D0I:10.13374/i.issnl00It03.2007.12.045 第29卷第12期 北京科技大学学报 Vol.29 No.12 2007年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dee.2007 一类线性不确定切换系统的鲁棒镇定 顾则全)刘贺平)李晓理)廖福成) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要考虑一类标称系统存在统一Lyapunov函数的线性不确定切换系统的鲁棒镇定问题，在不确定项满足一定限定条件 下，利用完备性条件和统一Lyapunov函数方法，设计出鲁棒状态反馈控制器，使闭环系统仍然具有统一Lyapunov函数，从而 在任意的切换策略下，确保闭环系统在其平衡点处是渐近稳定的·仿真结果表明所设计的控制器是有效的· 关键词切换系统；完备性：Lyapunov函数：状态反馈：鲁棒镇定 分类号TP273+.3 线性切换系统是一类重要的混杂系统，一般包 x=[A:十△A:]x+B:u (1) 括一族线性定常系统和一个描述在它们之间如何切 其中i∈M={1,2,,m表示系统(1)的m个切 换的切换规则，它也可看作是由几个微分方程及作 换子系统，x∈R和u∈R'分别为系统的状态和控 用在其中的切换规则构成，目前切换系统的设计分 制输入，A:和B:分别是第i个子系统的状态矩阵和 析主要集中在系统的稳定性、优化设计、鲁棒性三类 输入增益矩阵，△A:为系统矩阵A:的摄动.系统 问题的单独研究和综合研究上]， (1)的标称系统为： 切换系统不同于以往的连续时间系统或离散时 x=Ax十B:u,=1,2,…,m (2) 间系统，它具有一些特殊的性质，所以切换策略的选 假设1对于系统(2)的每个子系统存在统一 取非常重要，文献[4]给出了统一Lyapunov函数的 Lyapunov函数，即下列Ricatti不等式 存在条件和切换策略的选取方式，对于线性切换系 (A:+aI)P+P(A:+a)PB:BIP<0, 统，统一Lyapunov函数的存在性与任意切换策略下 =1,2,…,m (3) 系统的稳定性几乎是等价的，文献[58]利用LMI 有正定对称解矩阵P.其中，：和B是大于0的任 方法给出了一类离散切换系统的鲁棒稳定性的判定 意常数，1为单位矩阵 条件，文献[9]通过控制器切换提出了鲁棒输出反馈 稳定性的判定条件，文献[10一11]对线性切换系统 假设2同对于切换系统(1)中的不确定项 △A:可分解如下形式： 的二次稳定性进行了分析， 与以往的结果相比，本文从完备性概念出发，考 △A:=DF(t)E (4) 虑了不确定性满足可加性的一类线性切换系统的鲁 其中，D:和E:分别是具有适当维数的常值矩阵，且 棒状态反馈镇定问题，其标称系统存在统一 F:(t)满足条件： Lyapunov函数，在不确定项满足一定假设条件下， F(t)F:(t)≤I (5) 设计出鲁棒状态反馈控制器，使闭环系统在任意切 2 换策略下，确保是渐近稳定的，最后通过仿真验证 主要结果 了本文结果的正确及有效性· 为给出主要结果，需要完备性概念 1 问题的描述 定义12]如果对任意x0∈R”,都存在i∈ 11,2,,m},使得x0Zxo≤0，则称对称矩阵集合 考虑如下线性不确定切换系统 Z1,Z2,,Zm是完备的，如果对任意xo∈R/ 收稿日期：2006-09-04修回日期：2007-03-15 0},都存在i∈{1,2，…，m,使得x0Zxo<0,则对 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。,60374032):北京市教 称矩阵集合Z1,Z2,…,Zm}称为严格完备的 委重点学科共建项目：北京科技大学22高层次引进人才基金资助 项目 引理1】对任意适当维数矩阵X、Y和常数 作者简介：顾则全(1981一)男博士研究生：刘贺平(1951一)，男， e>0,有下式成立： 教授，博士生导师 xTy+yTX≤εxX+81yrY. (6)
一类线性不确定切换系统的鲁棒镇定 顾则全1） 刘贺平1） 李晓理1） 廖福成2） 1） 北京科技大学信息工程学院北京100083 2） 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 考虑一类标称系统存在统一 Lyapunov 函数的线性不确定切换系统的鲁棒镇定问题在不确定项满足一定限定条件 下利用完备性条件和统一 Lyapunov 函数方法设计出鲁棒状态反馈控制器使闭环系统仍然具有统一 Lyapunov 函数从而 在任意的切换策略下确保闭环系统在其平衡点处是渐近稳定的．仿真结果表明所设计的控制器是有效的． 关键词 切换系统；完备性；Lyapunov 函数；状态反馈；鲁棒镇定 分类号 TP273＋∙3 收稿日期：2006-09-04 修回日期：2007-03-15 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．60374032）；北京市教 委重点学科共建项目；北京科技大学422高层次引进人才基金资助 项目 作者简介：顾则全（1981—）男博士研究生；刘贺平（1951—）男 教授博士生导师 线性切换系统是一类重要的混杂系统一般包 括一族线性定常系统和一个描述在它们之间如何切 换的切换规则它也可看作是由几个微分方程及作 用在其中的切换规则构成．目前切换系统的设计分 析主要集中在系统的稳定性、优化设计、鲁棒性三类 问题的单独研究和综合研究上［1—3］． 