af dx,, of dy af 0(5.3) Ox dt ay, dt d—d 有些运动约束又可以通过积分成为几何约束,例如圆柱无滑 动地滚动的约束方程很容易积分为 x-R=C化成几何约束的约束方程 可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别,合称为完 整约束.不可积的运动约束,即不能化为几何约束的运动约束,它 们在物理实质上不同于几何约束称为非完整约束 几何约束和运动约束的分类是按数学表达形式来分类,完整约 束和非完整约束的分类是按物理实质来分类
0 (5.3) d d d d d d 3 1 = + + + = t f t z z f t y y f t x x f i i i i n i i i 有些运动约束又可以通过积分成为几何约束，例如圆柱无滑 动地滚动的约束方程很容易积分为 x0 − R = C 化成几何约束的约束方程. 可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别, 合称为完 整约束. 不可积的运动约束, 即不能化为几何约束的运动约束, 它 们在物理实质上不同于几何约束,称为非完整约束. 几何约束和运动约束的分类是按数学表达形式来分类, 完整约 束和非完整约束的分类是按物理实质来分类
对非完整约束举例 具有尖锐边缘的薄圆盘在粗糙面上无 滑动地滚动,则圆盘的着地点的速度为零 薄圆盘的盘面是可以转动的,但如盘面始 终保持竖直,着地点的速度为零可表为 R中 Rv=O 把上式投影到x轴和轴上,得 xo-ry Cos o =0 yo-Rysin p=0 式中x0和y是盘心的坐标这两个微分关系是不能积分的 因为当薄圆盘沿着长度各不相同的不同闭合曲线循行一周回到原 处时,盘心坐标(x0,yo)和角q都可以回复到原来的值,但v却未 必也恰好回复原值这就是说,在x0,y,和y之间并不存在一种确 定不变的关系这种运动约束是不可能积分的
对非完整约束举例 具有尖锐边缘的薄圆盘在粗糙面上无 滑动地滚动, 则圆盘的着地点的速度为零. 薄圆盘的盘面是可以转动的, 但如盘面始 终保持竖直, 着地点的速度为零,可表为 v0 − R = 0 把上式投影到x轴和y轴上,得 sin 0 cos 0 0 0 − = − = y R x R 式中x0和y0是盘心的坐标. 这两个微分关系是不能积分的. 因为当薄圆盘沿着长度各不相同的不同闭合曲线循行一周回到原 处时，盘心坐标(x0，y0 )和角都可以回复到原来的值，但却未 必也恰好回复原值. 这就是说，在x0 , y0 , 和之间并不存在一种确 定不变的关系.这种运动约束是不可能积分的
再考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型假定将冰刀抽象为以 刚性轻杆相连的两个质点,并设两质点质量相等,杆长为,当冰刀 在冰面上运动时,质心(杆的中点的速度只能沿杆的方向选两质 点在冰面上的坐标为(x11)和(x22),则约束条件为 x2)+(y1-y V1ty2 y1-y2 前一个约束条件反映杆长不变,是几何约束,即完整约束后一个约 束条件反映质心速度沿杆的方向,是运动约束;由于它是不可积的, 即不能化为几何约束,因而是非完整约束后一个约束也可表为 d x tdx dy +dy2 yi-y2 这意味着它是对无限小变化的限制
再考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型. 假定将冰刀抽象为以 刚性轻杆相连的两个质点,并设两质点质量相等, 杆长为l, 当冰刀 在冰面上运动时, 质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向. 选两质 点在冰面上的坐标为(x1 ,y1 )和(x2 ,y2 )，则约束条件为 ( ) ( ) − − = + + − + − = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 y y x x y y x x x x y y l 前一个约束条件反映杆长不变, 是几何约束, 即完整约束. 后一个约 束条件反映质心速度沿杆的方向, 是运动约束; 由于它是不可积的, 即不能化为几何约束, 因而是非完整约束. 后一个约束也可表为 1 2 1 2 1 2 1 2 d d d d y y x x y y x x − − = + + 这意味着它是对无限小变化的限制
约束还分为稳定约束和不稳定约束稳定约束不直接依赖于 时间,其数学表达式不显含时间;不稳定约束则明显依赖于时间, 其数学表达式显含时间 此外,约束还可分为单侧约束(可解约束)和双侧约束(不可解) 单侧约束只在某一侧限制系统的运动,至于向另一侧的运动则是 完全自由的例如单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长 的方向运动,但向绳缩短的方向运动却是自由的单侧约束的数 学表示式是不等式,一般可写为 石,2,,…,,小≤0(5.3) 称为约束不等式单侧约束是有可能解除的约束是否解除或者何 时解除,需要从运动方程解出约束力,再从约束力的指向是否正确 来判断双侧约束限制着不论哪一侧的运动,其数学表示式是(51) 或52)所示的约束方程
约束还分为稳定约束和不稳定约束. 稳定约束不直接依赖于 时间, 其数学表达式不显含时间; 不稳定约束则明显依赖于时间, 其数学表达式显含时间. 此外，约束还可分为单侧约束(可解约束)和双侧约束(不可解). 单侧约束只在某一侧限制系统的运动, 至于向另一侧的运动则是 完全自由的. 例如单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长 的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的. 单侧约束的数 学表示式是不等式, 一般可写为 ( , , , , ; , , , , , ) 0 (5.3) f r1 r2 r3 rn r1 r2 r3 rn t 称为约束不等式. 单侧约束是有可能解除的. 约束是否解除或者何 时解除, 需要从运动方程解出约束力, 再从约束力的指向是否正确 来判断. 双侧约束限制着不论哪一侧的运动,其数学表示式是(5.1) 或(5.2)所示的约束方程
三、约束力 根据牛顿定律,一切影响质点机械运动的因素都归结 为力.因此约束作用也可以归结为力.约束力的大小随力 学系统违背约束的趋势的不同而自动调节,使约束条件总 是得以满足.因此出现在运动方程中的约束力不可能预先 给定,它只能从运动方程并结合约束方程解出来 般将作用于第论个质点的约束力记作R,而把作用 于同一质点的其余的力称为主动力,记作F。有的资料 把约束力称为约束反力,因为这种力是体现约束条件的 实体跟违背约束趋势对抗的反作用力
三、约束力 根据牛顿定律, 一切影响质点机械运动的因素都归结 为力. 因此约束作用也可以归结为力. 约束力的大小随力 学系统违背约束的趋势的不同而自动调节, 使约束条件总 是得以满足. 因此出现在运动方程中的约束力不可能预先 给定, 它只能从运动方程并结合约束方程解出来. 一般将作用于第i个质点的约束力记作Ri , 而把作用 于同一质点的其余的力称为主动力，记作Fi . 有的资料 把约束力称为约束反力，因为这种力是体现约束条件的 实体跟违背约束趋势对抗的反作用力