幂级数 、函数项级数的一般概念 1.定义: 设u1(x),u2(x),,un(x),…是定义在IR上的函 数则∑un(x)=1(x)+2(x)+…+Dn(x)+ n=1 称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数 例如级数∑x=1+x+x2+ =0
1.定义: 设u1 (x),u2 (x),,un (x),是定义在I R上的函 数,则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I上 的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 幂 级 数 一、函数项级数的一般概念
2收敛点与收敛域: 如果x∈I,数项级数∑n(x0)收敛 n=1 则称x.级数∑1(x)的收敛点 n=」 函数项级数∑an(x)的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域 3和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x) 称s(x)为函数项级数的和函数
2.收敛点与收敛域: 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n un x 收敛, 则称 0 x 为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域. 3.和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数
S(x)=1(x)+u2(x)+…+un(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和Sn(x),Iims(x)=(x) n→0 余项rn(x)=(x)-s(x) imr、(x)=0(在收敛域上) n→0 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上 是数项级数的收敛问题 例1求级数∑(1y”的收敛域
s(x) = u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + (定义域是?) 函数项级数的部分和 s (x), n 余项 lim s (x) s(x) n n = → r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 → r x n n 注意 (x在收敛域上) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. 例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 + − = 的收敛域
解由达朗贝尔判别法 n+1 (x)n+11+x1 n→ 十x (1)当 +x<1,→1+x>1 即x>0或x<-2时,原级数绝对收敛 (2)当1 >1,→1+x< 十x 即-2<x<0时,原级数发散
解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + + = 1 1 1 ( ) 1 1 → + → n x 即 x 0或x −2时, 原级数绝对收敛. 1, 1 1 (1) + x 当 1+ x 1, 1, 1 1 (2) + x 当 1+ x 1, 即− 2 x 0时, 原级数发散
(3)当1+x=1,→x=0或x=-2, 当x=0时,级数∑(收敛; n= oo 当x=-2时,级数∑发散; 故级数的收敛域为(-∞,-2)∪[0,+0) 幂级数及其收敛性 1定义形如∑n(x-x)“的级数称为幂级数 n=0 当xn=0时,∑anx",其中an为幂级数系数
(3) 当|1+ x |= 1, x = 0或x = −2, 当 x = 0时, = − 1 ( 1) n n n 级数 当 x = −2时, =1 1 n n 级数 故级数的收敛域为(−,−2)[0,+). 收敛; 发散; 二、幂级数及其收敛性 1.定义: 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n x an x = 当 = 时 其中an为幂级数系数