切换系统不同于以往的连续时间系统或离散时 间系统它具有一些特殊的性质所以切换策略的选 取非常重要．文献［4］给出了统一 Lyapunov 函数的 存在条件和切换策略的选取方式．对于线性切换系 统统一 Lyapunov 函数的存在性与任意切换策略下 系统的稳定性几乎是等价的．文献［5—8］利用 LMI 方法给出了一类离散切换系统的鲁棒稳定性的判定 条件文献［9］通过控制器切换提出了鲁棒输出反馈 稳定性的判定条件文献［10—11］对线性切换系统 的二次稳定性进行了分析． 与以往的结果相比本文从完备性概念出发考 虑了不确定性满足可加性的一类线性切换系统的鲁 棒状 态 反 馈 镇 定 问 题其 标 称 系 统 存 在 统 一 Lyapunov函数．在不确定项满足一定假设条件下 设计出鲁棒状态反馈控制器使闭环系统在任意切 换策略下确保是渐近稳定的．最后通过仿真验证 了本文结果的正确及有效性． 1 问题的描述 考虑如下线性不确定切换系统 x ·＝［ Ai＋ΔAi］ x＋Biu （1） 其中 i∈ M＝｛12…m｝表示系统（1）的 m 个切 换子系统x∈R n 和 u∈R r 分别为系统的状态和控 制输入Ai 和 Bi 分别是第 i 个子系统的状态矩阵和 输入增益矩阵ΔAi 为系统矩阵 Ai 的摄动．系统 （1）的标称系统为： x ·＝ Aix＋Biui＝12…m （2） 假设1 对于系统（2）的每个子系统存在统一 Lyapunov 函数即下列 Ricatti 不等式 （ Ai＋αiI） T P＋P（ Ai＋αiI）＋βiPBiB T i P＜0 i＝12…m （3） 有正定对称解矩阵 P．其中αi 和βi 是大于0的任 意常数I 为单位矩阵． 假设2［5］ 对于切换系统（1）中的不确定项 ΔAi 可分解如下形式： ΔAi＝ DiFi（ t） Ei （4） 其中Di 和 Ei 分别是具有适当维数的常值矩阵且 Fi（ t）满足条件： F T i （ t）Fi（ t）≤ I （5） 2 主要结果 为给出主要结果需要完备性概念． 定义1［12］ 如果对任意 x0∈R n都存在 i∈ ｛12…m｝使得 x T 0 Zix0≤0则称对称矩阵集合 ｛Z1Z2…Zm｝是完备的．如果对任意 x0∈R n／ ｛0｝都存在 i∈｛12…m｝使得 x T 0 Zix0＜0则对 称矩阵集合｛Z1Z2…Zm｝称为严格完备的． 引理1［13］ 对任意适当维数矩阵 X、Y 和常数 ε＞0有下式成立： X T Y＋Y T X≤εX T X＋ε—1Y T Y． （6） 第29卷 第12期 2007年 12月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．12 Dec．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．12．045
.1274 北京科技大学学报 第29卷 定理1在假设1和假设2下，如果矩阵集合 则 Z:△-2aP+eEE:十e-1PDDP(7) △A1=D1F1(t)E,△A2=D2F2(t)E2, 是严格完备的，则任意切换策略下系统(1)可经状态 反馈镇定.这里的：、P由式(3)给出 DI=D2=0 F(t)=sint. 证明：对系统(1)构造如下的状态反馈控制器 F2(t)=cost,E=E2=[0.10.1](12) u-号r,=1.2,m (8) 取e=1,a=a=1,月=8=1，基于线性矩阵 不等式(LMI)方法由不等式(3)求解正定对称矩 其中B由式(3)给出，由式(1)和(7)组成的闭环系 阵P: 统为： [0.63080.106g (A+aA)x+B是B:= P= L0.10690.3150 V(x)=x'Px则为统一Lyapunov函数，且 (9) u1=2BPrx=0.0535x1十0.1575x2(13) 取Lyapunov函数为V(x)=xPx,其中P由式(3) 确定， a-号Bm-0.3541+0.0535（4） 下面计算V(x)沿系统(9)轨迹的导数 取x0=[2-2],由式(10)、(13)~(14)组成的闭 (x)=Px十xTp= 环系统是渐近稳定的，图1表示切换系统状态随时 AcBBPAn+ T 间变化曲线图. 2.5 HA+号aBiP+adx= x(ATP+PA:+BPB:BiP)x+ x(△ATP+P△A:)x. 由式(3)知： AP+PA:+BPB BiP<-2aP. 0 1.5 2.0 25 由假设2和引理1有： △AFP+PAA:=EF(t)DP+PD,F(t)E≤ EF (F()E+e PD:DIPS 图1切换系统的状态响应曲线 Fig.I State response curves of the switched system eEE:十PD:DIP. 于是 4 结论 V(x)<x(-2aP+EEE+PD DP)x. 考虑一类标称系统存在统一Lyapunov函数的 当切换系统切换到第i个子系统时，由矩阵集 不确定切换系统的鲁棒镇定问题，基于统一Lya 合的完备性，有V(x)<0,从而系统(1)在任意的切 punov函数法给出了其鲁棒状态反馈控制器的设 换策略下，可经状态反馈镇定，证毕， 计，在不确定项满足一定的限定条件下，使闭环系统 3仿真算例 在任意的切换策略下，始终是渐近稳定的，仿真结 果表明所设计的控制器是有效的，在有限的时间内 考虑不确定线性切换系统 对所研究的对象实现了镇定，与已有的结果相比， x=[A:+△A:]x+Bu,i=1,2 (10) 设计更为简便，从而为不确定切换系统鲁棒镇定提 4-a=[日A日-月 供了一种有效的设计方法， 参考文献 [1]Branicky M S.Stability of switched and hybrid systems//Pro- _0.1cost 0.1cost ceedings of the 33rd CDC.Vista:IEEE Press.1994:3498 △A2-0 [2]Liberzon D.Morse A S.Basic problems in stability and design of 0 (11) switched systems.IEEE Control Syst Mag.1999.19(1):59
