圆锯片振动模态的分析

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1993.06.016 第15卷第6期 北京科技大学学报 Vol.15 No.6 1993年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.1993 圆锯片振动模态的分析 郭兴旺邹家祥* 摘要：应用小挠度弹性薄板理论和Bs函数理论推导了普通锯片在不考虑离心惯性力效应时 的顿率方程和振型函数，通过对频率方程和振型函数的无量纲化，去除了它们与锯片具体尺寸的 关系，从而使其具有更大的普适性， 关键词：圆锯片，振动/模态，无量钢化 中图分类号：TH113.1 An Analysis on the Vibration Modes of Circular Saw Blades Guo Xingwang Zou Jiaxiang* ABSTRACT:On the basis of the theory of elastic thin plates in small deflections and the the- ory of Bessel functions,the frequency equation and the mode functions of usual circular saw blades are derived with the effects of the centrifugal force neglected.The relations between the frequency equation and the mode functions.and the specific dimensions of the saw blades are removed by nondimensionalizing the frequency equation and the mode functions so as to make them more generalized. KEY WORDS:circular saw web.vibration/mode.nondimensionalizing 圆锯片广泛应用于金属材料、木材和石料等的锯切。为了提高材料利用华和降低能耗， 希望尽量减小锯片的厚度，而锯片愈薄其横问振动问题就愈突出。振动不仅会引起锯片的疲 劳破坏和产生噪声，而且会使锯路拓宽和偏斜。了解锯片的振动模态对于诚小锯片振动具有 重要的指导意义。 普通圆锯片一般可简化为中间固支外边白由的环形弹性薄板。弹性圆薄板的自由振动微 分方程及其通解以及边界条件在板壳理论中均有论述。本文将以此为出发点，推导普通 圆锯片在不考虑离心惯性力效应时的频率方程和振型函数，并对其进行无量纲化。本文旨在 为普通圆锯片振动模态的精确求解提供数学基础。 1993-05-22收稿第一作者：男，28.博上生 *机械【f程系(Department of Mechanical Enginccring)

第巧 卷 第 6 期 1 9 9 3 年 1 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u nr a l o f U n i v e sr ity o f S d ne ec a n d TCe h n o l o g y Be ij i n g V o l . 15 N 0 . 6 众沈 . 1 9 9 3 圆锯 片振动模 态 的分析 郭 兴 旺 份 邹 家 祥 ’ 摘要 : 应用小挠 度弹 性薄板理论和 压溺 c l 函 数理 论推导 了普通锯 片在不 考虑 离 心 惯 性 力效应时 的频 率方程 和 振型 函数 , 通过 对频 率方 程 和振 型 函数 的 无 量纲化 , 去 除了 它们与锯 片具体尺 寸的 关 系 . 从而 使其具有更大 的普适性 关键词 : 圆锯片 , 振动 / 模态 , 无量钢 化 中图分 类号 : T H 1 3 . 