第1章信号与系统 反,a=-1,x[n]在+C与一C之间交替变化。 D.正弦序列 正弦序列可以表示为 a[n]= Acos(0n+8) 如果n没有量纲,则具和9的单位是弧度。图113显示了两个正弦序列的例子。与前面的 方法一样,式(1.58)中的正弦序列可以表示为 ineos(2 n 12 9 图113正弦序列a)x[n=cos(mn|6);(b)x,n]=∞s(n/2) 与式(152)中复指数序列的情况一样,正弦序列也是如此[见式(1.54)和(156)]。例如,图 1-13(a)中的正弦序列是以基本周期为12的重复的周期序列但图113(b)中的正弦序列是非 周期序列。 1.5系统及其分类 A.亲统的表示 系统是一个数学模型,是对反映输入(或激励)信号与输出(或响应)信号关系的物理过程 的描述。 设x和y分别是一个系统的输入、输出信号,则该系统可以看作是x到y的传递(或映 射)。这种传递可以用数学公式表示为 其中,T是运算符,表示x到y的传递规则。式(160)可以用图1-14(a)描述,多输入/输出信 号可以用图1-14(b)描述。本书的重点是单输入/单输出信号的系统。 B.连续时间亲统与离散时间亲统 如果一个系统的输入和输出信号x和y是连续时间信号,则这个系统称为连续时间系统
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信号与系统 系统 系统 图1-14单输入出信号系统及多输入辎出信号系统 如图1-15(a)所示。如果一个系统的输入和输出信号是离散时间信号或序列,则这个系统称 为离散时间系统,如图1-15(b)所示。 系统 」 图1-15(a)连续时间系统;(b)离散时间系统 C.记忆亲统与无记忆亲统 如果一个系统的输出信号在任何时刻都只与当时的输入信号有关,则这个系统称为无记 忆系统,反之称为记忆系统。例如电阻R是一个无记忆系统,输入x(t)为流过电阻的电流, 输出y(t)为电阻两端的电压,则电阻的输入-输出关系(欧姆定律)为 y(t)=Rx(t) (161) 电容C是一个记忆系统的例子,输入x(t)为电流,输出y()为电压,则 记忆系统的另外一个例子是离散时间系统,其输入和输出序列的关系为 yn]=∑x[k] D.因果亲统与非因果桑统 如果一个系统的翰出y(t)在任意t=t时刻都只与t≤to时的输入x(t)有关则这个系 统称为因果系统。也就是,因果系统当时的输出只与当前和(或)过去的输入有关而与将来无 关。因此,在一个因果系统中,在没有对系统施加输入之前,不可能得到输出。如果没有因果 关系,则该系统就称为非因果系统。例如下而非因果系统的例子 y(t)=x(t+1) (1.64) y[n]=x[-n] 注意,所有的无记忆系统都是因果系统,反之却不然。 E.线性亲统与非线性 如果式(160)中的算子T满足下面两个条件,则把T称为线性算子,用线性算子T表示 的系统称为线性系统 1.叠加性 对于任意的信号x1、x2,已知rx1=y1,Tx2=y2,则 2.倍增性(或比例性) 对于任意信号x和任意的比例a,有 riarI (167)
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第1章信号与系统 不满足式(166)或式(167)的系统称为非线性系统。式(1.66)和式(1.67)可以合并为一 个条件,即 其中,a1、a2是任意的比例。式(1.68)称为重叠性。电阻[式(161)]和电容[式(162)就是线 性系统的例子。下面是非线性系统的例子 (1.69) 注意,线性系统的倍增(或比例)性[式(167万]的推论是,零输入产生零输出。下面将设式 (167)中的a=0,可以得到线性系统的另一个重要性质。 F.时不变亲统与时变统 如果一个系统输入信号在时间上的平移(延迟或超前),引起输出信号在时间上的平移,则 这个系统称为时不变系统。即一个连续时间系统,如果对于任意实数r,有 TI(t-r=y(t-r 1.71) 则该系统是时不变系统。对一个离散系统,如果对于任意的整数k,有 k] 则该系统是时不变(或移不变)系统。不满足式(1.71)(连续时间系统)或式(172)(离散时间 系统)的系统称为时变系统。要检查一个系统是否是时不变系统,可以用平移后的输出与由平 移后的输入产生的输出相比较(见习题1.33~139)。 G.线性时不变统 如果一个系统是线性的,并且也是时不变的,则这个系统称为线性时不变(Lm)系统。 H.億定亲统 如果一个系统对于任意的有界输入x 1x|≤k1 (1.73) 对应的输出y也是有界的,为 其中,k1k2为有限的实常数,则这个系统是有界输入有界输出(BBD)稳定的。注意稳定性 还有其他很多定义(见第7章)。 () 系 .反馈亲统 反馈系统是一种重要的特殊系统。在反馈系统中 输出信号反馈并加入到系统的输入端,如图1-16所示 图1-16反馈系统 习题解答 信号及其分类 1一个连续时间信号x(t)如图117所示。画出并标明下列信号。 (a)x(t-2)(b)x(2t)(c)x(t/2)(d)x(-) (a)x(:-2)如图1-18(a)所示。 (b)x(2)如图1-18(b)所示 (c)x(t/2)如图118(c)所示 (d)x(-t)如图1-18(d)所示
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信号与系统 图1 x(r) 图1-18 1,2一个离散时间信号x[n]如图1-19所示 画出并标明下列信号。 (a)x[n-2] (a)x[n-2]如图1.20(a)所示 b)x[2n]如图120(b)所示。 图 (d)x-n+2]如图120(d所示。 1IL 7 IIl 4-3-2-1012 图1-20
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第1章信号与系统 1.3给定一个连续时间信号为 1≤t≤1 其他 如果以下面的取样间隔对x(t)均匀取样,确定得到的离散时间序列。 (a025s(b)0.5s(c)1.0s 对此问题用作图法更简单一些。信号x(t)如图1-21(a)所示。图1-21(b)~(d)分别画出了 三种取样间隔下得到的取样序列。 (a)T,=0.25s由图1-21(b)得 x[n]=1…,0,0.25,0.5,0.75,1,0.75,0.5,0.25,0,… (b)T,=0,5s。由图12(c)得 x[n]={…,0,0.5,1,0.5,0,…} (c)T,=10s。由图1-21(d)得 [n]=|…,0,1,0,…}=[n] x[n」·xn/4) 4-3-2-0123 x[]x(n/2) 图121 1.4利用如图1-22所示的离散时间信号x1[n]和x2[n,用图和一系列数表示以下信号。 Kay,In]=x,In]+riIn] (b)y2[n]=2x,[n] (e)3[n]=xi[n]zeN xa[n] (a)y[n]如图1-23(a)所示。由图1.23(a)得 y[n]=…,0,-2,-2,3,4,3,-2,02,2,0, (b)y2[n]如图123(b)所示。由图1-23(b)得 y2[n]=+…,0,2,4,6,0,0,4,4,0,… (c)y3n]如图1-23(c)所示。由图1-23)得↑
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