定理1 在假设1和假设2下如果矩阵集合 Zi≜—2αiP＋εE T i Ei＋ε—1PDiD T i P （7） 是严格完备的则任意切换策略下系统（1）可经状态 反馈镇定．这里的 αi、P 由式（3）给出． 证明：对系统（1）构造如下的状态反馈控制器 ui＝ βi 2 B T i Pxi＝12…m （8） 其中 βi 由式（3）给出．由式（1）和（7）组成的闭环系 统为： x ·＝（ Ai＋ΔAi） x＋Bi βi 2 B T i P x＝ Ai＋ βi 2 BiB T i P＋ΔAi x （9） 取 Lyapunov 函数为 V （ x）＝x T Px其中 P 由式（3） 确定． 下面计算 V （ x）沿系统（9）轨迹的导数． V · （ x）＝x ·T Px＋x T Px ·＝ x T Ai＋ βi 2 BiB T i P＋ΔAi T Px＋ x T P Ai＋ βi 2 BiB T i P＋ΔAi x＝ x T （ A T i P＋PAi＋βiPBiB T i P） x＋ x T （ΔA T i P＋PΔAi） x． 由式（3）知： A T i P＋PAi＋βiPBiB T i P＜—2αiP． 由假设2和引理1有： ΔA T i P＋PΔAi＝ E T iF T （ t） D T i P＋PDiF（ t） Ei≤ εE T iF T （ t）F（ t） Ei＋ε—1PDiD T i P≤ εE T i Ei＋ε—1PDiD T i P． 于是 V · （ x）＜x T （—2αiP＋εE T i Ei＋ε—1PDiD T i P） x． 当切换系统切换到第 i 个子系统时由矩阵集 合的完备性有 V · （ x）＜0从而系统（1）在任意的切 换策略下可经状态反馈 u 镇定证毕． 3 仿真算例 考虑不确定线性切换系统 x ·＝［ Ai＋ΔAi］ x＋Biui＝12 （10） A1＝ —3 1 2 —4 B1＝ 0 1 A2＝ —2 0 2 —4 B2＝ 1 0 ΔA1＝ 0∙1sin t 0∙1sin t 0 0 ΔA2＝ 0∙1cost 0∙1cost 0 0 （11） 则 ΔA1＝ D1F1（ t） E1ΔA2＝ D2F2（ t） E2 D1＝ D2＝ 1 0 F1（ t）＝sin t F2（ t）＝costE1＝ E2＝［0∙1 0∙1］ （12） 取ε＝1α1＝α2＝1β1＝β2＝1基于线性矩阵 不等式（LMI）方法由不等式（3）求解正定对称矩 阵 P： P＝ 0∙6308 0∙1069 0∙1069 0∙3150 ． V （ x）＝x T Px 则为统一 Lyapunov 函数．且 u1＝ β1 2 B T 1 Px＝0∙0535x1＋0∙1575x2 （13） u2＝ β2 2 B T 2 Px＝0∙3154x1＋0∙0535x2 （14） 取 x T 0＝［2 —2］由式（10）、（13）～（14）组成的闭 环系统是渐近稳定的．图1表示切换系统状态随时 间变化曲线图． 图1 切换系统的状态响应曲线 Fig．1 State response curves of the switched system 4 结论 考虑一类标称系统存在统一 Lyapunov 函数的 不确定切换系统的鲁棒镇定问题基于统一 Lyapunov 函数法给出了其鲁棒状态反馈控制器的设 计在不确定项满足一定的限定条件下使闭环系统 在任意的切换策略下始终是渐近稳定的．仿真结 果表明所设计的控制器是有效的在有限的时间内 对所研究的对象实现了镇定．与已有的结果相比 设计更为简便从而为不确定切换系统鲁棒镇定提 供了一种有效的设计方法． 参 考 文 献 ［1］ Branicky M S．Stability of switched and hybrid systems∥Proceedings of the33rd CDC．Vista：IEEE Press1994：3498 ［2］ Liberzon DMorse A S．Basic problems in stability and design of switched systems．IEEE Control Syst Mag199919（1）：59 ·1274· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第12期 顾则全等：一类线性不确定切换系统的鲁棒镇定 .1275. [3]张霄力，刘玉忠，赵军.一类离散系统的渐近稳定性，控制理 [8]顾则全，廖福成，刘贺平，不确定广义系统的保性能控制： 论与应用，2002,19(5)：774 LM1方法.