1 nA An a l ys i s o n t h e G “ 0 V ib r a t i o n M o d es o f C irc u l a r S a w B l a d es Xi n 少、 , a n g * Z ou J ia x i a n g * A璐T R A C T : 0 1 1 t h e b a s is o f t h e t h co yr o f ela s t i e t h i n Pl a t o i n s nar l d e fl 。 =t i o ns a nd the t h e - o yr o f B 怨eS l fu n ct i o ns , t h e l吻uen cy eq u a t i o n a n d t he mo d e fu n ct i o ns o f us ua l d 比u l a r s a w b l a d es a er d e ir v ed 俪t h t h e e fe CtS o f t h e 卿t ir fo g a l fo 哎 n eg lect ed . hT e elr a t i o ns bet w e e l l rh e 6叫 u en cy 叫u a t i o n a n d t h e mo d e fu n ct i o ns , a n d t h e s P面 if e d i l l l e lls i o ns o f t he s a w b l a d es a er 比叮幻 v ed b y n o n d i IT 妮” s i o na l访n g t h e t响uen yC 叫u a t io n a n d th e mo d e fu n ct i o ns 50 a s t o ma k e ht em mo er g ~ h刹 . K E Y W O R I万 : d 兀u l a r s a w we b , v ib m t io n / om d e , n o n d i mens i o n a li云n g 圆 锯 片广泛 应 用 于 金属 材料 、 木 材和 石料 等的 锯 切 。 为 了提 高材 料 利 用率 和降 低 能 耗 , 希望 尽 量减 小锯 片的 厚 度 , 而锯 片愈 薄其 横向 振动 问题 就 愈突 出 。 振 动不 仅 会引起 锯 片的疲 劳破 坏 和产 生 噪声 , 而 且 会使锯路 拓 宽和偏 斜 。 了解 锯 片 的振 动模态 对于 减小 锯 片振 动具有 重要的指 导意 义 。 普通 圆锯 片一 般可 简化 为 中问固 支外 边 白由的 环形 弹性薄板 。 弹 性 圆薄板 的 自由振 动微 分 方 程及其 通解 以 及 边 界 条件在板 壳理 论 中均 有论述 ! ’ 一 “ } 。 本文将以 此 为出 发点 , 推 导普通 圆锯 片在 不 考虑 离心 惯 性 力 效应 时的 频率 方程 和 振 型 函 数 , 并 对其进 行无 量纲 化 。 本 文 旨在 为 泞通 圆锯 片振 动模 态 的精 确求 解提供 数学基 础 。 l 卯3 一 05 一 2 2 收稿 第 一 作者: 男 , 邓 博上 生 机 械 T 「 程 系 ( eD P a rt ~ t o f M ec ha n 一份 1 E n g n e ir n g ) DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1993. 06. 016

Vol.15 No.6 郭兴旺等：圆锯片振动模态的分析 ,625· 1圆锯片的频率方程及其无量纲化 普通锯片可看作一个中间固支外边自由的等厚薄圆环板，如图1所示。设所研究的锯片 满足克希荷夫和勒符所提出的板的小挠度理论的基本 假定[。在柱坐标系中，锯片的自由横向振动微分方程 为： DVw+m ai =0 (1) 其中D=2Eh3/【3(1-v2)】为抗弯刚度，m=2hp为 单位面积质量。边界条件为：在r=b处，挠度和斜率 为零，即 图1锯片简图 Fig.1 Sketch of saw blade [w],b=0 (2) [3w/2r],=6=0 (3) 在r=·处，弯矩和横向剪力（包括扭矩效应）为零，即 [+(”+2)]-0 (4) [+上晋+片语)+号凉2”吕)}05) 设方程(1)的解为： w=W(r,θ)sino(t-t) (6) 式中W(r,)为振型函数。