中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，是中国传统数学对人类文 明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。 我国是世界上首先发现和认识负数的国家。战国时法家李悝（约公元前455 一前395年)曾任魏文侯相，主持变法，我国第一部比较完整的法典《法经》（现 己失传)中己应用了负数，“衣五人终岁用千百不足四百五十”，意思是说，5个 人一年开支1500钱，差450钱。甘肃居延海附近（今甘肃省张掖市管领）发现 的汉简中有“负四笄(suà，筹码，同算)，得七第，相除得三第”的句子。 在2002年中国考古发现报告会上，介绍了继秦始皇陵兵马俑坑之后秦代考 古的又一重大发现：湖南龙山里耶战国一秦汉时期城址及秦代简牍。2002年7 月，考古人员在湖南龙山里耶战国一秦汉古城出土了36000余枚秦简，记录的是 秦始皇二十六年至三十七年（即公元前221一前210年）的秦朝历史，其中有 份完整的“九九乘法口诀表”。在《管子》、《荀子》、《战国策》等先秦典籍中， 都提到过“九九”，但实物还是首次发现，这是我国有文字记录最早的乘法口诀 表。 最后给一首数字诗，取自宋朝理学家邵康节（公元1011一1077年，中国占 卜界的主要代表人物)写的一首诗，描绘像花园一样美丽的地方，一幅朴实自然 的乡村风俗画，宛如一副淡雅的水墨画： 一去二三里，烟村四五家。 亭台六七座，八九十枝花。 思考题 1、您对《数学史》课程的期望。 2、谈谈您的理解：数学是什么？ 3、数学崇拜与数学忌讳。 4、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。 5、数的概念的发展给我们的启示。 6、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义。 第二讲古代希腊数学 6
6 中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，是中国传统数学对人类文 明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。 我国是世界上首先发现和认识负数的国家。战国时法家李悝（约公元前 455 －前 395 年）曾任魏文侯相，主持变法，我国第一部比较完整的法典《法经》（现 已失传）中已应用了负数，“衣五人终岁用千百不足四百五十”，意思是说，5 个 人一年开支 1500 钱，差 450 钱。甘肃居延海附近（今甘肃省张掖市管领）发现 的汉简中有“负四筭（suàn，筹码，同算），得七筭，相除得三筭”的句子。 在 2002 年中国考古发现报告会上，介绍了继秦始皇陵兵马俑坑之后秦代考 古的又一重大发现：湖南龙山里耶战国－秦汉时期城址及秦代简牍。2002 年 7 月，考古人员在湖南龙山里耶战国－秦汉古城出土了 36000 余枚秦简，记录的是 秦始皇二十六年至三十七年（即公元前 221－前 210 年）的秦朝历史，其中有一 份完整的“九九乘法口诀表”。 在《管子》、《荀子》、《战国策》等先秦典籍中， 都提到过“九九”，但实物还是首次发现，这是我国有文字记录最早的乘法口诀 表。 最后给一首数字诗，取自宋朝理学家邵康节（公元 1011－1077 年，中国占 卜界的主要代表人物）写的一首诗，描绘像花园一样美丽的地方，一幅朴实自然 的乡村风俗画，宛如一副淡雅的水墨画： 一去二三里，烟村四五家。 亭台六七座，八九十枝花。 思考题 1、您对《数学史》课程的期望。 2、谈谈您的理解：数学是什么? 3、数学崇拜与数学忌讳。 4、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。 5、数的概念的发展给我们的启示。 6、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义。 第二讲 古代希腊数学
主要内容：论证数学的发端，亚历山大学派，古希腊数学的衰落，简述山 位哲学家或科学家的数学工作。 恩格斯指出：“没有希腊的文化和罗马帝国奠定的基础，没没有现代的欧洲。” “如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们 就不可能理解近年来数学的目标，也不可能理解它的成就。”一一Claude Hugo Hermann Weyl 背景：古希腊的变迁 古希腊地图。 希腊时期（公元前11世纪一前3世纪）：分为爱奥尼亚时期和雅典时期。 爱奥尼亚时期：公元前11世纪一前6世纪，其中公元前11世纪一前9世纪 希腊各部落进入爱琴地区，公元前9一前6世纪希腊各城邦先后形成，前776年 召开了第一次奥林匹克运动会，标志着古希腊文明进入了兴盛时期。