《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第十八讲 哈密顿正则方程

第十八讲 哈密顿正则方程

第十八讲 哈密顿正则方程

本讲导读 勒襄特变换 正则变量相空间相点 哈密顿正则方程 守恒定理

本讲导读 • 勒襄特变换 • 正则变量 相空间 相点 • 哈密顿正则方程 •守恒定理

勒襄特变换 在方程中,把一组独立自变量变为另一组独立自变 量的变换,叫勒襄特变换. OL aT 定义广义动量paan0a OL 则由拉氏方程得p 如果把广义动量和广义坐标作为独立变量,则 qn=q2(D1,P2…,p。,q12q2;…;q,D) 从而拉氏量L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数 L=L(P12P2…P,q2q2…q,2t)

一、勒襄特变换 在方程中, 把一组独立自变量变为另一组独立自变 量的变换, 叫勒襄特变换. 定义广义动量    q T q L p     =   = 则由拉氏方程, 得   q L p    = 如果把广义动量和广义坐标作为独立变量, 则 ( , , , , , , , , ) 1 2 1 2 q q p p p q q q t  s  s    =  从而拉氏量L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数 ( , , , , , , , , ) 1 2 1 2 L L p p p q q q t =  s  s

二、正则方程 当认为L是广义坐标,广义速度和时间的函数时 OL OL OL dL da +da +dt at 考虑广义动量的定义,得 dL=∑(dgn+p,din)+d 对于哈密顿量H(p,q1)=-L+∑p29a 可得 dH=dL+∑(pdn+4p)=∑(pdn+qn)-d C=1

当认为L是广义坐标,广义速度和时间的函数时 t t L q q L q q L L s d d d d 1   +          +   = =       考虑广义动量的定义, 得 二、正则方程 ( ) t t L L p q p q s d d d d 1   =  + + =       对于哈密顿量 = = − + s H p q t L p q 1 ( , , )     可得 ( ) ( ) t t L H L p q q p p q q p s s d d d d d d d 1 1   = − + + =  − + − = =             

H作为广义动量,广义坐标和时间的函数,又有 OH OH OH dh ∑ da t-d dt 由于动量,坐标和时间都是独立的,所以 H aH 哈密顿正则方程 相应的广义动量,坐标叫做正则变量,它们组成的2维 空间叫相空间,一组数值对应相空间中一点,叫相点

H作为广义动量, 广义坐标和时间的函数,又有 t t H p p H q q H H s d d d d 1   +          +   = =     由于动量, 坐标和时间都是独立的,所以 ( 1,2, ,s) q H p p H q    =          = −   =      ——哈密顿正则方程 相应的广义动量, 坐标叫做正则变量, 它们组成的2s维 空间叫相空间, 一组数值对应相空间中一点,叫相点