把(6)式代入方程(1)可得： 7W-B4W=0 (7) 其中： B=m0D (8) 应用分离变量法及有关Bess©l方程的知识解方程(7)，最后得到： W=R(r)⊙(6) (9) 式中 R(r)=CJ(Br)+C2Y (Br)+CI (Br)+CK (Br) (10) ⊙(0)=cosn(0-0。) 常数C、C、C、C,的比值由边界条件确定，实际值尚需进一步由初始条件确定。常数9。 由初始条件确定。将式(9)代人式(6)得： w=[CJ(Br)+C2 Y (Br)+C3I (Br)+CK (Br)]cosn (0-0)sinc(t-to)(11) 此为锯片在某阶单模态下的主振动，它是方程(1)的一个特解。至于方程(1)的通解， 即锯片的一般自由响应，是各阶主振动的叠加。在板问题中，用两个下标m,n来表明某阶

V bl . 15 N 6 6 郭兴旺等 : 圆锯片振动模态的分析 1 圆锯片 的频率方程及其无量纲化 普通 锯 片可看 作一 个中间 固支外 边 自由的等厚 薄 圆环板 , 如 图 l 所示 。 设 所研究 的 锯 片 满 足 克希荷夫 和勒符 所提 出的板的小 挠 度理论 的基本 假 定 〔 ’ l 。 在柱 坐 标系 中 , 锯片的 自由横 向振 动微 分方程 为 : 。 切、 , + 而 典 一 。 J r ( 1 ) 其中 力 二 Z E h , / 【3 ( 1 一 , ’ ) l 为 抗 弯刚 度 , 示 = 2 h p 为 单位 面积质量 。 边 界条 件 为 : 在 r 二 b 处 , 挠度 和斜 率 为零 , r _ b “ O ( 2 ) 图 1 锯片简 图 %-F . 1 5翻功由 of asw b肠山 , w / 。 r ] : _ 。 二 0 ( 3 ) 卜脚即 在 ; 二 a 处 , 弯矩 和横向剪力 (包括 扭矩效应 ) 为零 , 即 l令 〔会( 令 · 告 + , ( 生 刁 林 , . 1 — 十 - 气; 刁 Y 犷 。 谕 , 8 2 ( 4 ) 一 0 r 一 a 飞 . l J se 、 , 少 二 十 粤 票 卜 生共里 沙 r 厂 沙 口一 r 斗 (竺 一 竺 ) 沙 )t 一 沙 r r ] = O ( 5 ) 、了. ` 、户. n12 尹 了 八O 口. `、了`. 设方程 ( l) 的解 为 : w = w ( r , 0 ) s in 。 ( t 一 0t ) 式 中 W ( ; , 口) 为振 型函 数 。 把 ( 6) 式代入方 程 ( l) 可 得 : 切 W 一 刀 4 W = O 其 中: 尸= 示 。 , / D 应 用分 离 变量法 及有 关 B路 s d 方程的 知识解 方 程 ( 7 ) , 最后得到 : W = R ( r ) O ( 8 ) 式 中 R ( r ) = C l 人 (刀 r ) + Q X ( 刀 r ) + q l 。 ( 刀 r ) + q 凡 叨 r ) ( 9 ) ( 10 ) 0 ( 8 ) = co s n ( 口一 0 ) 常数 C , 、 矶 、 q 、 q 的 比值 由边界 条件 确 定 , 实 际 值 尚需进 一 步 由初 始 条件确 定 。 常 数 0 由初始 条件 确定 。 将式 ( 9) 代人式 ( 6) 得 : w = 「C l蒸 伊 r ) + 矶 玖 叨 r ) + 认I 。 伊 r ) + q 凡 ( 刀 r ) 〕co s 。 ( 8 一 口。 ) s in 。 ( r 一 0t ) ( 1 1 ) 此 为锯 片在 某 阶单模态下 的 主 振 动 , 它 是 方 程 ( l) 的一 个特 解 。 至 于方 程 ( l) 的 通 解 , 即锯 片的一 般 自由响应 , 是 各 阶 主振动 的叠加 。 在 板 问题 中 , 用 两 个下 标 从 , 。 来表 明某 阶