希波战争（前 499一前449年)以后，雅典成为希腊的霸主。 雅典时期：公元前6一前3世纪，伯罗奔尼撒战争（前431一前404年，雅 典及其同盟者与以斯巴达为首的伯罗奔尼撒同盟之间的战争)，希腊各城邦陷入 混战之中。 马其顿帝国崛起：前6世纪一前323年。马其顿位于希腊的北部，处于希腊 文明的边缘，被希腊人视为蛮族。公元前4世纪起马其顿逐渐成为希腊北部的重 要国家，正当希腊的城邦在经历将近100年的内战之后都精疲力竭的时候，马其 顿的菲利普二世（公元前382一前336年）把整个希腊统一于其统治之下，前337 年希腊各城邦承认马其顿的霸主地位。前334年，亚历山大（公元前356一前323 年)率大军波海东征，拉开了征服世界的序幕。亚历山大最大的敌人是强大的波 斯帝国，他先后从波斯人手中夺取了叙利亚和埃及，攻下巴比伦，波斯帝国灭亡。 前323年，亚历山大病死，他庞大的帝国也随之分裂，古希腊历史结束。但在帝 国扩张的过程中将希腊文明传播至东方，史称希腊化时代。 希腊化时期（公元前3世纪一公元7世纪）：分为亚历山大时期和亚历山大 后期。 亚历山大时期：公元前323一前30年，前48一前30年凯撒、屋大维侵占埃 及。亚历山大后期：公元前30一公元640年，公元640年阿拉伯人焚毁亚历山
7 主要内容：论证数学的发端，亚历山大学派，古希腊数学的衰落，简述 11 位哲学家或科学家的数学工作。 恩格斯指出：“没有希腊的文化和罗马帝国奠定的基础，没没有现代的欧洲。” “如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们 就不可能理解近年来数学的目标，也不可能理解它的成就。” ——Claude Hugo Hermann Weyl 背景：古希腊的变迁 古希腊地图。 希腊时期（公元前 11 世纪－前 3 世纪）：分为爱奥尼亚时期和雅典时期。 爱奥尼亚时期：公元前 11 世纪－前 6 世纪，其中公元前 11 世纪－前 9 世纪 希腊各部落进入爱琴地区，公元前 9－前 6 世纪希腊各城邦先后形成，前 776 年 召开了第一次奥林匹克运动会，标志着古希腊文明进入了兴盛时期。希波战争（前 499－前 449 年）以后，雅典成为希腊的霸主。 雅典时期：公元前 6－前 3 世纪，伯罗奔尼撒战争（前 431－前 404 年，雅 典及其同盟者与以斯巴达为首的伯罗奔尼撒同盟之间的战争），希腊各城邦陷入 混战之中。 马其顿帝国崛起：前 6 世纪－前 323 年。马其顿位于希腊的北部，处于希腊 文明的边缘，被希腊人视为蛮族。公元前 4 世纪起马其顿逐渐成为希腊北部的重 要国家，正当希腊的城邦在经历将近 100 年的内战之后都精疲力竭的时候，马其 顿的菲利普二世（公元前 382－前 336 年）把整个希腊统一于其统治之下，前 337 年希腊各城邦承认马其顿的霸主地位。前 334 年，亚历山大（公元前 356－前 323 年）率大军渡海东征，拉开了征服世界的序幕。亚历山大最大的敌人是强大的波 斯帝国，他先后从波斯人手中夺取了叙利亚和埃及，攻下巴比伦，波斯帝国灭亡。 前 323 年，亚历山大病死，他庞大的帝国也随之分裂，古希腊历史结束。但在帝 国扩张的过程中将希腊文明传播至东方，史称希腊化时代。 希腊化时期（公元前 3 世纪－公元 7 世纪）：分为亚历山大时期和亚历山大 后期。 亚历山大时期：公元前 323－前 30 年，前 48－前 30 年凯撒、屋大维侵占埃 及。亚历山大后期：公元前 30－公元 640 年，公元 640 年阿拉伯人焚毁亚历山
大城藏书 罗马帝国：公元前27-公元395年（公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷， 现为土耳其的伊斯坦布尔)，西罗马帝国：公元395一公元476年（为日尔曼人 所灭)，东罗马帝国：公元395一公元1453年(610年改称拜占廷帝国，为奥斯 曼土耳其人所灭)。 本讲分三节介绍：古典时期的希腊数学、亚历山大学派时期、希腊数学的衰 落。 1、古典时期的希腊数学 公元前600-前300年。 1.1爱奥尼亚学派（米利都学派）：泰勒斯（公元前625一前547年），出生 于爱奥尼亚的米利都城，早年经商，被称为“希腊哲学、科学之父”。 哲学：万物源于水，即“水生万物，万物复归于水”。其思想的影响是巨大 的，在他的带动下，人们开始摆脱神的束缚，去探索字宙的奥秘，经过数百年的 努力，出现了希腊科学的繁荣。泰勒斯首创之功，不可磨灭。 数学：创数学命题逻辑证明之先河，希腊几何学的鼻祖，最早留名于世的数 学家，证明了一些几何命题，如“圆的直径将圆分为两个相等的部分”，“等腰三 角形两底角相等”，“两相交直线形成的对顶角相等”，“如果一个三角形有两角、 一边分别与另一个三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等”，“半圆上 的圆周角是直角”（泰勒斯定理），测量过金字塔的高度。 