信号与系统 其中p(t)是一个在t=0时刻连续的普通函数。 8(t)的另一种定义为 <0<b p(t)8(t)dt a<b<0或0<a<b (1.21) 未定义 a=0或b=0 注意,式(1.20)和(1.21)是一种象征性的表达式,不应看作是普通的Remn(黎曼)积分。 在这种情况下,时常把8(t)称作广义函数,g(t)称作测试函数。不同类型的测试函数可以定 义不同的广义函数(见习题1.24)。同样,延迟后的函数6(t-t0)可以定义为 P(t)8(t-to)dt =o(to) (1.22) 其中p(t)是一个在t=t0时刻连续的普通函数。图16所示为(t)和8(t-t)的图示 (-fn) 图16(a)单位冲激函数;(b)平移后的单位冲激函数 8(t)的其他特性如下: 如果x(t)在t=0时刻连续,则 8(at)= (1.23) x(t)8(t)=x(0)8(t) 如果x(t)在t=t0时刻连续,则 x(t)8(t-t)=x(t0)8(t-to) (126) 利用式(1.22)和(1.24),可以将任意一个连续时间信号x(t)表示为 x(t) a(r)(t-t)dr (1.27) 广义导数 如果g(t)是一个广义函数,其n阶广义导数g"(t)=d"g(t)d"可以由以下关系来定 (t)g"(2)a=(-1)p(t)g(t)ld 其中,p(t)是测试函数可以微分任意多次,在某个固定间隔外消失。y(t)是p(t)的n阶 导数。由式(1.28)和(120),(t)的导数可以定义为 g(t)(t)d=-甲(0) (1.29) 其中,g(t)是测试函数,在t=0时刻连续,在某个固定间隔外消失,且g(0)=4(t)lal-0 利用式(1.28),a(t)的导数就是a(t)(见习题1.28),即 (t)=w'(t) du(t) 则单位阶跃函数可以表示为
http://www.kaoyanjia.com
第t章号与系统 u(t)= a(r)dr (1.31) 注意,单位阶跃函数u(t)在t=0时刻不连续。因此,式(1.30)所示的u(t)的导数不是一般情 况下函数的导数可以认为是广义函数情况下的广义导数。亩式(131)可以看出,在t=0时 刻,a(r)不存在,且由p(t)=1时的式(1.21)得 0t<0 结果与x(t)的定义(1.18)一致。 C.复指数信号 复指数信号 r(t)=eani 是一种重要的复数信号。根据Eue(欧拉)公式,复指数信号可以定义为 x(t)= eo= cosopt jsinw,t 《(1.33) 即x(t)是一个复数信号,其实部为osat,虚部为 sinto式(1.32)中的复指数信号x(t)有 个重要的特性就是其周期性。x(t)的基本周期T为(见习题1.9) 2 (1.34) 注意,对于任意的o,x(t)均为周期函数。 般复指数信号 设=a+是一个复数则x(t)可以定义为 c(t)=e=e plt= e(cos ax jsinwt (135) 式(1.35)中的信号x(t)称作一般复指数信号,其实部 e cosa和虚部e'sina都是按指数增长 (a>0)或减小(a<0)的正弦信号(如图1-7所示) 图17(a)指数增长的正弦信号;(b)指数减小的正弦信号 实指数信号 如果s=a(实数),则式(135)简化为一个实指数信号
http://www.kaoyanjia.com
8 号与系统 x(t)=e (1.36) 如图18所示,如果a>0,x(t)是一个增长的指数信号如果a<0,x()是一个减小的指数信号。 (b) 图1.8连续时间实指数信号(a)a>0;(b)a<0 D.正弦信号 个连续时间的正弦信号可以表示为 x(t)=Acos(ω+0) (1.37) 其中,A是幅度(实数),ω。是角频率,为每秒钟扫过的弧度,是以弧度表示的相角。如图1-9 所示的正弦信号x(t)是一个周期信号,其基本周期为 (1.38) acos 图1-9连续时间正弦信号 基本周期T的倒数称为基本频率f,单位为赫兹(H) 6= 由式(1.38)和(1.39)得 info a0称为基本角频率。利用Buer公式,式(137)中的正弦信号可以表示为 90 +0)=ARele oge (1.41) 其中,Re表示实数部分,也可以使用h表示虚数部分,得