.626 北京科技大学学报 1993年No.6 固有频率和振型是比较方便的，因此，方程(1)的通解写成为： 盒套w.0)mu-) 式中的所有待定常数由边界条件和初始条件确定。 将式(11)代人边界条件(2)~(5)，并应用Bee©l函数的递推关系I3刂进行化简 和整理。所得到的4个方程组成一个方程组，用矩阵表示为： a, a C b bi ba C, =0 （12) d 4 d e es Ca 其中 a=J (Bb) (13) a=Yn(βb) (14) a;=1 (Bb) (15) a=K (Bb) (16) b=nJ (Bb)/(Bb)-J(Bb) (17) b:=nY(Bb)/(Bb)-Y(Bb) (18) b3.=nI Bb)/(Bb)+I (Bb) (19) b,nK.(Bb)/(Bb)-K+(Bb) (20) d:=J(Ba)-(1-v)(n(n-I)(Ba)/(Ba)+J(Ba)/(Ba)] (21) d:Y(Ba)-(1-v)In(n-1)Y(Ba)/(Ba)+Y.(Ba)/(Ba)] (22) d3=-{1.(Ba)+(1-v)[n(n-1)l.(Ba)/(Ba)2-In+(Ba)/(Ba川} (23) d =-K(Ba)+(I-v)[n(n-1)K Ba)/(Bay+K(Ba)/(Ba)] (24) e nJ(Ba)-BaJ.(Ba)+n(I-v)/(Bay[(n-1)J (Ba)-BaJ.(Ba)] (25) e:nY(Ba)-Bar.(Ba)+ni(I-v)/(Bay [(n-1)Y(Ba)-Bar,(Ba)] (26) e=-(nI(Ba)+Bal,(Ba)-n(I-v)/(Ba)[(n-1)1(Ba)+fal (Ba)] (27) e4=-{nK(Ba)-faK+(Ba)-n'(1-v)/(BaF[(n-1)K.(Ba)-faK,+(Ba)]}(28) 这一方程关于C、CC、C4有非零解的允要条件为： b, b, b, ba =0 (29) d, d e es

6 2 6 北 京 科 技 大 学 学 报 l卯 3 年 N o 6 固有频 率和 振型 是 比较方 便 的 , 因此 , 方 程 ( l) 的通 解写 成为 : 、 。 = 艺 艺 呱 , ( r , 0 ) s i n 。 , 。 ( 。一 ` 。 ) m = 0 月 二 0 式 中 的所有 待定 常数 由边 界 条件 和初 始条 件确定 。 将 式 ( 1 1) 代 人边界条 件 ( 2) 一 ( 5 ) , 并 应 用 B 巴代1 函 数 的 递 推 关 系 【3 ! 进 行 化 简 和 整理 。 所 得到 的 4 个 方 程组成一 个方 程 组 , 用 矩 阵表 示为 : ( 12 ) C ` 几权 成气忆几 几q ` 吞试ale 姚件 r … esL 其 中 a一 去 ( 刀b ) a Z 二 Y 。 ( 刀b ) a 3 = 毛 (乡b ) a ; = K 。 (刀b ) b : = 。 J , (刀b ) / (刀b ) 一 去 + . (刀b ) b : = 。 玖 (刀b ) / (口b ) 一 乙 + : (刀b ) b 3 = n 式( 刀b ) / (口b ) + 式 + . (刀b ) b ; = n K 。 (刀b ) / (口b ) 一 K 。 十 . (刀b ) d : = 人(刀 a ) 一 ( l 一 v ) 【 n ( n 一 l )去(口a ) / (口 a ) , + J 。 、 、 (声 a ) / ( 刀 a )】 d : = Y 。 (刀a )一 ( l 一 v )【 n ( n 一 1 )矶 ( 刀 a ) / (刀 a ) 2 + 艺 + : (刀 a ) / (夕 a )〕 姚 = 一 { I 。 (刀 a ) + ( l 一 v ) [ 。 ( 。 一 l ) I 。 (口 a ) / (刀a ) , 一 I 。 十 l ( 口 a ) / (刀 a 川 d 。 = 一 { K , (刀a ) + ( l 一 v ) [ n ( 。 一 l ) K 。 ( 刀 a ) / (口 a 丫+ K , 十 , (声 a ) / (刀 a 川 e , = 。 去(吞a ) 一 刀 a 去 * l (口a ) + 。 , ( l 一 v ) / (口a 丫[ ( 。 一 l ) 去(介 a )一 月 a 人 , , (刀 a ) ] 价 = n 兀 (吞a ) 一 刀 a 兀 * , (刀 a ) + 。 , ( l 一 飞, ) / (夕 u ) , ! ( 。 一 l ) K (刀 a )一 刀 a 玖 十 l (刀 a ) ] e , = 一 { n 几(刀 a ) + 口 a ln * . (口 a ) 一 。 ’ ( l 一 v ) / ( 方a ) , I ( n 一 l ) I 。 (口 a ) + 刃a l 。 , , (刀 a ) l } 气 = 一 { n 长 (口 a ) 一 口 a 长 十 . ( 刀a ) 一 。 , ( l 一 v ) / ( 口 u 护[ ( 。 一 1 ) K , ( 口 a ) 一 声 a K , , 】 ( 口 a 川 这一 方程 关 于 C . 、 Q 、 C 、 q 有 非零解 的充 要条件 为: ( 13 ) ( 14 ) ( 1 5 ) ( 16 ) ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 29 ) , 氏 马姚瓦 人心气b4 ó 瓦 ù 试a.blel 乙

Vol.I5 No.6 郭兴旺等：圆锯片振动模态的分析 627· 这就是决定锯片各阶固有频率的频率方程（特征方程），从中可解出特征值B。B与锯片的具 体尺寸a、b有关，这是由于频率方程中含有a、b的缘故。为了化简或解除频率方程与a、b 的关系，下面对频率方程进行无量纲化。 设锯片夹径比为Φ=b/a,则b=①a,令 Ba =x (30) 则 Bb=Φx (31) 将式（30)和式（31)代入频率方程等号左边行列式各元素的表达式中，则各元素就转化 为x或Φx的函数。例如： a1=Jn(Φx) d,=Jn(x)-(1-v)[n(n-1)Jn(x)/x2Jm+1(x)/x] 其余各式从略。这样频率方程就转化为关于一个新的特征值x的方程。x只与夹径化Φ和泊 松比v有关，与锯片的其它具体参数无关。经量纲分析易知，x是一无量纲量。 由式(8)和式(30)得： o=x2/3(1-v2)·h√E1p/d 定义另一个无量纲量 1=x1√3(1-v2) (32) 称为无量纲频率。则周有圆频率和固有频率与无量纲频率的换算关系分别为： ω=i·h√Elp/c f=1·hNE/p/(2πa) (33) 2圆锯片的振型及其无量纲化 振型函数(9)的两个因子函数R()和⊙()分别决定了振型沿半径方向和圆周方向的 分布规律。 令 {C}=[CC2C3C4]-1 (34) 则式(10)可写成 R(r)=[J(Br)Y (Br)I(Br)K(Br)]C) (35) 将方程组(12)的第一个方程去掉，整理得： b C: -C b d, Cd e, e es 一

V b l . 15 N 6 . 6 郭 兴旺等 : 圆 锯片振动模 态的分析 这就是 决定 锯 片各阶固有 频 率的 频率方 程 ( 特征 方程 ) , 从中可解 出特征值 声 . 刀与锯 片 的具 体尺 寸 a 、 b 有 关 , 这是 由于频 率方 程 中含有 a 、 b 的缘故 。 为 了化简 或解除频率方程 与 a 、 b 的关系 , 下 面 对频 率方 程进行无量 纲 化 。 设锯 片夹径 比为 中 = b / 。 , 则 b 二 。 a , 令 刀 a = x ( 3 0 ) 则 芦b “ 中 义 ( 3 1 ) 将 式 ( 30 ) 和 式 ( 31 ) 代人频 率方 程等号左 边行列 式各 元 素的表 达式 中 , 则 各元 素 就转化 为 x 或 巾 x 的函 数 。 例如 : a l 二 大 ( 中 x ) d , = 去 ( x ) 一 ( l 一 v ) [ n ( n 一 l )大( x ) / x Z 人 + , ( x ) / x 〕 其余各式 从略 。 这样 频率 方程就转 化 为关于 一 个新的特 征值 x 的方 程 。 x 只与夹径 化 巾 和 泊 松 比 v 有 关 , 与锯 片的 其它 具体参数无关 。 经量纲分 析易知 , x 是 一无量纲 量 。 由式 ( 8 ) 和 式 ( 30 ) 得 : co 一 分 / 寸3 ( 1 一 价 ) · h了万石 / 矿 定 义另一 个 无量 纲量 兄 = 分 / 寸3 ( 卜 v)z 称为无量 纲 频率 。 则 固有 圆频 率和 固有 频率与无 量 纲频 率的换算关系 分别 为 : 。 