2收敛性 例如级数∑x"=1+x+x2+ n=0 当x<],收敛;当x≥时,发散; 收敛域(-1,1);发散域(-∞,-1J[,+∞); 定理1(Abe|定理) 如果级数∑anx"在x=x0(x0≠0)处收敛,则 0 它在满足不等式x<x0的一切处绝对收敛;
2.收敛性: 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 当x 1时,收敛; 当x 1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+); 定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛;
如果级数∑anx”在x=x处发散则它在满足 不等式x>x0的一切处发散 证明(1)∵∑ax收敛,∴ lim anx,0=0, n= 日M,使得 a, ]oEM(m=01,2,) ax no ≤M 0 0 当<时,等比级数∑M收敛 0 H=0 0
如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 证明 (1) , 0 0 收敛 n= n an x lim 0, 0 = → n n n a x M, ( 0,1,2, ) a x0 M n = n 使得 n n n n n n n x x a x a x 0 0 = n n n x x a x 0 0 = n x x M 0 , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M = 1 , 0 当 时 x x
∑ax"收敛,即级数∑anx收敛; (2)假设当x=x时发散, 而有一点x适合x1>x0使级数收敛, 由(1)结论则级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾 几何说明 收敛区域 发散区域_R R发散区域 这是幂级数收敛的特性
, 0 收敛 = n n an x ; 0 即级数 收敛 n= n an x (2) , 假设当x = x0时发散 而有一点x1适合 x1 x0 使级数收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 则级数当x = x0时应收敛, 几何说明 发散区域 发散区域 收敛区域 − R o R x 这是幂级数收敛的特性
推论 如果幂级数∑anx"不是仅在x=0一点收敛,也 n=0 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质 当x<R时,幂级数绝对收敛; 当x>R时幂级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散 定义:正数R称为幂级数的收敛半径
推论 如果幂级数 n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径
(-R,R),称为幂级数的收敛区间, 收敛域=收敛区间+收敛的端点 可能是(-R,R),[-R,R),(-R,R!,[-R,Rl 规定(1)幂级数只在x=0处收敛, R=0,收敛区间x=0; (2)幂级数对一切x都收敛, R=+0,收敛区间(-∞,+o) 问题如何求幂级数的收敛半径?
(−R,R), 称为幂级数的收敛区间， 收敛域 = 收敛区间 + 收敛的端点 可能是 (−R,R), [−R,R), (−R,R], [−R,R]. 规定 (1) 幂级数只在x = 0处收敛, R = 0, 收敛区间x = 0; (2) 幂级数对一切x都收敛, R = +, 收敛区间(−,+). 问题 如何求幂级数的收敛半径?