信号与系统 y[n=x闭n+xn =2x1[a 101234567 y=xl呵xn 2-101234567 图1 x[n]=|…,0,2,4,0,… 1.5画出并标明如图124所示信号的奇、偶部分。 利用式(15)和(16),图14所示信号的奇偶部分如图1.25所示 sn 图1-24 16求出x(t)=e的奇偶部分。 设x()和x,(2)分别是的奇偶部分,则 )+x(t) 由式(15)和(1.6),利用F山ler公式,得 ,(:)=5(/+e")=cost . (t)=5(2-c)=jsint 17证明两个奇信号或两个偶信号的乘积是一个偶信号,一个奇信号和一个偶信号的乘积是 个奇信号。 设x()=x1(4)x2()。如果x1()和x2(t)都是偶信号,则 x(-1)=x1(-t)x2(-t)=x1(t)x2(r)=x(t) x(t)是偶信号。如果x1(x)和z2(t)都是奇信号,則 z(-t)=x1(-t)x2(-t)=-x(t)[-x2(t)]=x1(t)x2(t)=x(t) x(t)是偶信号。如果x1()是偶信号,x2(a)是奇信号,则
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第1章倍号与系统 x.nl 4 -3-2 54-3-2-012345 2345 Lrtl 3-2-10123 1234 图1 (-t)=x1(-t)x2(-t)=x1(t)[-x2(t)]=-x2(t)x2(t)=-x(t) x(t)是奇信号。注意,在上面的证明中变量t既可代表连续时间变量,也可代表离散时间变量 18证明 (a)如果x(t)和x[n]是偶信号,则 r(t)dt= 2 x(t)di (1.75a) ∑x[n]=x[0]+2∑x[n] (1.75b (b如果x(t)和x[n]是奇信号,则 x(0)=0且x[0]=0 =0且∑r[ ∫.x0)-:()a+5x()a 在等式右侧的第一项积分中,设t=-A,则
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号与系统 ∫-(--) 因为x()是偶信号即x(-x)=x(x),则 x(-)a=[x(x) 因此 小x()=,4()+.4=()a 类似地 ∑x[n]=∑xn]+x0]+∑x[n 在等式右侧的第一项中设n=-m,则 xl 因为x[n]是偶信号,即x(-m]=xlm],则 2m=点xt 此 an]=∑xn]+x01+∑n]=x0]+2∑n] b)因为x(r)、xn]是奇信号,即x(-t)=-r(t),x[-n]=-x[x],则 (-0)=-x(0)x[-0] 因此 类似地 r(n)d=I x(i)dt+irod=I x(-ada+x(r)dr -x()d+[x()=-[x(x)+x(2lh=0 且 20=22m+0+m]+a0+xn x[n]+x[0]+∑xn] 19证明复指数信号 是一个周期信号,其基本周期为2x/a 根据式(17),如果 则x()是周期信号。 因为 如果屾o=0,则x(:)=1,是一个T为任意值的周期信号。如果∞≠0,则要使式(1.78)成立,必须 或T 为正整数
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第1章储号与系统 19 因此,x(t)的基本周期(最小周期)为2m 1.J0证明正弦信号 十 是一个周期倍号,其基本周期为2x/ao 如果 则正弦信号x(t)是周期信号。 注意到 如果 23 为正整数 因此,x(t)的基本周期(最小周期)为2丌/ao 1.11证明只有在/2x为有理数时,复指数信号 cn=ei 才是一个周期信号。 根据式(19),如果 (1 则x(t)是周期序列。 式(179)只有在 N=m2rm为正整数 为有理数 下才成立。因此,只有在Qa/2m为有理数时,x[n]才是一个周期序列 1.12设x(t)是复指数信号 x(t)=eo 其角频率为a,基本周期为T=2x}a如果离散时间序列x[n]是通过对x(t)以取样 间隔T,进行均匀取样的结果即 x[n]=r(nT,) 试求出使x[n]为周期信号的条件。 如果x[n]是一个基本周期为N的周期信号,则 因此,必须有 no T: m2x 为正整数 云一 为有理数 因此如果取样间隔比率T|7和x(t)的基本周期是有理数则x[n]是周期信号。注意,上面的条件 对于正弦信号x(t)=∞s(∞t+日)也威立 1.13已知正弦信号 (t)
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20 信号与系统 (a)求出使x[n]=x[nT;]为周期序列的取样间隔T (b)如果T=0.1x,求出使x[n]=x[nT]的基本周期。 (a)x(t)的基本周期为T=2xla=2x/15。由式(181),如果 2x/15 其中,m和N为正整数则x[n]=x[n;]为周期序列因此,要求T为 票=否 (183) (b)将T,0.1r=x/10代入式(1.82),得 10 因此,x[n]=x[m]是周期序列。由式(18) 当m=3时,可得到最小正整数N。x(n]=x(0.1m)的基本周期为No=4 114设x1(t)和x2(t)是基本周期分别为T1和T2的周期信号。在什么条件下x()=x1(t) +x2(t)是周期信号。如果x(t)是周期倌号,其基本周期是多少? 因为x1(t)和x1(t)是周期信号,其基本周期分别是T和T2,有 x1()=x1(t+T)=x1(t+mT1)m为正整数 t)=x2(t+T2)=x(t+k2)k为正整数 因此 (t)=x1(t+mT1)+x2(t+kr2) 为了使x()是周期为T的周期倍号,必须有 r(t+T)=x1(t+T)+x2(t+T)=x1(t+mT1)+z2(t+k2) 因此,必须有 mT1=kT2=T 上为有理数 也就是说,两个周期信号的和信号只有在其周期的比值为有理数时才是周期信号,其基本周期至少是 T1和T2的公倍数。如果整数m和k互为素数,可以用式(184)来表示基本周期。如果比值T/T2 是无理数,则倌号x1(t)和x2()没有公共周期,r()不是周期信号。 1,15设x1[n]和x2[n]是基本周期分别为N1和N2的周期序列。在什么条件下x[n] x1[n]+x2[n]是周期序列。如果x[n]是周期序列,其基本周期是多少? 因为x1[n]和x2[n]是周期序列,其基本周期分别是N1和N2,有 x1[n]=x1[n+N1]=x1[n+mN]m为正整数 2[n]=x[n+N2]=x2[r+AN2]k为正整数 因此 i[n]=x[n+mN,]+r2[ 为了使x[n]是周期为N的周期序列,必须有 n+N]=x1[n+N]+x2[n+M]=x1[n+mN]+x2[n+kN2] 因此,必须有 (1.86) 因为总可以找到满足式(186)的整数m和k,则两个周期序列的和序列也总是周期序列,并且其基本 周期是N和N2的最小公倍数 1.16确定下面每个信号是否是周期信号。如果是,确定其基本周期
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