生二、可微的条件 定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点 (x,y)可微分,则该函数在点(x,y)的偏导 必存在,且函数z=x在点x,y的全微分 工工工 为 dz=△x+≈△y dr 上页
二、可微的条件 定理 1（必要条件） 如果函数z = f ( x, y)在点 (x, y)可微分，则该函数在点(x, y) 的偏导数 x z 、 y z 必存在，且函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全微分 为 y y z x x z dz + = ．
上证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分, P(x+△x,y+△y)∈P的某个邻域 △=A△x+B△y+0(P)总成立, 当y=0时,上式仍成立,此时p=△x f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x), f(x+△x,y)-f(x,y Oz m =A △x→>0 △ ax 同理可得B ay 上页
证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P(x + x, y + y)P 的某个邻域 z = Ax + By + o() 总成立, 当y = 0时，上式仍成立，此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x = + − → ( , ) ( , ) lim 0 , x z = 同理可得 . y z B =
元函数在某点的导数存在微分存在 多元函数的各偏导数存在<→全微分存在 y2 ≠0 例如,f(x,y)=1、x2+p2 x2+y2=0 在点(0,0)处有 f2(0,0)=J,(0,0)=0 上页
一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 + = + = + x y x y x y xy f x y 在点(0,0)处有 (0,0) = (0,0) = 0 x y f f
△z-1.0.4+(0)412xy+(Ay2 △y·△ 如果考虑点P(△x,△y)沿着直线卩=x趋近于(0,0), △x·△y △x·△v 则 (△x)2+(4 (△y (△x)+(4y3 2 说明它不能随着P→>0而趋于0,当p→>0时 △x-00,△x+,(00.4y≠0(P) 函数在点(0,0)处不可微 上页
z [ f (0,0) x f (0,0) y] − x + y , ( ) ( ) 2 2 x y x y + = 如果考虑点P(x,y)沿着直线y = x趋近于(0,0)， 则 2 2 ( x) ( y) x y + 2 2 ( x) ( x) x x + = , 21 = 说明它不能随着 → 0而趋于 0, 当 → 0 时， z [ f (0,0) x f (0,0) y] o( ), − x + y 函数在点(0,0)处不可微
说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在, 定理2(充分条件)如果函数z=∫(x,y)的偏 0.0在点(x,y)连续,则该函数在点x,y) A导数、 ax ay 可微分 工工工 证Δz=f(x+△x,y+△y)-∫(x,y) =[f(x+Ax,y+△y)-f(x,y+△y) +[f(x,y+△y)-f(x,y)
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数z = f ( x, y)的偏 导数 x z 、 y z 在点(x, y)连续，则该函数在点(x, y) 可微分． 证 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = [ f (x + x, y + y) − f (x, y + y)] + [ f (x, y + y) − f (x, y)]