其它展开 、周期为2L的周期函数展开成 Fourier级数 前面我们所讨论的都是以2x为周期的函数 展开成 Fourier级数,但在科技应用中所遇到的 周期函数大都是以T为周期,因此我们需要讨论 如何把周期为T=2l的函数展开为 Fourier级数 若f(t是以T=2l为周期的函数,在[l,l) 上满足 Dirichlet条件
其它展开 一、周期为 2L 的周期函数展开成 Fourier 级数 前面我们所讨论的都是以 2为周期的函数 展开成Fourier 级数，但在科技应用中所遇到的 周期函数大都是以 T 为周期，因此我们需要讨论 如何把周期为T = 2 l 的函数展开为Fourier级数 若f ( t )是以T = 2 l 为周期的函数，在[ -l , l ) 上满足Dirichlet 条件
∴T=2,∴0= 2兀兀 代入傅氏级数中 o +2(an, cos nax +, sin nax) 定理设周期为的周期函数∫(x)满足收敛 定理的条件则它的傅里叶级数展开式为 f(x)=+(a, cos" +, sin), 在连续点处级数收敛于f(x)本身 f(x-0)+∫(x+0 在间断点处级数收敛于 2
T = 2l, . 2 T l = = 代入傅氏级数中 ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n n = + + 定理 定理的条件 则它的傅里叶级数展开式 为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n + = + = 在连续点处 级数收敛于f( x ) 本身 在间断点处 级数收敛于 2 f (x − 0) + f (x + 0)
其中系数an,b为 nTtr an=,f(x)c0sdx,(n=0,1,2,…) =比/( x)sin- d,( n=1,2,…) (1)如果(x)为奇函数,则有 f(x)=∑ nTw SIn 其中系数b为b=,(x) SIn nT ux, (n= 1,2
( )cos , ( 0,1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l b l l n (1)如果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1 = = n n l n x f x b ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n 其中系数 为 = (n = 1,2, ) 其中系数an , bn为
(2)如果f(x)为偶函数,则有 f(x)=+∑a nTr a cOS T 其中系数a为n f∫( X)cos (n=0,1,2,…) 证明令z=,_l≤x≤→-π≤z≤π, 设f(x)=f()=F(z),F(x)以2m为周期 T F(a)=+2(a, cos nz+b, sin nz) 2
(2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0 = = + n n l n x a a f x dx l n x f x l a a l n n = 0 ( )cos 2 其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z 令 = − l x l − z , ( ) ( ) F(z), lz f x f = 设 = F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = + n + =
其中 ∫F z)coS nzz F(sin nzdz. T=兀 7x F(=f(r) f(x)=+∑(anc0s x+b, sinx) 2 其中 f(r)cos xdx bn=L/(x)sin/xdx
( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n F(z) f (x) l x z = = ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n + = + = ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a