋bn＋2－2bn＋1＝ 1 an－2 ＋ an－1 an－2 －2× an 2(an－2) ＝0. ∴bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N* )， ∴数列{bn}是等差数列． 等差数列判定的常用的 2 种方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N* )⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N* )⇔{an}为等差数列． [活学活用] 已知1 a ， 1 b ， 1 c 成等差数列，并且 a＋c，a－c，a＋c－2b 均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a －c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列． 解：∵ 1 a ， 1 b ， 1 c 成等差数列，∴ 2 b ＝ 1 a ＋ 1 c ， ∴ 2 b ＝ a＋c ac ，即 2ac＝b(a＋c)． (a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c) 2－2b(a＋c)＝(a＋c) 2－2×2ac＝a 2＋c 2＋2ac－4ac＝(a－c) 2 . ∵a＋c，a＋c－2b，a－c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)] ＝lg(a－c) 2，即 lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)