预报了公元前585年的一次日食。 12毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯（约公元前560一前480年），出生于小亚 细亚的萨摩斯岛，与中国的孔子（公元前551一前479年）同时，曾师从爱奥尼 亚学派，年青时曾游历埃及和巴比伦，在萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学 性质的学派，致力于哲学和数学的研究，繁荣兴旺达一个世纪以上。 哲学(p1o6o0ta,智力爱好)：万物皆为数。没有数就既不可能表达、也不 可能理解任何事物，宜称宇宙万物的主宰者用数来统御宇宙，试图通过揭示数的 奥秘来探索字宙永恒的真理。 数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，“μā0nμat 1xā”（可学到的知识），“毕达哥拉斯定理”（希腊，1955），完全数（等于除
8 大城藏书。 罗马帝国：公元前 27－公元 395 年（公元 330 君士坦丁大帝迁都拜占廷， 现为土耳其的伊斯坦布尔），西罗马帝国：公元 395－公元 476 年（为日尔曼人 所灭），东罗马帝国：公元 395－公元 1453 年（610 年改称拜占廷帝国，为奥斯 曼土耳其人所灭）。 本讲分三节介绍：古典时期的希腊数学、亚历山大学派时期、希腊数学的衰 落。 1、古典时期的希腊数学 公元前 600－前 300 年。 1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派）：泰勒斯（公元前 625－前 547 年），出生 于爱奥尼亚的米利都城，早年经商，被称为“希腊哲学、科学之父”。 哲学：万物源于水，即“水生万物，万物复归于水”。其思想的影响是巨大 的，在他的带动下，人们开始摆脱神的束缚，去探索宇宙的奥秘，经过数百年的 努力，出现了希腊科学的繁荣。泰勒斯首创之功，不可磨灭。 数学：创数学命题逻辑证明之先河，希腊几何学的鼻祖，最早留名于世的数 学家，证明了一些几何命题，如“圆的直径将圆分为两个相等的部分”，“等腰三 角形两底角相等”，“两相交直线形成的对顶角相等”，“如果一个三角形有两角、 一边分别与另一个三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等”，“半圆上 的圆周角是直角”（泰勒斯定理），测量过金字塔的高度。 预报了公元前 585 年的一次日食。 1.2 毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯（约公元前 560－前 480 年），出生于小亚 细亚的萨摩斯岛，与中国的孔子（公元前 551－前 479 年）同时，曾师从爱奥尼 亚学派，年青时曾游历埃及和巴比伦，在萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学 性质的学派，致力于哲学和数学的研究，繁荣兴旺达一个世纪以上。 哲学（，智力爱好）：万物皆为数。没有数就既不可能表达、也不 可能理解任何事物，宣称宇宙万物的主宰者用数来统御宇宙，试图通过揭示数的 奥秘来探索宇宙永恒的真理。 数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，“μαθηματ ιχα”（可学到的知识），“毕达哥拉斯定理”（希腊，1955），完全数（等于除
它本身以外的全部因子之和，如6,28,496，.)、亲和数（一对数，其中每 个数除它本身以外的所有因子之和是另一个数，如220,284)，正五角星作图与 “黄金分割”（正五角星是该学派的标志，正五角星相邻两个顶点的距离与其边 长之比，或简单说正五边形边长与其对角线之比，正好是黄金比)，发现了“不 可公度量”，困惑古希腊的数学家，出现的逻辑困难史称“第一次数学危机”。 希波战争以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之 走向繁荣，可谓哲学盛行、学派林立、名家百出。雅典古卫城最宏伟、最精美 最著名的建筑是为敬奉城市庇护女神雅典娜建造的“帕提农神庙”（也称“巴台 农神庙”，建造于公元前447一前432年)，其中应用了一些数学原理。 雅典时期：开创演绎数学。 掷铁饼者（米降，约前450年）。 13伊利亚学派：芝诺（约公元前490-前430年），出生于意大利南部半岛 的伊利亚城邦，毕达哥拉斯学派成员的学生。 芝诺悖论：两分法，运动不存在。再由是：位移事物在达到目的地之前必须 先抵达一半处，即不可能在有限的时间内通过无限多个点，所以，如果它起动了， 它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。 