北京科技大学学报，2006,28(1)：93 [4]Narendra K S,Balakrishnan J.A common Lyapunov function for [9]Savkin A V,Skafidas E,Evans R J.Robust output feedback sta- stable LTI systems with commuting A matrices.IEEE Trans Au- bilizability via controller switching Automatica.1999.35:69 tom Control,1994,39(12):2469 [10]JiZ.Wang L.Xie G.New results on the quadratic stabilization [5]Xie D.Wang L.Hao F,et al.Robust stability analysis and con- of switehed linear systems//Proceedings of the 42nd IEEE Con- trol synthesis for discrete time uncertain switched systemsPro ference on Decision and Control.Maui:IEEE Press,2003; ceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 1657 Maui:IEEE Press,2003:4812 [11]Xie G.Wang L.New results on stabilizability of switched linear [6]Xie D.Wang L.Hao F,et al.An LMI approach to Lagain anal- systems//Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision ysis and control synthesis of switched systems//IEEE Internation- and Control.Maui:IEEE Press,2003:6265 al Symposium on Computer Aided Control Systems Design. [12]Skafidas E.Evans R J,Savkin A V.et al.Stability results for Taibei:Taiwan Press.2004:350 switched controller systems.Automatica.1999,35(4):553 [7]Daafow J.Riedinger P.lung C.Stability analysis and control [13】张霄力，刘玉忠，赵军.一类切换系统的鲁棒控制·东北大 synthesis for switched systems:A sw itched Lyapunov function 学学报：自然科学版，2000,21(5)：498 approach.IEEE Trans Autom Control,2002.47(11):1883 Robust stabilization for a class of uncertain switched linear systems GU Zequan,LIU Heping,LI Xiaoli),LIAO Fucheng2) 1)Information Engineering School.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China 2)Applied Science School.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI Robust stabilization for a class of uncertain switched linear systems whose nominal systems have a common Lyapunov function was considered.With the certain restriction of uncertainty,a kind of robust con- troller of state feedback was constructed by using the completeness condition and common Lyapunov function technique.The closed-loop system still has a common Lyapunov function.The designed controller can guarantee the states of the closed-loop system asymptotically stable at the equilibrium point under an arbitrary switching strategy.Simulation result shows the validity of the designed controller. KEY WORDS switched linear systems;completeness:Lyapunov function:state feedback;robust stabilization
