信号与系统 其中,(t)是一个测试函数,可以在0<t<∞范围内积分。根据此定义证明 t>0 t<0 将式(198)重写为 (t)()d=p()x()d+g(t)u()d=p(t)d p(t)u(r)dt=L p()[1-u(t)]dt 上式成立的条件是 <0且q(x)[1-u(t)]=0t>0 因为g(t)是任意的,有 (t)=0t<0且1-a(t)=0t>0 u(t) l,25验证式(123)和(124),即 可以根据以下等效性质来证明 设g(t)和g2()是广义函数则对于所定义的测试函数p(t),当且仅当 ):(t)d p(r)g2(r)dt 时,g1(t)=g2(r),这就是等效性质 (a)对可变的变量,设at=r,则t=r/a,d=(1}a)dr,可以得到以下等 如果a>0, I P 如果a<0 p(t)8(a)h=1/ a。(a|8(x)a 1 8(r)dr 1 因此对任意的a有 p(t)8( 现在对p(0)使用式(1.20),则对任意的q(t) a.)( 由等效性质式(199),得 a(at) (b)在上式中设a=-1,得 8(-t) 8(t)=b(t)
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第1信号与系统 说明δ(t)是个偶函数。 1.26(a)验证式(1.26):如果x(t)在t=t0时刻是连续的,则 )=x(t)8(t-to) (b)验证式(1.25):如果x(t)在t=0时刻是连续的,则 (t)a(t)=x(0)6(t) (a)如果x(t)在t=t时刻是连续的则对于在t=t时刻连续的所有p(t),由定义(122)得 (t)[r()8(t-10)ld=[【g(t)x(t)](-t0)d=g(a)x(4) (to 9(r)8(t-to) f p(r)[x(4)a(t-t,)]d 因此,由等效性质(199)可得 x()(t-t0)=x(t)l(t-t) (b)设上式中t1=0,得 x(t)(t)=x(0)(t) 127证明; (b)sint(t)=0 利用式(1.25)和(126)得 (a)t(t)=(0)8(t)=0 (b)sin(t)=(s0)b(t)=(0)(t)=0 验证式(1.30): 8(t)=a'(t) du( 由式(1.28)得 其中,g(t)是测试函数,在t=0时剡连续,在某个固定间隔之外不存在。因此,g(t)存在,在 0<t<∞范围内可积,且φ(∞)=0。则使用式(1.98)或定义(1.18),得 门9(o)(④)dp(如=)5=-((如)-90) o(r)a(r)dr 因为g(t)是任意的由等效性质(199 1.9证明下列有关8(t)导数的性质 (0),其中g(0) (a)利用式(128)和(1.20),得 g()d-J.())h=-10) (b)利用式(101)和(1.20)
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信号与系统 F(r[ao(t)]dr p()8()d=-tp(0) [g(t)+φ(t)]1 p(t)8(t) p(r)[-&(t)]d 因此,由等效性质(199)可得 (t)=-b(t) 130计算下列积分: (a)(3z2+1)8(t)tt b)(32+1)8(t)d (c)I(22+cox)o(2-1)dt (d)e-(2t-2)d (e)e"δ'()d (a)由式(1.21),其中a=-1,b=1,得 (32+1)(t)d=(3t2+1) (b)由式(11),其中a=1,b=2,得 (3t2+1)6(t)d=0 (c)由式(1.22),得 1 0 (d)由式(122)和(1.23),得 et(2:-2)d=「8[2(-1)]d a(t-1)dt )由式(1.29),得 8(t)d 1.31求出并画出下列信号的一阶导数: (a)x(t)=(t)-u(t-a),a>0 (b)x(t)=t[u(t)-u(t-a)],a>0 t>0 (a)由式(130),得 (t)=8()且w(t-a)=6(t x()=u(t)-(t-a)=6(}-b(t-a) 信号x()和x()如图1-31(a)所示 (b)利用两个函数之积的微分原则以及(a)的结果得 (t-a)]+ta(t)-a(t-a)] 但是,由式(125)和(1.26)
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第1章信号与系统 (t)=w(t)-u(t-a)-a(t-a)] 倌号x(t)和x(t)如图1-3(b)所示 (c)x()=mt可以重写为 r(t)=sent= u(t)-u(t 则利用式(1.30),得 r(t)=s(t)-“'(-t)=a()-[-b(t)]=28(t) 信号x(t)和x(t)如图131(c)所示 r(0 图1-31 系统及其分类 132如图1-32所示的RC电路,求出输入x(t)和 输出y(t)之间的关系。 (a)如果x(t)=v(t),y(t)=v2(t) (b)如果x(t)=v2(t),y(t)=i(t) (a)对图1-32中的RC电路使用基尔夫电 压定律,得 图132 u(t)=Ri(t)+v() (1.103) 电流i(t)和电压v2(t)的关系为 i(i)=cau(a) (1.104 设v(t)=x(t),v(t)=y(t),将式(1.104)代入式(1.103),得 RCo+y(a-x(t) 或 dyt) +drv(t) (t) (1.105) 因此,RC电路的输入输出关系可以用一阶常系数线性微分方程来描述 (b)对式(1.104)求积分,得 v2(t)= ir)dr (1.106) 将式(1.106)代入式(1103),设v(t)=x(t),v(t)=y(t)得 Ry(t)+ y(r)dt =r(t)
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信号与系统 y(t)+ y(r)di 对上面的等式两端求t的微分,得 y()=是42 (1.107) 因此,RC电路的输入输出关系还可以用另一个一阶常系数线性微分方程来描述 1.33如图133所示的电容。设输入x(t)=i(t),输出y(t)=v(t)。 (a找出输入输出关系 (b)确定系统是(i)无记忆的(i)因果的(i)线性的(i)时不变的(v)稳定的。 (a)假设电容C是常数。电容两端的输出电压y()和输入电流x(t)的关系为[式(1.106) (t)=Tx(t)|= x(r)dr (b)(i)由式(1.108)可以看出输出y()取决于当前和过去的输入值。因此,系统是无记忆的 (i)因为擒出y()不取决于将来的输入值。因此系统是因果的。 (i)设x(t)=a1x1(t)+a2x2(r),则 y()rx()bj1()+a() Ii(r)dr I(r)dr y1(4)+a2y2(r) 因此满足叠加性质(168),系统是线性的。 (ⅳv)设y1(t)是由平移的输入电流x1(t)=x(t-t0)产生的,则 (t- to)dr 因此,系统是时不变的 (v)设x(t)=k1(t),且k1≠0,则 0-合o=会 (1.19) 其中,r(r)=a(t),称为单位斜坡函数(见图1-34)。因为y(t)随时间线性增加,因此.系统是非BHO 稳定的。 图1-34 1.34如图1-35所示的系统。确定系统是(a)无记忆的(b)因果的(c)线性的(d)时不变的 (e)稳定的。 (a)由图1-35,得 y(t)=TIr(t)1= x(t)cos 因为输出y(t)的值仅取决于输入x(t)当前和过去的值。因此,系统是无记忆的。 (b因为输出y()不取决于输入x()将来的值。因此,系统是因果的。 (c)设x(t)=a1x1(t)+a2x2(t),则
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