一 补 h 夕厄石 厂矿 f 一 又 · 入、 厄万 / ( 2 二 矿 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 2 圆锯片的振型及 其无量纲化 r 的两 个 因子 函 数 R ( ; ) 和 O ( 0) 分 别决 定 了振型 沿半 径方 向和 圆周方 向 的 、尸. 了 、产. 4 ù 伟à气」、 àf J .、了r、 振 型 函 数 ( 9) 分 布规律 。 令 则式 ( 10 ) 可 写成 { e } = [ e , C q 4C ] 一 , R ( r ) = [去(口 r ) 玖 (刀 r ) 式(声 r ) 凡 (吞 r 川 C } 将 方程组 ( i2 ) 的第 一个方 程 去掉 , 整理 得 : ) { 二 { { 一 c 】 ”门 …{ 认 } 一 } 一 c l J l { 」 l q ) { 一 c l e l { 石4 ù况勺 , , 瓦 db 、 一 姚吼 厂| | . | | 匕|

.628. 北京科技大学学报 1993年No.6 解出： C b. b, b C, =一C d d. d、 C. e2 e e 代人式（34)得： C. 11 C2 {C}= C d, d, C. e C,是振型的一个公因子，因此可取C,=1,则 [b2 b3 1-1 b (b {C}= (36) d d e e. 下面对函数R(r)进行无量纲化。令 Φ，=rla (b≤r≤a) 称为无量纲半径。则 r=Φ，a(Φ≤，≤1) Br=Φ.·Ba=Φ，x 代人式(35)，并相应地把R(r)改写成R(Φ，)，得： R(Φ，)=[J(Φ，x)Y.(Dx)I.(Φ，x)K.(Φ，x)]{C} (37) 这是一个以无量纲半径为自变量的振型因子函数，称为无量纲振型因子函数。所以，无量纲 振型函数为： W=R(Φ，)⊙() (38) R(中，)还可按其最大绝对值进行归一化，即用 R(D,)=R(D,)/川R(D)川mx 代替R(Φ). 令 R(①)=0 (39) 则此方程在区间0<Φ，≤1上的根为相应振型节圆的无量纲半径位置. 令 ⊙(0)=0 即 c0sn(8-8)=0 则当n≠0时，其解为： 8m=(2m-1)π/(2n)+6。(n=1,2,3,…;m=1,2,…,2n）

6 2 8 北 京 科 技 大 学 学 报 l 卯3 年 N d . 6 解 出: 、 1 1 2 口L del 1 . 1 、 ! | | 、 b 3 b 4 d 3 ’ d . e3 e’ 瓦姚马 、 l 、尸 I J q J ! l `、 || | 、 代人式 ( 3 4 ) 得 : 、 ! . 夕L了lse c 、 ùq几 厂|卜| J 、 | | l C 一 C , 是 振 型的一个公 因子 , 因此可 取 C一 l , 则 ( 36 ) 下 面对函数 R ( r ) 进行 无量 纲化 。 令 叭 = r / a ( b ( r 簇 a ) 称 为 无量纲半 径 . 则 r = 。 , a ( 中 蕊 中 , ( l ) 口 r 二 。 。 · 刀 a = 。 r x 代人式 ( 3 5 ) , 并 相应地把 R ( r ) 改 写成 R ( 。 , ) , 得 : R ( 巾 r ) 二 [去( 。 r x ) 长( 。 : x ) r , ( 。 r x ) 天 。 (。 r x ) ] { C } ( 3 7 ) 这 是 一个 以 无 量纲半 径 为 自变量 的振 型 因子 函数 , 称 为无量 纲振 型 因子 函数 。 所以 , 无 量纲 振 型 函数为: W = R ( 巾 , ) 0 ( 口) ( 3 8 ) R (叭 ) 还 可按其最大 绝 对值进 行 归一 化 即用 R . ( 巾 。 ) = R ( 中 , ) /】R ( 中 ; ) ! m 。 、 代替 R ( 。 r ) 。 令 R (。 r ) = o ( 3 9 ) 则此方程 在 区 间 0 < 叭 蕊 l 上 的根 为相 应振 型 节 圆的无 量纲半 径 位置 。 令 0 ( 8 ) = 0 1 琅p 则 当 陀 笋 0 时 , co s n ( 0 一 0 ) 二 0 其解 为 : 8 。 = ( Zm 一 l ) 二 / ( Z n ) + 0 ( 。 = l , 2 , 3 , … : m = l , 2 , … , 2 。 )