《通信原理》第四十一讲 进制移频键控(2FSK)系统的抗噪声性能 a)同步检测法的系统性能 带通 滤波器 相乘器 低通 滤波器 x1( 1) y,(0) 抽样 输出 发送端 信道y(1) 2 cos o,定时 脉冲 判决器 P 带通 滤波器 相乘器 低通 n.(I) 滤波器 y 2cos@,t 图7-272FSK信号采用同步检测法性能分析模型 在码元时间宽度T区间,发送端产生的2FSK信号可表示为 s(0)≈u47()发送“1”符号 (7.2-42) 4r(,发送“0”符号 其中 l17(1)= ∫ A cOS@,L,,0<t< 7.2-43) 0,其它t AcOSO,1, 0<I<TS Mor(1) (7.2-44) 0, 其它t 式中ω1和ω2分别为发送“1”符号和“0”符号的载波角频率。信道输出合成波 形y,(1)为 y,(o) Kl47(t)+n2(t),发送“1”符号 k4n(0)+n(),发送“0”符号 a cos@, t+n,(t),发送“1”符号 (7.2-45) a coso2+n1(1),发送“0”符号 式中,n()为加性高斯白噪声,其均值为零,方差为σ2 7-1
7-1 《通信原理》 第四十一讲 一、 二进制移频键控(2FSK)系统的抗噪声性能 a) 同步检测法的系统性能 带通 滤波器 相乘器 低通 滤波器 抽样 判决器 定时 脉冲 输出 t1 发送端 信道 2cosω s (t) T n (t) i y (t) i ( ) 1 y t ( ) 1 x t Pe 带通 滤波器 相乘器 低通 滤波器 t2 2cosω ( ) 2 y t ( ) 2 x t ω1 ω2 图 7-27 2FSK 信号采用同步检测法性能分析模型 在码元时间宽度Ts 区间，发送端产生的 2FSK 信号可表示为 ⎩ ⎨ ⎧ = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ) 0 ( ), 1 ( ) 0 1 u t u t s t T T T (7.2-42) 其中 ⎩ ⎨ ⎧ < < = t A t t T u t S T 0， 其它 cos , 0 ( ) 1 1 ω (7.2-43) ⎩ ⎨ ⎧ < < = t A t t T u t S T 0， 其它 cos , 0 ( ) 2 0 ω (7.2-44) 式中ω1 和ω2 分别为发送“1”符号和“0”符号的载波角频率。信道输出合成波 形 y (t) i 为 ⎩ ⎨ ⎧ + + = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ) ( ) 0 ( ) ( ), 1 ( ) 0 1 Ku t n t Ku t n t y t T i T i i ⎩ ⎨ ⎧ + + = 发送“ ”符号 发送“”符号 cos ( ), 0 cos ( ), 1 2 1 a t n t a t n t i i ω ω (7.2-45) 式中，n (t) i 为加性高斯白噪声，其均值为零，方差为 2 σ
y()={+()发送"”符号 n1(1), 发送“0”符号 ∫a+n(l)oso-n1()imo1,发送“1”符号 n2(0 Cos@,t-n1(sina,发送“0”符号 (72-46) 同理 发送“1”符号 y2() a cos a2t+n2(),发送“0”符号 ∫n2()osa21-n2()int,发送“"”符号 [a+n2()]cosa2t-n2()sino21,发送“0”符号 (72-47) 假设在(0,7,)发送“1”信号, y,(t=[a+n,()] coso, t-n,(O)sin@, y2(0=n2(ocosO2t-n2,(Osin@,t 上下两个支路低通滤波器的输出x1(1)和x2(1)为 x1(D)=a+n12(1) (72-50) x2(1)=n2(1) 式中,a为信号成分,n(1)和n2()均为低通型高斯噪声,其均值为零,方差为 σ2。因此,x1(1)和x2(1)在kT时刻抽样值的一维概率密度函数分别为 f(x)=~1 exp (7.2-52) 2TO f(x2)= (72-53) 错误概率P(0/1)为 P(0/1)=P(x1<x2)=P(x1-x2<0)=P(=<0) 式中,〓=x-x2。z是高斯型随机变量,其均值为a,方差为σ2=2a2, f(=) (二-a)2 exp (72-54) 2√zσn 7-2
7-2 ⎩ ⎨ ⎧ + = 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ), 0 cos ( ), 1 ( ) 1 1 1 1 n t a t n t y t ω ⎩ ⎨ ⎧ − + − = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ) cos ( )sin 0 [ ( )]cos ( )sin , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n t t n t t a n t t n t t c s c s ω ω ω ω (7.2-46) 同理 ⎩ ⎨ ⎧ + = 发送“ ”符号 发送“”符号 cos ( ), 0 ( ), 1 ( ) 2 2 2 2 a t n t n t y t ω ⎩ ⎨ ⎧ + − − = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 [ ( )]cos ( )sin 0 ( ) cos ( )sin , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 a n