Gauss公式 Gauss公式 前面我们将 Newton- Lebniz公式推广到了平面 区域的情况,得到了 Green公式。此公式表达了平面 闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间 的关系。下面我们再把 Green公式做进一步推广,这 就是下面将要介绍的 Gauss公式, Gauss公式表达了 空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分 之间的关系,同时 Gauss公式也是计算曲面积分的 有效方法
Gauss 公式 前面我们将 Newton-Lebniz 公式推广到了平面 区域的情况，得到了Green 公式。此公式表达了平面 闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间 的关系。下面我们再把Green 公式做进一步推广，这 就是下面将要介绍的Gauss 公式，Gauss 公式表达了 空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分 之间的关系，同时Gauss 公式也是计算曲面积分的一 有效方法。 一、 Gauss 公式
定理设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Σ围成 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在2上具有 阶连续偏导数,则有公式 OP O0 OR +)=小Pd+Qd+Rd ax ay az 或「 aP a0 OR +-+)h ax ay az ∫ Pcos a+ocos B+Rcos y ds 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, C0a,c0s月,C0y是∑上点(x,y,x处的法向 量的方向余弦
定理 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、R( x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式 = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( ) = + + + + 或 这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos ,cos 是上点(x, y,z)处的法向 量的方向余弦
证明首先假设穿过g 内部且平行于坐标轴的直线与 ∑ g2的边界曲面∑ 的交点恰好为两个 设闭区域Ω在面xo ∑ 上的投影区域为Dy ∑由Σ,∑和∑3三部分组成, 1:x=31(x,y) ry Σ2:了=2(x,y) ∑,以投影区域的边界曲线为准线,母线平行与 3坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分
o x y z 1 2 3 Dxy 证明 首先假设穿过 内部且平行于坐标轴的直线与 的边界曲面 的交点恰好为两个 设闭区域在面 xoy 上的投影区域为Dxy. 由1 ,2和3三部分组成, ( , ) 1 : 1 z = z x y ( , ) 2 : 2 z = z x y 3 以投影区域的边界曲线为准线，母线平行与 坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分
根据三重积分的计算法 OR ∫4=∫ u2(x,DaR dz addy az ZI(, y)oz J(RJx, J,2(x,D)1-RIx,v, (x,D))dxdy 根据曲面积分的计算法 (Σ取下侧,Σ取上侧,Σ取外侧 R(x, y, z)dxdy=Rx,y, z,(x, y)]dxdy R(x, y, z) dxdy=R[x,y,2(x,y)ldxdy R(x,y,孔)dcdy=0
根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dy z R Dxy z x y z x y = { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . = 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 (1取下侧, 2取上侧, 3取外侧) ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1 = − Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy ( , , ) [ , , ( , )] , 2 2 = Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy ( , , ) 0. 3 = R x y z dxdy
于是「R(x,y,z)dd (Rx, y,2(x, y)]-RIx, y,,,(x, y)13dxdy aR dv=R(x,y,z)dxdy z 同理rOP P(x, y, z )doda ax 00 dv=il e(x, y,)dzdx
于是 R(x, y,z)dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , = 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy ( , , ) . = dv R x y z dxdy z R 同理 ( , , ) , = dv P x y z dydz x P ( , , ) , = dv Q x y z dzdx y Q