《高等数学》课程PPT教学课件：第十章 对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分 B 、问题的提出 MMn-I 实例:变力沿曲线所作的功 L:A→B, 4 F(,y=P(x, y)i+o(x,vj0 常力所作的功W=F.AB 分割A=M0,M1(x1,y1),…,Mn1(xn1,yn1,Mn=B. M;=1M1=(△x)i+(4y)j

实例: 变力沿曲线所作的功 L: A → B, F x y P x y i Q x y j   ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 o x y A B L M1 M2 Mi−1 MiMn−1 xi i y 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1  M n−1 x n−1 yn−1 M n = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i   − =  +  W = F  AB. 对坐标的曲线积分 一、问题的提出

取F(5,m)=P(5,m)+(5,m),算 F(5,m) △W1≈F(5,mn)·M1M1, △ 即△形2≈P(51,Ax2+Q(5,n;)4yL4 求和W=∑&W 近似值 ∑P(5,m),Ax+Q5,m),△yl 取极限W=m∑P(5,m)Ax+Q(5,m)4y 精确值

F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i   取   =   +   ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi      o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F  i i xi i y ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W  P   x + Q   y 求和 = =  n i W Wi 1[ ( , ) ( , ) ]. 1 =    +   ni i i i i i i P   x Q   y 近似值 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → =   +   ni i i i i i i W P   x Q   y  精确值

对坐标的曲线积分的概念 1定义设L为xo面内从点A到点B的一条有 向光滑曲线弧函数P(x,y),Q(x,y)在L 上有界,用L上的点M1(x1,y1),M2(x2,y2 ,Mn1(xn1,yn-1)把L分成n个有向小弧段 Mo=A,M,=B). 设Ax;=x2-x1,4y1=y2-y11,点(2;n)为 M1M1上任意取定的点如果当各小弧段 长度的最大值→0时

二、对坐标的曲线积分的概念 1.定义 0 , . , , ( , ) ( 1,2, , ; , ). , ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( , ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 长度的最大值 时 上任意取定的点 如果当各小弧段 设 点 为 把 分 成 个有向小弧段 上有界 用 上的点 向光滑曲线弧 函 数 在 设 为 面内从点 到 点 的一条有  →  = −  = −   = = = − − − − − − − i i i i i i i i i i i i n n n n M M x x x y y y M M i n M A M B M x y L n L M x y M x y P x y Q x y L L xoy A B  

∑P(5,m)Ax的极限存在,则称此极限为函 i=1 数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线 积分(或称第二类曲线积分),记作 ∫P(x,n)dx=im∑P(5,m△x 类似地定义「Q(x,y)=lm∑Q5,m)A ->0 其中P(x,y),Q(x,y叫做被积函数,L叫积分弧段 2存在条件:当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时,第二类曲线积分存在

( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) ( , ) , 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x P x y L x P x =      = → =      积分 或称第二类曲线积分） 记作 数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函 类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i L Q x y dy = Q y  = →    其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段. 2.存在条件： , . ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 当P x y Q x y 在光滑曲线弧L

3组合形式「P(x,y)x+Q(x,y) =,P(x,y)x+Q(x,y)冲=F·ds 其中F=P+c,d=di+4!y 4推广空间有向曲线弧r「P2+Q+Rh 「P(x,)=im∑P(5,mn,)△x 「(xn,)=m∑(5,n,5)Ay R(x,P,z)=lm∑R(3,n,)△x 入→>0 I=」

3.组合形式    = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .  =  L F ds  F Pi Qj, ds dxi dyj.      其中 = + = + 4.推广 空间有向曲线弧  .  Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x  =  →     ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q    y  =  → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R    z  =  →