第1章信号与系统 (a)x(t)=st+ (b)z(t)=sin t (c)x()=cos t+sin t (d)x(t)=cost+sin2t (e)x(t)=sin (f)x(t)=e(x日 (g)x[n]=c) (h)x[n]=c∞osn (i)IIn=ccs 3n+sin 4n ()x[n]=32n (()-(+2)0(at+)→a=1 (t)是周期信号,其基本周期T=2r/a,=2r x(t)是周期信号,其基本周期T0=2r/u=3 (c)x(t)=srt+snxt=x1(t)+x2(l) 其中x1(t)=∞os(x/3)t=cm1t是周期信号,其基本周期T1=2rim1=6 x2()=sn(x/4)t=nm2t是周期信号,其基本周期T2=2rm2=8 因为T/T2=68=3/4是有理数则x(t)是周期信号,其基本周期T=4T:=3T2= (d)x(t)=st+sin/2t=x1(x)+x2(t) 其中x1(1)=c8t=cou1t是周期信号,其基本周期T=2ra=2r x2(x)=sm2:=sin2是周期信号,其基本周期T2=2x/on=2r 因为T:/T22是无理数则x(r)是非周期信号 (e)利用三角等式s2=1(1-x20)可得 r(t)= sint- cost=x,(t)+x2(t) 其中x()=2是一个任意顾期的直流信号x()=-12=xm!,是周期信号,其基本周 期T2=2xan2=x。因此x(t)是周期信号,其基本周期为T0=x。 ()x(t)=d1-e=co→=2 x(t)是周期信号,其基本周期为T=2ra=4 (g)x[n]=c"=c→Q4= 因为D12π=18是有理数,因此x(t)是周期信号。由式(155,其基本周期为N=8 (h)x(n]=4hn-n2=1 因为Q012x=18x不是有理数因此xn]不是周期倌号。 (i)r[n]=cos 3m+sin 4n=I[n]+aln) 其中 atnl=n=chn→a=5 x2[n]= n=cQn→2= 为2|2x=1}6(为有理数),x1n]是周期信号,其基本周期N1=6 因为212x=18(为有理数),x2[n]是周期信号,其基本周期N2=8 因此,根据习题1-15的结果,x[n是周期信号,其基本周期是6和8的最小公倍数,即N=24
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信号与系统 (j)利用三角等式c0s20=1(1+c820)可得 Cos n 其中x【n1=号=(1)是周期序列,其基本周期为N1-=1 x2(t)=0(r/4)n=3ceQ2n→2=x/4。因为na1r=18(为有理数),n2[n]是周期信号,其基 本周期N2=8。因此x[n]是周期信号,其基本周期是N=8(N1和N2的最小公倍数)。 117证明:对于任意实数a、B和a,如果x(t+T)=x(t),则 (t)dt (t)dt r()dt 如果x(t+T)=x(t),则设t=r-T,得 T)=r(r)=r(r-T) x(r-T)dr= x(r)dr=I(o)d 接着将式(188)等式右边写为 x(t)ot=r(z)dt+ (a)dt 由式(187)得 r(tdr r(tdt x(r)dt x(n)dt+z(t)d I(rd+I x(t)o=r(r)ds 1,18证明:如果x(t)是基本周期为T的周期信号,则式(1.15)定义的x(t)的归一化平均功 率与任意时间间隔T的x(t)的平均功率是相同的,即 P 1x(t)12a 由式(115) P= lim t m2 (2)/2dt 设T是基本周期的整数倍,即T=0,则x(t)在间隔T内的总归一化能量是一个基本周期内归一化 能量的k倍,即 P=地[,91(],x0)a 1.19下列等式在本书中经常出现,试证明其有效性 a≠1 N a|<1 (1.91) a|<1 (1.92) a」<1
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第1章信号与系统 (a)设 用式(194)减式(1.95),得 因此,如果a 如果a=0,则由式(1,91),得 0,则由式(1.%6),得 如>=如1 (c)根据式(1.91),得 (d)对式(191)两端对a求导,得 且 a 1 因此 1.20判断下列信号是否是能量信号、功率信号或者都不是。 (a)x(t)=e"u(t),a>0 b)x(t)=Acos(ωgt+a) (d)x[n]-(-0.5)w[n] (e)rin]=u[n (f)x[n]=(-0.5)a[n] 因此,x(t)是能量信号 (b)正弦信号x(t是周期T=2x/的周期信号,则根据习题118的结果,x(t)的平均功率为 因此,x(x)是功率信号。注意,一般情况下周期信号都是功率信号。 (E把吗m(x()d厘 2)3 号把 因此,x(r)既不是能量信号,也不是功率信号。 (d)由定义(1,16),且利用式(1.9),得
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信号与系统 E=点an]=习0.=1-0x=3< 因此,x[n]是能量信号。 (e)由定义(1.17),得 〓x+∑xn2 N +1 12 N+1)= 因此,xn]是功率信号。 ()因为|x[n]|=12e|=2|"|=2 22 4(2N+1)=4<∞ 因此,x[n]是功率信号 基本信号 121证明 1t<0 设r=-r,由定义(1.18) x(-t) 0r<0 因为r>0和r<0分别意味薯t<0和t>0,则得 (-t) 1t< 如图1-26所示 图1-26 1.22如图127所示的连续时间信号x(t),画出并标明下列信号: (a)x(t)x(1-t)(b)x(t)[a(t)-(t-1)](c)x(t)8lt (a)由定义(1.19) ∫1t<1 (1-t) x(t)v(1-t)如图1-28(a)所示。 (b〕由定义(1,18)和(1,19) 10<t≤1 其他 x(t)i(t)-a(-1)]如图1-28(b)所示。 (c)由式(1,26) t
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第1章信号与系统 25 r()a(-a(t-1 x()(-2)如28所 123如图1-29所示的离散时间信号x[n],画 出并标明下列信号。 (a)xin]u[ (b)rlnjiuin+2]-u[n]F (c)x[n]8[n-1] (a)由定义(144) 图1.29 ul[1-n]= x[n]a[1-n]如图1-30(a)所示。 某用1一n r[n{[n+2]-u[r} I,E 4-3-2-!012 3-2-012 xina[n-l (c) 图 (b)由定义(143)和(144) 1-2≤n<0 u[n+2]-u[n] 其他 x[n]n[n+2]-un]}如图1-30(b)所示 (c)由定义(1.48) x[n]n-1]=x[1]l[n-1]=bn-1l= x[n]b[n-1]如图130(c)所示。 124单位阶跃函数v(t)可以通过以下关系定义为广义函数: P(r)u(r)dt (r)dt
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