［3］ 张霄力刘玉忠赵军．一类离散系统的渐近稳定性．控制理 论与应用200219（5）：774 ［4］ Narendra K SBalakrishnan J．A common Lyapunov function for stable LTI systems with commuting A-matrices．IEEE Trans Autom Control199439（12）：2469 ［5］ Xie DWang LHao Fet al．Robust stability analysis and control synthesis for discrete-time uncertain switched systems∥Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control． Maui：IEEE Press2003：4812 ［6］ Xie DWang LHao Fet al．An LMI approach to L2gain analysis and control synthesis of switched systems∥IEEE International Symposium on Computer Aided Control Systems Design． Taibei：Taiwan Press2004：350 ［7］ Daafouz JRiedinger PIung C．Stability analysis and control synthesis for switched systems：A switched Lyapunov function approach．IEEE Trans Autom Control200247（11）：1883 ［8］ 顾则全廖福成刘贺平．不确定广义系统的保性能控制： LMI 方法．北京科技大学学报200628（1）：93 ［9］ Savkin A VSkafidas EEvans R J．Robust output feedback stabilizability via controller switching．Automatica199935：69 ［10］ Ji ZWang LXie G．New results on the quadratic stabilization of switched linear systems∥Proceedings of the42nd IEEE Conference on Decision and Control．Maui：IEEE Press2003： 1657 ［11］ Xie GWang L．New results on stabilizability of switched linear systems∥Proceedings of the42nd IEEE Conference on Decision and Control．Maui：IEEE Press2003：6265 ［12］ Skafidas EEvans R JSavkin A Vet al．Stability results for switched controller systems．Automatica199935（4）：553 ［13］ 张霄力刘玉忠赵军．一类切换系统的鲁棒控制．东北大 学学报：自然科学版200021（5）：498 Robust stabilization for a class of uncertain switched linear systems GU Zequan 1）LIU Heping 1）LI Xiaoli 1）LIAO Fucheng 2） 1） Information Engineering SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） Applied Science SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT Robust stabilization for a class of uncertain switched linear systems whose nominal systems have a common Lyapunov function was considered．With the certain restriction of uncertaintya kind of robust controller of state feedback was constructed by using the completeness condition and common Lyapunov function technique．The closed-loop system still has a common Lyapunov function．The designed controller can guarantee the states of the closed-loop system asymptotically stable at the equilibrium point under an arbitrary switching strategy．Simulation result shows the validity of the designed controller． KEY WORDS switched linear systems；completeness；Lyapunov function；state feedback；robust stabilization 第12期 顾则全等： 一类线性不确定切换系统的鲁棒镇定 ·1275·