第1拿富与原统 11引言 几乎所有的电气工程领域和其他很多科学和工程学科都需要信号与系统的概念和原理。 本章介绍信号与系统的数学描述、表示及分类。另外还要定义几个重要的基本信号。 12信号及信号的分类 信号是表示物理量或变量的函数。一般来说信号包含某个现象的本质或行为特征。例 如,在RC电路中,信号表示电容两端的电压或流过电阻的电流。从数学上讲信号可以表示 为自变量t的函数,t一般代表时间。因此,信号可以用x(t)表示。 A.连续时问信号与离散时间信号 如果t是一个连续变量那么信号x(t)是连续时间信号。如果t是一个离散变量,那么 信号x(t)是在离散时间点上定义的,是离散时间信号。由于离散时间信号是在离散时间点上 定义的,因此常用序列来表示离散时间信号,表示为{xn}或[xn],其中n为整数。图1-1所示 为连续时间信号x(t)和离散时间信号[x,]。 5·4-3-2-012345 (b) 图11信号的图形表示(a)连续时间信号;(b)离散时间信号 离散时间信号[x]可以表示自变量本身是离散的特征。例如,股票市场每天收盘价是 个按照其自身特点在离散时间点(即每天收盘时)上变化的信号。另外,对连续时间信号x() 取样,也可以获得离散时间信号[xn]。例如 x(ta),x(t1),…,x(t), 或者写成简化的形式如下: x[0],x[1],…,x[n],… 或 在此,可以理解为 其中,x,称为取样点取样点之间的时间间隔称为取样间隔。当取样间隔相等(均匀取样〕时,有 =[xn]=x(n) 其中,常数T即为取样间隔。 离散时间信号有两种定义方法
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信号与系统 1.可以指定计算序列第n个值。例如: [n 或 2.可以直接列出序列的所有值。例如图11(b)所示的序列可以写成 xn}={…,0,0,1,2,2,1,0,1,0,2,0,0,… 或 xn}=1,2,2,1,0,1,0,2 在此,使用箭头表示n=0项。为了方值起见,也可以不使用箭头,用第1项对应n=0 项,n<0的所有序列值均为0。 两个序列的和与积可以定义如下: cn}=lan}+1bn}→cn=a。+b, ic, i= asib, 常数 B.模拟信号与数字信号 如果一个连续时间信号x(2)为连续区间(a,b)内的任意值,则把该连续时间信号x()称 为模拟倌号。其中,a为-∞,b为+∞。如果一个离散时间信号x[n]只为有限个不同的值 则把该离散时间信号x[n]称为数字信号。 C.实数信号与复数信号 如果一个信号x(t)的值为实数,则把该信号称为实数信号。如果一个信号x()的值为 复数,则把该信号称为复数信号。复数信号一般可表示为如下形式 (1.1) 其中,x1(t)和x2()是实数信号,=√-1 注意,式(1.1)中的t可以是连续变量,也可以是离散变量。 D.确定信号与随机信号 确定信号是指在任意绐定时刻其值完全确定的信号。因此,确定信号的模型可以用一个 时间t的函数来表示。随机信号是指在任意给定时刻其值不确定的信号,这种信号可以通过 统计方法来表征。本书不讨论随机信号。 E.偶信号与寺信号 如果伯号x(t)或x[n]可以表示为 x(-t)=x(t) 称信号x(t)或x[n]为偶信号。 如果信号x(t)或xn!可以表示为 x(-t)=-x(t) -n]=-x[n 则称信号x(t)或x[n]为奇信号
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第1章信号与系統 偶信号与奇信号的例子如图12所示。 4-3-2-101234 234 图12偶信号(a和b)与奇信号(c和d)示例 任意一个信号可以表示为偶信号与奇信号的和,即 x(t)=x,(t)+x(t) xin]=xIn]+r(t) 其中 (2)=2x(1)+x(-t)x(a)的偶部分 x[n]={xn]+x-n]xtn]的偶部分 x()2=(1)-x(-)●x()的奇部分 xn]=2{x]-x[-nx[n]的奇部分 注意,两个偶信号或两个奇信号的乘积是一个偶信号,而一个偶信号与一个奇信号的乘积 是一个奇信号(见习题1.7)。 F.周期信号与非周期信号 一个连绩时间信号x(t),如果存在非零的正数T,对于所有的t,有 x(t+T)=x(t) 则该连续时间信号x(t》可以称为周期为T的周期信号,如图1-3a)所示。由式(17)或图 1-3(a)可知,对于所有的t和任意整数m,有 (1.8) 其中x()的基本周期T就是满足式(1)的最小正数T。注意,该定义对常数信号x(t)无效 (例如直流信号)。对于常数信号x(t),不存在基本間期,因为x(t)对任意T值(没有最小正 值)都是周期性的。任何没有周期的连续时间信号均称为非周期倌号。 周期性离散时间信号的定义与此类似。即一个序列xn(离散时间信号),如果存在正整 数T,对于所有的n,有 xln+N]=rin 则该序列x[n]可以称为周期为N的周期信号,如图1-3(b)所示。由式(1.9)或图1-3(b)可 知,对于所有的n和任意整数m,有
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信号与系统 ∠114∠11∠1 x 图13 其中x[n]的基本周期N。就是满足式(1.9)的最小正整数N。任何没有周期的序列称为非周 期序列 注意,对连续时间信号进行均匀取样所获得的序列不一定是周期序列(见习题112和 113),并且,两个连续时间周期信号的和不一定是周期信号,但两个周期序列的和一定是周期 序列(见习题1.14和115)。 G.能量信号与功率信号 设v(t)是一个电阻两端的电压,所产生的电流为i(t),则每欧姆上的瞬时功率p(t)可以 定义为 p(t) v(tie) 2(t) (1.11) 每欧姆上的总能量E和平均功率P分别为 E=「:2(t)d焦耳 (1.12) 黑m()瓦特 对于任意一个连续时间信号x(t),其归一化能量E可以定义为 E x(z)的归一化平均功率P可以定义为 1x(t)12a 同样道理,对于任意一个离散时间信号x[n],其归一化能量E可以定义为 E=∑|xn]|2 (1.16) x[n]的归一化平均功率P可以定义为 aLn 根据定义(1.14)~(117),可以把信号分为如下几类: 当且仅当0<E<∞时,x()(或x[n])为能量信号(或序列),且P=0。 2.当且仅当0<P<∞时,x(t)(或x[n])为功率信号(或序列),且E=∞。 3.既不满足能量信号的特性,又不满足功率信号特性的信号
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第1章信号与系统 ∴5 注意,如果一个周期信号在每个周期内的能量是有限的,则该周期信号是功率信号,并且 求这种信号的平均功率只需要通过一个周期来计算(见习题118)。 13基本连续时间信号 A.单位阶跃函数 单位阶跃函数a(t)可以定义为 (1.18) t<0 如图14(a)所示。注意,在t=0时刻,单位阶跃函数是不连续的,在t=0时刻其值不存在。 同样道理,平移的单位阶跃函数(t-t0)可以定义为 te 如图14(b)所示。 u(f-to) 图1-4(a)单位阶跃函数;(b)平移的单位阶跃函数 B.单位冲激函数 单位冲激函数(t),又称为狄拉克函数(8函数),在系统分析中极其重要。一般把δ(t) 定义为适当选定的普通函数的极限,该函数在无限小时间间隔内具有单位面积如图1-5所 示,具有以下特性 t=0 6(t)d=1 图15 普通函数除信号点之外其余全部为0,必须有整数0(在 Riemann积分情形下)。但δ(t)不 是普通函数其数学上的定义为
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