t t n t t n t t n t t c s c s ω ω ω ω (7.2-47) 假设在(0, ) Ts 发送“1”信号， y t a n t t n t t 1 1c 1 1s 1 ( ) = [ + ( )]cosω − ( )sinω y t n t t n t t 2 2c 2 2s 2 ( ) = ( ) cosω − ( )sinω 上下两个支路低通滤波器的输出 ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t 为 ( ) ( ) 1 1 x t a n t = + c (7.2-50) ( ) ( ) 2 2 x t n t = c (7.2-51) 式中，a 为信号成分， ( ) 1 n t c 和 ( ) 2 n t c 均为低通型高斯噪声，其均值为零，方差为 2 σ n 。因此， ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t 在 s kT 时刻抽样值的一维概率密度函数分别为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − 2 2 1 1 2 ( ) exp 2 1 ( ) n n x a f x πσ σ (7.2-52) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − 2 2 2 2 2 exp 2 1 ( ) n n x f x πσ σ (7.2-53) 错误概率 P(0 /1) 为 (0 /1) ( ) ( 0) ( 0) P = P x1 < x2 = P x1 − x2 < = P z < 式中， 1 2 z = x − x 。 z 是高斯型随机变量，其均值为a ，方差为 2 2 σ z = 2σ n ， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − 2 2 2 2 4 ( ) exp 2 1 2 ( ) exp 2 1 ( ) z z n n z a z a f z πσ σ πσ σ (7.2-54)
P(0/1)=P(x1<x2)=P(x<0) ∫(=)dz P1/0)=P(x1>x2)=er/ P=P()P(0/1)+P(0)P(1/0) (7.2-56) 式中 为信噪比。r>>1时, P=√2m (7.2-57) b)包络检波法的系统性能 包络检波器 v1( y,(t 发送端 信道 y() 定时 判决器 S(t 滤波器 包络检波器 V2(1) y2(D) 图7-282FSK信号采用包络检波法解调性能分析模型 y()={00+H1(发送“"”符号 n1(D) 发送“0”符号 [a+n1(t)] coS O,t-n,(t) sin @,t,发送“1”符号 n12(1) cos o,t-n1()sina1,发送“0”符号 (72-58) 7-3
7-3 (0 /1) ( ) ( 0) P = P x1 < x2 = P z < dz x a f z dz z z ∫−∞ ∫−∞ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = = − 0 2 2 0 2 ( ) exp 2 1 ( ) πσ σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 1 r erfc (7.2-55) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = > = 2 2 1 (1/ 0) ( ) 1 2 r P P x x erfc P P(1)P(0 /1) P(0)P(1/ 0) e = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 1 r erfc (7.2-56) 式中 2 2 2 n a r σ = 为信噪比。r >> 1时， 2 2 1 r e e r P − ≈ π (7.2-57) b) 包络检波法的系统性能 带通 滤波器 包络检波器 抽样 判决器 定时 脉冲 输出 发送端 信道 s (t) T n (t) i y (t) i ( ) 1 y t ( ) 1 V t Pe 带通 滤波器 包络检波器 ( ) 2 y t ( ) 2 V t ω1 ω2 图 7-28 2FSK 信号采用包络检波法解调性能分析模型 ⎩ ⎨ ⎧ + = 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ), 0 cos ( ), 1 ( ) 1 1 1 1 n t a t n t y t ω ⎩ ⎨ ⎧ − + − = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ) cos ( )sin 0 [ ( )]cos ( )sin , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n t t n t t a n t t n t t c s c s ω ω ω ω (7.2-58)
