第七章二阶电路 、教学基本要求 1、了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的物理意义和概念。 2、会分析简单的二阶电路。 二、教学重点与难点 1.教学重点:(1).二阶电路的方程和特征根 (2).二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念 3).二阶电路过渡过程的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼的概 念及分析 (4).二阶电路的阶跃响应。 2.教学难点:1.应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路 方程; 2.二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方 法和基本物理概念。 、本章与其它章节的联系: 本章讨论的仍是线性电路,因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部 可以用于本章的分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路 在正弦激励下的稳态分量的求解。 四、学时安排 总学时:2 教学内容 学时 二阶电路的零输入响应、二阶电路的零状态响应 五、教学内容
第七章 二阶电路 一、教学基本要求 1、了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的物理意义和概念 。 2、会分析简单的二阶电路。 二、教学重点与难点 1. 教学重点： (1).二阶电路的方程和特征根 (2). 二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念 (3). 二阶电路过渡过程的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼的概 念及分析 (4). 二阶电路的阶跃响应。 2．教学难点：1.应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路 方程； 2. 二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方 法和基本物理概念。 三、本章与其它章节的联系： 本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部 可以用于本章的分析中。第 9 章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路 在正弦激励下的稳态分量的求解。 四、学时安排 总学时：2 教 学 内 容 学 时 二阶电路的零输入响应、二阶电路的零状态响应 2 五、教学内容
§7.1二阶电路的零输入响应 二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。下面主要通过分析C串联电 路来说明求二阶电路响应的方法。 1.方程和初始条件 R C 图7.1 图7.1所示的RLC串联电路在t=0时刻闭合开关,设电容原本充有电压l, 此电路的放电过程是二阶电路的零输入响应问题。电路的KⅥL方程及元件的VR 为 Ri+uIuc=0 若以电容电压为变量,从以上方程中消去其他变量得二阶齐次微分方程 0 dt 初始条件为:uC(0+)=U0,i(0+)=0,或 di 3= 若以电感电流为变量,则方程为:at 初始条件为:i(0+)=0, )=20)=a=乙 根据 得: 2.二阶微分方程的解及其物理意义 duc+Rc-c+ 以电容电压为变量,电路方程为 从中得特征方程:LCP2+RCP+1=0
§7.1 二阶电路的零输入响应 二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。下面主要通过分析 RLC 串联电 路来说明求二阶电路响应的方法。 1.方程和初始条件 图 7.1 图 7.1 所示的 RLC 串联电路在 t=0 时刻闭合开关，设电容原本充有电压 U0， 此电路的放电过程是二阶电路的零输入响应问题。电路的 KVL 方程及元件的 VCR 为： 若以电容电压为变量，从以上方程中消去其他变量得二阶齐次微分方程： 初始条件为： u C (0+)= U 0 ， i (0+)=0 ，或 若以电感电流为变量，则方程为： 初始条件为： i (0+)=0 ， 根据 得： 2．二阶微分方程的解及其物理意义 以电容电压为变量，电路方程为： 从中得特征方程：
P=~R±训R2-4LCpx R 特征根为 2L 上式表明特征根仅与电路参数和结构有关,而与激励和初始储能无关。当R、 L、C的参数不同,特征根为不同的形式。下面分三种情况讨论 R>2 (1)当 时,特征根为两个不相等的负实根,电路处于过阻尼状 此时方程的解为:4=4q27+492 由初始条件:40)=sS=0 dt ko'y 22-B1 A1+A2=U0 得:(24+242=0 P-P ( Pes 因此电容电压为 P-P (e 电流为: dt I(P-P) u,=l n}2 (e-e2) 电感电压为 (2-B) 图7.2给出了电容电压、电流和电感电压随时间变化的波形,从中可以看出 电容电压和电流始终不改变方向,且最终衰减至零,说明电容始终在释放能量, 称过阻尼放电。能量的转换过程如图7.3所示。 图7.2表明拦=ta时,i取得最大值,t=2tm时,a为极小值。通过对电流 求导,可计算时间t。即 图
特征根为： 上式表明特征根仅与电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。当 R、 L、C 的参数不同，特征根为不同的形式。下面分三种情况讨论。 （1）当 时，特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状 态。 此时方程的解为： 由初始条件： ， 得： 即： 因此电容电压为： 电流为： 电感电压为： 图 7.2 给出了电容电压、电流和电感电压随时间变化的波形，从中可以看出， 电容电压和电流始终不改变方向，且最终衰减至零，说明电容始终在释放能量， 称过阻尼放电。能量的转换过程如图 7.3 所示。 图 7.2 表明 t=tm时，iC取得最大值，t=2tm 时，uL为极小值。通过对电流 求导，可计算时间 tm。即： 图 7.2
p e (1 1-2 R 图7.3 (2).R4C时,特征根为两个共轭复根,电路处于振荡放电状态 令 6=2%=y2co=a2-8x 则特征根为: P=-8±a 电容电压的t的通解形式为 u=Aen'+AePt=e(AeA+Ae-ja 经常把上式写成三角函数形式:4= Ae sin(ax+B 故把ω称为振荡频率。 通解中待定常数A,b根据初始条件确定,即: l(0)=C→ Asin B=Uo (0=0>A0sin B+A@cosB=0 A 月= actg 联立求解以上方程得: 由于a、ω0、δ、b满足图7.4所示的三角关系
→ → 图 7.3 （2） 当 时，特征根为两个共轭复根，电路处于 振荡放电状态。 令： 则特征根为： 电容电压的 uC 的通解形式为： 经常把上式写成三角函数形式： 故把 ω 称为振荡频率。 通解中 待定常数 A ， b 根据初始条件确定，即： 联立求解以上方程得： 由于 ω、ω０、δ、b 满足图 7.4 所示的三角关系:
A 所以 ve - 5t sin du (at+ 则 02p2 图7.5 图7.5给出了电容电压和电流随时间变化的波形,从中可以看出,波形呈 衰减振荡的状态,在整个过渡过程中电容电压和电流周期性的改变方向,表明储 能元件在周期性的交换能量,处于振荡放电。在半个周期里能量的转换过程如图 7.6所示 0<ot<阝 0t<丌 Bx阝<o< R 图7.6 若BC振荡回路中的电阻R=0,则产生等幅振荡放电。此时有 6=0 1 6= u =u,=U sin(at +90) R=2 (3)当 时,特征根为两相等的负实根,电路处于临界阻尼状态。 特征根为:=名=-R 2L 方程的通解为:4=4+4e
所以 则 图 7.4 图 7.5 图 7.5 给出了电容电压和电流随时间变化的波形，从中可以看出，波形呈 衰减振荡的状态，在整个过渡过程中电容电压和电流周期性的改变方向，表明储 能元件在周期性的交换能量，处于振荡放电。在半个周期里能量的转换过程如图 7.6 所示。 图 7.6 若 RLC 振荡回路中的电阻 R=0 ，则产生等幅振荡放电。此时有： （3）当 时，特征根为两相等的负实根，电路处于临界阻尼状态。 特征根为： 方程的通解为：