第二十讲 刘维定理 泊松括号
第二十讲 刘维定理 泊松括号
本讲导读 统计力学基本定理刘维定理 泊松括号的定义 泊松括号的性质 泊松定理
本讲导读 • 统计力学基本定理 刘维定理 •泊松括号的定义 •泊松括号的性质 •泊松定理
、刘维定理 分析力学解决宏观机械问题的过程并不比牛顿力学 简单,但是对于大数目系统,往往牛顿力学无法求解而 运用哈密顿正则方程却容易的多 哈密顿动力学用广义坐标和广义动量描述力学系统 的运动对一个自由度问题,某一时刻的状态用x和p值表 示,即x平面上的一个点表示随着时间推移,状态不断变 化它在xp平面上刻画出一条曲线 多自由度的情况也类似.对于s个自由度的力学系统, 我们把广义坐标和广义动量当作直角坐标而构成2s维的 空间叫作相空间.该力学系统在某一时刻的状况也可用相 空间的一个点表示.随着时间的推移,相空间中的代表点 给出的曲线形成相轨道,换句话说,相轨道给出力学系统 随时间的演变过程
一、刘维定理 分析力学解决宏观机械问题的过程并不比牛顿力学 简单, 但是对于大数目系统, 往往牛顿力学无法求解,而 运用哈密顿正则方程却容易的多. 哈密顿动力学用广义坐标和广义动量描述力学系统 的运动. 对一个自由度问题, 某一时刻的状态用x和p值表 示, 即xp平面上的一个点表示. 随着时间推移, 状态不断变 化, 它在xp平面上刻画出一条曲线. 多自由度的情况也类似. 对于s个自由度的力学系统, 我们把广义坐标和广义动量当作直角坐标而构成2s维的 空间叫作相空间. 该力学系统在某一时刻的状况也可用相 空间的一个点表示. 随着时间的推移,相空间中的代表点 给出的曲线形成相轨道, 换句话说, 相轨道给出力学系统 随时间的演变过程
原则上,给定力学系统的初始状态,该系统的运动就 由动力学方程完全确定,即以相空间中某一点为出发点 的相轨道,由动力学方程所完全决定.但是,如果系统的 自由度数比较大,力学系统比较复杂,我们不能断定相空 间中究竞哪一点准确地代表系统的状态.怎么办? 替代的办法:我们只能考虑各种可能的代表点,其 中每一点都代表系统的一种可能状态.实质上,这是考虑 处于给定约束条件下许许多多性质完全相同的力学系统, 这些性质完全相同的力学系统构成一个系综;相空间中 每一个代表点对应于系综中某一个力学系统的状态,代 表点的相轨道对应于该系统的演变,各种可能的代表点 则对应于系综中所有力学系统的状况,各种可能的相轨 道则对应于系综的演变这就是统计力学的起点
原则上, 给定力学系统的初始状态, 该系统的运动就 由动力学方程完全确定, 即以相空间中某一点为出发点 的相轨道，由动力学方程所完全决定. 但是, 如果系统的 自由度数比较大, 力学系统比较复杂, 我们不能断定相空 间中究竟哪一点准确地代表系统的状态. 怎么办? 替代的办法：我们只能考虑各种可能的代表点, 其 中每一点都代表系统的一种可能状态. 实质上, 这是考虑 处于给定约束条件下许许多多性质完全相同的力学系统, 这些性质完全相同的力学系统构成一个系综; 相空间中 每一个代表点对应于系综中某一个力学系统的状态, 代 表点的相轨道对应于该系统的演变, 各种可能的代表点 则对应于系综中所有力学系统的状况, 各种可能的相轨 道则对应于系综的演变. 这就是统计力学的起点
刘维定理保守力学体系在相空间中代表点的密度,在 运动过程中保持不变 物理含义:同一力学体系在不同的初始状态所构成的不 同代表点,它们各自独立地沿着正则方程所规定的轨道 运动当这些点构成的区域随时间运动到另外一个区域 时,在新的区域,代表点的密度,等于在出发区域中的密 度 设体积元为dz=dgdq2 dq dp dp2… 其中代表点的数目为dN,代表点的密度为a则 dn= pdc 般密度o随时随地不同,所以从 P=p(;q12q2…qs:P1,P2…,p,)
刘维定理: 保守力学体系在相空间中代表点的密度, 在 运动过程中保持不变. 物理含义: 同一力学体系在不同的初始状态所构成的不 同代表点,它们各自独立地沿着正则方程所规定的轨道 运动.当这些点构成的区域随时间运动到另外一个区域 时, 在新的区域, 代表点的密度,等于在出发区域中的密 度. 设体积元为 其中代表点的数目为dN, 代表点的密度为, 则 一般密度随时随地不同, 所以从 d = dq1 dq2 dqs dp1 dp2 dps dN = d ( ; , , , ; , , , ) q1 q2 qs p1 p2 ps = t