四。z变换与DFT的关系: 如果x(m)是有限长序列,长度为N,则其Z变换为: X(二) X()m=2x(m)W=∑x(me 对xXm)作N点DF有X(k)=2xm)W X(k)=X(=) w 这表明有限长序列的DFT就是该序列的z变换在单位圆 上以x等间隔抽样所得的样本。这是必然的。因为在单位圆 上的z变换就是DTFT也即是ⅹ(n)的频谱。对z变换在单 位圆上均匀抽样,就是对DTFT即信号频谱抽样,这本自就 是DFT与频域抽样的关系
6 四。z 变换与 DFT 的关系： 如果 x(n) 是有限长序列，长度为 N，则其 Z 变换为： 1 0 ( ) ( ) N n n X z x n z 1 0 1 2 0 ( ) ( ) ( ) N n kn N j N n kn z W N X z k x n W x n e N 对 x(n) 作 N 点 DFT 有 1 0 ( ) ( ) N n kn n WN X k x k N j k N z W e X k X z 2 ( ) ( ) 这表明有限长序列的DFT就是该序列的z变换在单位圆 上以 N 2 等间隔抽样所得的样本。这是必然的。因为在单位圆 上的 z 变换就是 DTFT 也即是 x（n）的频谱。对 z 变换在单 位圆上均匀抽样，就是对 DTFT 即信号频谱抽样，这本自就 是 DFT 与频域抽样的关系
4.2Z变换的收敛域 (1),x(2) X()=∑x(n)="=…x(2)2+x-)+x(0)+0+ 由于z变换是一个无穷级数,必然存在收敛问题。即: 并不是任何信号的z变换都存在,也不是任何复数z都 能使一个信号的z变换存在。 收敛域:能够使一个信号的z变换存在的那些复数z的 集合,称为该z变换的ROC
7 4.2 Z变换的收敛域 2 2 (1) (2) ( ) ( ) ( 2) ( 1) (0) z x z x X z x n z x z x z x n n 由于z变换是一个无穷级数，必然存在收敛问题。即： 并不是任何信号的z变换都存在，也不是任何复数z都 能使一个信号的z变换存在。 收敛域：能够使一个信号的z变换存在的那些复数z的 集合，称为该z变换的ROC
由于Z[x(m)=F[x(m)]因此当: x(n)r“<∞ 时 x(m)的z变换存在。可见z变换的ROC与 x()及=有关 先看几个例子
8 由于 [ ( )] [ ( ) ] n Z x n F x n r 因此当： n n [x(n)r ] 时 x(n) 的 z 变换存在。可见 z 变换的 ROC 与 x(n)及 z r 有关。 先看几个例子：
例1: (1)x(m)= (n) 右边序列 X()=∑ n=0 2 R R Rell > 2
9 例1： ( ) 2 1 (1) x(n) u n n 右边序列 2 1 2 1 1 1 2 1 ( ) 1 0 1 z z z X z z n n 2 1 1 Rx 2 1 z 2 1 1 Rx 2 1 j Im[z] Re[z] 2 1 z
例2: (2)x(n)= (-n-1) 左边序列 1=-n X()=-∑ ∑ 2 ∑(2=) 2 2 2 Im[-] R Rell <一=R 收敛半径 圆内为收敛域, n2=-1<0包括Z=0 若 0 则不包括z=0点 10
10 例2： ( 1) 2 1 (2) ( ) x n u n n 左边序列 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 (2 ) 1 2 1 2 1 ( ) z z z z z X z z z m m m m n n m n 1 0 0 2 1 2 2 n Z z Rx 包括 0 收敛半径 圆内为收敛域， 若 则不包括z=0点 0 n2 2 Rx 2 1 j Im[z] Re[z] 2 1 Z