分析力学的主要内容:导出各种力学系统的动力方程,如完整系统的拉格朗日 方程、正则方程,非完整系统的阿佩尔方程等;探求力学的普适原理,如汉密 尔顿原理、最小作用量原理等;探讨力学系统的特性;研究求解运动微分方程 的方法,例如,研究正则变换以求解正则方程;研究相空间代表点的轨迹,以 判别系统的稳定性等。 分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同,牛顿法把物体系拆开成分离 体,按反作用定律附以约束反力,然后列出运动方程 分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。它的优点 是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪 60年代开始,为了设计复杂的航天器和机器人的需要,发展多刚体系统,并且 跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程,所建立的方程能方 便地应用电子计算机进行计算。 在量子力学未建立以前,物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题 从1923年起,量子力学开始建立并逐步完善,才在微观现象的研究领域中取代 了分析力学。但是,掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如 用分析力学知识求出汉密尔顿函数,再化成汉密尔顿算符,又自汉密尔顿-雅可 比方程化成波动力学的基本方程—薛定谔方程等。 爱因斯坦提出相对论时,也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光 速的相对论力学
分析力学的主要内容：导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日 方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密 尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程 的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以 判别系统的稳定性等。 分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离 体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。 分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。它的优点 是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪 60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且 跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方 便地应用电子计算机进行计算。 在量子力学未建立以前，物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。 从1923年起，量子力学开始建立并逐步完善，才在微观现象的研究领域中取代 了分析力学。但是，掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如 用分析力学知识求出汉密尔顿函数，再化成汉密尔顿算符，又自汉密尔顿-雅可 比方程化成波动力学的基本方程——薛定谔方程等。 爱因斯坦提出相对论时，也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光 速的相对论力学
分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取 得的成果的一部分,在一定程度上解决了上述问题(并末 全部解决,有关的研究现在还在继续).它给出了力学系统 在完全一般性的广义坐标下具有不变形式的动力学方程 组,并突出了能量函数的意义 分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统,分析力 学的数学形式有着极好的性质,它不仅提供了解决天体力 学及一系列动力学问题的较佳途径,同时给量子力学的发 展提供了启示,最适于成为引向现代物理的跳板.其最小 作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而 富有概括性的出发点 直到最近,分析力学在非线性非完整系统中的研究, 非保守系统中奇异吸引子的发现以及有关“浑沌”现象 的研究等等,正在丰富分析力学的内容,且大大开阔它的 应用范围
分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取 得的成果的一部分, 在一定程度上解决了上述问题(并末 全部解决,有关的研究现在还在继续). 它给出了力学系统 在完全一般性的广义坐标下具有不变形式的动力学方程 组，并突出了能量函数的意义. 分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统, 分析力 学的数学形式有着极好的性质, 它不仅提供了解决天体力 学及一系列动力学问题的较佳途径, 同时给量子力学的发 展提供了启示, 最适于成为引向现代物理的跳板. 其最小 作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而 富有概括性的出发点. 直到最近, 分析力学在非线性非完整系统中的研究, 非保守系统中奇异吸引子的发现以及有关“浑沌”现象 的研究等等, 正在丰富分析力学的内容, 且大大开阔它的 应用范围
二、约束的概念 机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动,对 机械运动所加的强制性的限制条件叫作约束 约束条件对运动的限制由一些力来体现,这些力一般 不是给定的,而是与运动状况有关的未知力因此,对于动 力学问题,约束也应作为一个基本因素加以考虑 个质点可用矢径或三个坐标表示,n个质点组成的 系统,则由n个矢径或3n个坐标描述,它们确定每一时刻 各质点的位置以及质点组的形状—确定系统的位形 位形不能决定系统的“力学状态”,仅由某时刻的位 形不能预言在下一个时刻系统的位形.对于n个质点的系 统,还需知道n个速度矢量才能确定系统的状态
二、约束的概念 机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动, 对 机械运动所加的强制性的限制条件叫作约束. 一个质点可用矢径r或三个坐标表示, n个质点组成的 系统, 则由n个矢径或3n个坐标描述, 它们确定每一时刻 各质点的位置以及质点组的形状——确定系统的位形. 约束条件对运动的限制由一些力来体现, 这些力一般 不是给定的, 而是与运动状况有关的未知力. 因此, 对于动 力学问题, 约束也应作为一个基本因素加以考虑. 位形不能决定系统的“力学状态”, 仅由某时刻的位 形不能预言在下一个时刻系统的位形. 对于n个质点的系 统，还需知道n个速度矢量才能确定系统的状态．
给定了某一时刻的坐标和速度,由动力学方程原则上 单值地确定该时刻的加速度,因而能够唯一地确定下 个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度,以此类推,当知道 某一时刻的状态,就知道了系统在任一时刻的状态 几乎所有的力学系统都存在着约束。例如,刚体内 任意两质点间距离不变,两个刚体用铰链连接,轮子无滑 动地滚动,两个质点用不可伸长的绳连接等等.对状态的 限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制, 其数学表示式是 ,2,…,1)=0(5) —约束方程,坐标和速度必需满足的条件称为约束条件
给定了某一时刻的坐标和速度, 由动力学方程原则上 单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下一 个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度, 以此类推, 当知道 某一时刻的状态, 就知道了系统在任一时刻的状态． 几乎所有的力学系统都存在着约束。 例如, 刚体内 任意两质点间距离不变, 两个刚体用铰链连接, 轮子无滑 动地滚动, 两个质点用不可伸长的绳连接等等. 对状态的 限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制, 其数学表示式是 ( , , , , ; , , , , , ) 0 (5.1) f r1 r2 r3 rn r1 r2 r3 rn t = ——约束方程, 坐标和速度必需满足的条件称为约束条件
某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制,而对各质点的 速度没有限制,这种约束称为几何约束,其数学表示式是 t)≥=0(5.2) 例如,刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束 0 对于涉及力学系统运动情况的约束,即对速度也有限制的,则 称为运动约束,其中显含速度例如半径为R的圆柱在地面上沿着 直线作无滑动地滚动这意味着着地点的速度为零 o-R6=0 运动约束亦称为微分约束或速度约束 几何约束的约束方程虽然不显含速度 项,但实际上它在对位置限制的同时也 对系统的速度给予了限制,事实上,由式 51)对时间求全导数,得 Rg
某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制, 而对各质点的 速度没有限制, 这种约束称为几何约束, 其数学表示式是 ( , , , , ; ) 0 (5.2) f r1 r2 r3 rn t = 例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束. 对于涉及力学系统运动情况的约束, 即对速度也有限制的, 则 称为运动约束,其中显含速度. 例如半径为R的圆柱在地面上沿着 直线作无滑动地滚动. 这意味着着地点的速度为零. 0 − = 0 x R 运动约束亦称为微分约束或速度约束． 几何约束的约束方程虽然不显含速度 项, 但实际上它在对位置限制的同时也 对系统的速度给予了限制, 事实上, 由式 (5.1)对时间求全导数, 得 ( ) 0 2 2 ri − rj − rij =