阿基里斯（荷马史诗《依里亚特》中的希腊名将，善跑）、飞矢不动。 芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以 非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。 1.4诡辩学派（智人学派）：活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，代表人 物均以雄辩著称，诡辩的希腊原词含智慧之意，故亦称智人学派。 古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方体。 安蒂丰（约公元前480一前411年），有关他的生平至今没有确切的定论， 只知他在雅典从事学术活动，是智人学派的代表人物，在数学方面的突出成就是 用“穷竭法”讨论化圆为方问题。他从一个圆内接正方形出发，将边数逐步加倍 到正八边形、正十六边形、持续重复这一过程，随着圆面积的逐渐穷竭， 将得到一个边长极微小的圆内接正多边形。安蒂丰认为这个内接正多边形将与圆 重合，既然通常能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么就能作出等于 一个圆的正方形。这种推理当然没有真正解决化圆为方问题，但安蒂丰却因此成
9 它本身以外的全部因子之和，如 6，28，496，.）、亲和数（一对数，其中每一 个数除它本身以外的所有因子之和是另一个数，如 220，284），正五角星作图与 “黄金分割”（正五角星是该学派的标志，正五角星相邻两个顶点的距离与其边 长之比，或简单说正五边形边长与其对角线之比，正好是黄金比），发现了“不 可公度量”，困惑古希腊的数学家，出现的逻辑困难史称“第一次数学危机”。 希波战争以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之 走向繁荣，可谓哲学盛行、学派林立、名家百出。雅典古卫城最宏伟、最精美、 最著名的建筑是为敬奉城市庇护女神雅典娜建造的“帕提农神庙”（也称“巴台 农神庙”，建造于公元前 447－前 432 年），其中应用了一些数学原理。 雅典时期：开创演绎数学。 掷铁饼者（米隆，约前 450 年）。 1.3 伊利亚学派：芝诺（约公元前 490－前 430 年），出生于意大利南部半岛 的伊利亚城邦，毕达哥拉斯学派成员的学生。 芝诺悖论：两分法，运动不存在。再由是：位移事物在达到目的地之前必须 先抵达一半处，即不可能在有限的时间内通过无限多个点，所以，如果它起动了， 它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。 阿基里斯（荷马史诗《依里亚特》中的希腊名将，善跑）、飞矢不动。 芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以 非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。 1.4 诡辩学派（智人学派）：活跃于公元前 5 世纪下半叶的雅典城，代表人 物均以雄辩著称，诡辩的希腊原词含智慧之意，故亦称智人学派。 古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方体。 安蒂丰（约公元前 480－前 411 年），有关他的生平至今没有确切的定论， 只知他在雅典从事学术活动，是智人学派的代表人物，在数学方面的突出成就是 用“穷竭法”讨论化圆为方问题。他从一个圆内接正方形出发，将边数逐步加倍 到正八边形、正十六边形、、持续重复这一过程，随着圆面积的逐渐穷竭， 将得到一个边长极微小的圆内接正多边形。安蒂丰认为这个内接正多边形将与圆 重合，既然通常能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么就能作出等于 一个圆的正方形。这种推理当然没有真正解决化圆为方问题，但安蒂丰却因此成