http://www.kaoyanjia.com
信号与系统 14基本高散时间信号 A.单位阶跃序列 单位阶跃序列u[n]可以定义为 1n≥0 0n<0 如图1-10(a)所示。注意,在n=0时刻,k[n]有定义(与连续时间阶跃函数在t=0时刻无定 义不同),且等于单位值1。同样道理,平移后的单位阶跃序列u[n-k]可以定义为 ≥k 如图1-10(b)所示。 ufrt-kI 图1-10(a)单位阶跃序列;(b)平移后的单位阶跃序列 B.单位冲激序列 单位冲激(或单位取样)序列b[n]可以定义为 如图1-11(a所示。同样道理,平移后的单位冲激(或单位取样)序列8[n-k]可以定义为 0n≠k 如图111(b)所示。 图1-11(a)单位冲激(取样序列;(b)平移后的单位冲激序列 与连续时间单位冲激8()不同,8[n]的定义在数学上并不复杂或图难。由式(145)和 (146)可以看出 x[n]8[n]=x[0]δ[n] (147) 8[n-k]=x[k]δ[n一k (1.48) 这分别是式(125)和(126)的离散时间对应式。由式(1.43)~(1.46),b[n和u[n]的相互关 系为 8[n]=a[n]-a[n-1] [n] 这分别是式(130)和(1.31)的离散时间对应式
http://www.kaoyanjia.com
信号与系统 利用式(1.46),任意一个序列x[n]可以表示为 x[n]=∑x[k]8[n-k (1.51) 这正好对应连续时间信号情况下的式(1.27)。 C.复指数序列 复指数序列的形式为 x[n]=e* (1.52) 根据Euer公式,r[n还可以表示为 xin=e0"=cosn n +ising n (1.53) 即x[n]是一个复数序列,其实部为c2n,虚部为sinn “的周期性 为了使c冯”是周期为N(>0)的周期序列,Q2必须满足以下条件(见习题1.1) 因此,对于任意的a,序列冯”不是周期序列,只有在2/2x是有理数时才是周期序列。注 意,这个性质不同于连续时间信号e在任意a0时均为周期信号的性质。因此,如果满足 式(1.54)中的期性条件,且Q2≠0,N和 没有公因于,则式(1.52)中序列x[n]的基本 期N为 (1.55) 离散时间复指数与连续时间复指数的另 个重要区别是,信号e"0随a0的不同而不 同,信号c吗却不是这样。 IIIILLuI 设有一个频率为(Q2+2m)的复指数序 …列,其中k为整数,则有 e14+2w)=chm=c”(1.56 因为e=1,由式(1.56)可以看出,复指数 序列在频率处与在(±2m)、(具 ±4m)等处的值是相等的。因此在处理离 散时间指数序列时,只需要考虑以2x为间隔 长度来选择。一般情况下,常使用间隔 0≤<2π或-≤<丌。 般复指数序列 最普通的复指数序列常定义为 xIn= c (1.57) 其中,C和a都是普通的复指数。注意,式 (1.52)是式(1.57)在C=1且a=c时的 个特例 实指数序列 如果式(1.57)中的C和a都是实数,则 x[n是一个实指数序列。可以分为四种不 同的情况:a>10<a<1、-1<a<0和a< 图1.12实指数序列(a)>1;(b)1>a>0;-1,图112显示了这四种实指数序列。注 (c)0>a>-1;(d)a<-l 意,如果a=1,x[n]就是一个常数序列;相
http://www.kaoyanjia.com