()=n2( 发送“1”符号 a cos o2t+n2(1),发送“0”符号 n2(t)cosa2t-n2,(t)sino2t,发送“1”符号 a+n2()eosO2-n2、()ino2,发送“0”符号 (7.2-59) 若在(O,7,)发送“1”信号, y,(o=la+n(n]cos@, t-n,(O)@,t =ya+n1()2+n2、()coso1+g1(l (7.2-60) y2(0=n2(()cos@,t-n2(O)sin,t =√n2()+n2,(1)coso2t+q2() (72-61) F()=√la+n1()2+mn() 2()=Vm2(0)+mn(0) 在kT时刻,抽样判决器的抽样值分别为 V,=VIa+n, (7.2-62) (72-63) V服从广义瑞利分布,V2服从瑞利分布 (72-64) 12-n2m2 f(V2)==e (72-65) P(0/1)=PVs2)=』(2rd T/oDD -(22+a2)
7-4 ⎩ ⎨ ⎧ + = 发送“ ”符号 发送“”符号 cos ( ), 0 ( ), 1 ( ) 2 2 2 2 a t n t n t y t ω ⎩ ⎨ ⎧ + − − = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 [ ( )]cos ( )sin 0 ( ) cos ( )sin , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 a n t t n t t n t t n t t c s c s ω ω ω ω (7.2-59) 若在(0, ) Ts 发送“1”信号， y t a n t t n t t 1 1c 1 1s 1 ( ) = [ + ( )]cosω − ( )sinω [ ( )] ( ) cos[ ( )] 1 1 2 1 2 1 a n t n t t t = + c + s ω +ϕ (7.2-60) y t n t t n t t 2 2c 2 2s 2 ( ) = ( ) cosω − ( )sinω ( ) ( ) cos[ ( )] 2 2 2 2 2 2 n t n t t t = c + s ω +ϕ (7.2-61) ( ) [ ( )] ( ) 2 1 2 1 1 V t a n t n t = + c + s ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 V t n t n t = c + s 在 s kT 时刻，抽样判决器的抽样值分别为 2 1 2 1 1 [ ] c s V = a + n + n (7.2-62) 2 2 2 2 2c s V = n + n (7.2-63) V1服从广义瑞利分布，V2服从瑞利分布。 2 2 2 1 ( )/ 2 2 1 2 0 1 1 ( ) n V a n n e aV I V f V σ σ σ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = (7.2-64) 2 2 2 / 2 2 2 2 ( ) V n n e V f V σ σ − = (7.2-65) 1 2 1 2 1 2 P(0 /1) P(V V ) f (V )f (V )dV dV c ∫∫ = ≤ = 1 0 1 2 2 2 1 f (V ) f (V )dV dV ∫ ∫V V ∞ ∞ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = 1 0 2 / 2 2 ( )/ 2 2 2 1 2 0 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 e dV dV V e aV I V V V V n V a n n n n ∫ ∫ ∞ ∞ = − + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = σ σ σ σ σ 1 0 (2 )/ 2 2 1 2 0 1 2 2 2 1 e dV aV I V V a n n n ∫ ∞ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = σ σ σ
V,=小20n 可得 √2 P(0/1)= √2I 20.O tlo(et ) e 1n(0e+)t=1- (7.2-66) 式中 P(1/0)=P(V1>H2) 从。c P=P(1)P(0/1)+P(0P(1/0) (72-67) 在大信噪比条件下,2FSK信号采用包络检波法解调性能与同步检测法解调 性能接近,同步检测法性能较好。 7-5
7-5 令 n V t σ 2 1 = ， n a z 2σ = 可得 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ • ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ∞ − − n V a n n n n n V e e d a V I V P n n σ σ σ σ σ σ σ σ 1 0 1 / / 2 0 1 2 2 2 2 2 2 1 (0 /1) 2 2 2 2 1 ∫ ∞ − − = 0 2 0 2 2 ( ) 2 1 tI zt e e dt t z 2 0 ( )/ 2 0 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 z t z z e tI zt e dt e− ∞ − − + ∫ = = 2 2 1 r e− = (7.2-66) 式中， 2 2 2 n a r σ = 。 2 1 2 2 1 (1/ 0) ( ) r P P V V e− = > = P P(1)P(0 /1) P(0)P(1/ 0) e = + 2 2 1 r e− = (7.2-67) 在大信噪比条件下，2FSK 信号采用包络检波法解调性能与同步检测法解调 性能接近，同步检测法性能较好