为古希腊“穷竭法”的始祖。 希腊人对三大作图问题的所有解答都无法严格遵守尺规作图的限制。1855 年，法国科学院拒绝再审查化圆为方问题的解。直到19世纪，数学家们才利用 现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。如1882年林德曼（德，1852 一1939年)证明了数π的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能性。 1.5柏拉图学派：柏拉图（约公元前427一前347年），出生于雅典的显贵世 家，曾师从毕达哥拉斯学派，哲学家苏格拉底（公元前469一前399年）的学生。 作为一名哲学家，柏拉图对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响， 特别是他的认识论、数学哲学和数学牧育思想，后人将分析法和归谬法归的使用 归功于柏拉图，在古代希腊社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不 可磨灭的推进作用。代表作《理想国》。 柏拉图说：“上帝按几何原理行事”，“不懂几何者免进”，认为打开字宙之迷 的钥匙是数与几何图形，发展了用演绎逻辑方法系统整理零散数学知识的思想。 柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，公元前387年以 万贯家财在雅典创办学院，讲授哲学与数学，直到529年东罗马君王查士丁尼下 令关闭所有的希腊学校才告终止。意大利文艺复兴三杰之一拉斐尔·桑蒂(1483 一1520年)的壁画：雅典学院（创作于1509一1510年）。 古希腊最著名的哲学家、科学家：亚里士多德（公元前384一前322年）（乌 拉圭，1996)，柏拉图的学生。 1.6亚里士多德学派（吕园学派）：出生于马其顿的斯塔吉拉镇，公元前335 年建立了自己的学派，讲学于雅典的吕园，又称“吕园学派”，相传亚里士多德 还做过亚历山大大帝的老师。“吾爱吾师，吾尤爱真理”。 集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，将前人使用的数学推理规 律规范化和系统化，创立了独立的逻辑学，堪称“逻辑学之父”，“矛盾律”、“排 中律”成为数学中间接证明的核心，努力把形式逻辑的方法运用于数学的推理上， 为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣 经。 1207年亚里士多德的著作全部被译成拉丁文。13世纪由托马斯阿奎那（意， 1225一1274年)建立了经院哲学，对亚里士多德哲学稍加篡改用来适应基督教 10
10 为古希腊“穷竭法”的始祖。 希腊人对三大作图问题的所有解答都无法严格遵守尺规作图的限制。1855 年，法国科学院拒绝再审查化圆为方问题的解。直到 19 世纪，数学家们才利用 现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。如 1882 年林德曼（德，1852 －1939 年）证明了数的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能性。 1.5 柏拉图学派：柏拉图（约公元前 427－前 347 年），出生于雅典的显贵世 家，曾师从毕达哥拉斯学派，哲学家苏格拉底（公元前 469－前 399 年）的学生。 作为一名哲学家，柏拉图对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响， 特别是他的认识论、数学哲学和数学教育思想，后人将分析法和归谬法归的使用 归功于柏拉图，在古代希腊社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不 可磨灭的推进作用。代表作《理想国》。 柏拉图说：“上帝按几何原理行事”，“不懂几何者免进”，认为打开宇宙之迷 的钥匙是数与几何图形，发展了用演绎逻辑方法系统整理零散数学知识的思想。 柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，公元前 387 年以 万贯家财在雅典创办学院，讲授哲学与数学，直到 529 年东罗马君王查士丁尼下 令关闭所有的希腊学校才告终止。意大利文艺复兴三杰之一拉斐尔•桑蒂（1483 －1520 年）的壁画：雅典学院（创作于 1509－1510 年）。 古希腊最著名的哲学家、科学家：亚里士多德（公元前 384－前 322 年）（乌 拉圭，1996），柏拉图的学生。 1.6 亚里士多德学派（吕园学派）：出生于马其顿的斯塔吉拉镇，公元前 335 年建立了自己的学派，讲学于雅典的吕园，又称“吕园学派”，相传亚里士多德 还做过亚历山大大帝的老师。“吾爱吾师，吾尤爱真理”。 集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，将前人使用的数学推理规 律规范化和系统化，创立了独立的逻辑学，堪称“逻辑学之父”，“矛盾律”、“排 中律”成为数学中间接证明的核心，努力把形式逻辑的方法运用于数学的推理上， 为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣 经。 1207 年亚里士多德的著作全部被译成拉丁文。13 世纪由托马斯·阿奎那（意， 1225－1274 年）建立了经院哲学，对亚里士多德哲学稍加篡改用来适应基督教