信号与系统电容 41拉普拉斯变换 e.t>O f(0)=(em-e")e()f2() f(0)=(e+e")k(1 eat<0 注意:以上3个信号,具有相同的F(S),但收敛域不同: F(S) a>0 s Joy ▲Jo a o 0>a a<0<a 0<- (a)因果信号 (b)双边信号(c)反因果信号 第们|4■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--1111页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 σ jω 0 α σ jω -a 0 a (a) 因果信号 (b) 双边信号 (c) 反因果信号 ( ) ( ) ( ) 1f t e e e t at at = − − <> = − , 0 , 0 ( ) 2 e t e t f t atat ( ) ( ) ( ) 3f t e e e t at at = − + − − 2 2 2 ( ) a S a F S + = a > 0 注意：以上3个信号，具有相同的F(S), 但收敛域不同： σ > a − a < σ < a σ < −a -a 0 s jω
信号与系统电容 4.1拉普拉斯变换 通常遇到的信号都有初始时刻,不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样,t<0时,f(=0。从而拉氏变换式写 为 F(s)=f(t)esd 称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Res}>o,可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换 def F(s)=f(te sdt 简记为F(s)=E|f()l 0 f(t=E-F(S) def[ 1 pat f(se"ds e(t) f()++F(s) 或 f(t)= 2兀J 第|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--1212页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写 为 ∫∞− − = 0 F(s) f (t) e d t st 称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]>α ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换 ∫∞− − = 0 def F(s) f (t) e d t st ( ) e d ( ) 2 j 1 ( ) jj def f t F s s t st ε π σσ = ∫ + ∞ − ∞ 简记为F(s)=£[f(t)] f(t)=£ -1[F(s)] 或 f(t)←→ F(s)
信号与系统电容 4.1拉普拉斯变换 四、常见函数的拉普拉斯变换 1、δ(t)←→1,o>-∞ 2、e(t)或1←→1/s,o>0 3、指数函数et S+s o>-Rele co=(eo+)2→s2+a2 sino t=(oeJo)/2j←→ s+a 第N4p C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--1313页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 四、常见函数的拉普拉斯变换 1、δ(t) ←→1，σ> -∞ 2、ε(t)或1 ←→1/s ，σ> 0 3、指数函数e-s0t ←→ 0 1 s + s σ> -Re[s0] cosω0t = (ejω0t+ e-jω0t )/2 ←→ 2 0 2 s +ω s sinω0t = (ejω0t– e-jω0t )/2j ←→ 2 0 2 0 ω ω s +
信号与系统电容 4.1拉普拉斯变换 4、周期信号f1 r (s=l f(tedt T 2T (n+1)T f(t) sidt+f(t)esdt+ T ∑ fr(te d 令=1+nr∑em0e"1=10 e 特例:81(1)←→1/1-e31) 第|4■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--1414页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 4、周期信号fT(t) ∫ ∫ ∑∫ ∫ ∞ = + − − − ∞ − = + + = = 0 2 ( 1) 0 0 ( ) e d ( ) e d ..... ( ) e d ( ) ( ) e d n n T nT st T T T st T T st T st T T f t t f t t f t t F s f t t ∑ ∫ ∫ − − − ∞ = − = − = + = T st sT T T st T n nsT t t nT f t t f t t 0 0 0 ( ) e d 1 e1 令 e ( ) e d 特例：δT(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
信号与系统电容 4.1拉普拉斯变换 五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 F(s)=f(resdt Re[s]o FGa)=f(t)e Jo t dt 要讨论其关系,敢)必须为因果信号。 根据收敛坐标G的值可分为以下三种情况: (1)σ<0,即F(S)的收敛域包含j轴,则ft的傅里叶 变换存在,并且 FGO=F() I 如f(t)=ee(t)←→F(s)=1(s+2),o>2; 则F(jO)=1(j0+2) 第|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--1515页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 ∫∞ − = 0 F(s) f (t) e dt st Re[s]>σ0 ∫∞−∞ − F = f t t t (j ) ( ) e d jω ω 要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标σ0的值可分为以下三种情况： （1）σ0<0，即F(s)的收敛域包含jω轴，则f(t)的傅里叶 变换存在，并且 F(jω)=F(s) s=jω 如f(t)=e-2tε(t) ←→F(s)=1/(s+2) , σ>-2； 则 F(jω)=1/( jω+2)