线性定常系统典范分解方法与评注

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1988.02.031 北京钢铁学院学报 嘴0卷第2期 Journal of Beijing University Vol,10 No.2 1能8年4月 of Iron and Steel Technology Apr.1988 线性定常系统典范分解方法与评注 董木森 《自控教研室) 摘 要 线性定常系统的状态空间可按能控性。能观测性进行分解。针对现有文献给出 的典范分解形式不尽相同，本文整理推导出种分解方法，这些方法能给出统一的 典范分解式，举例说明它们其体实施分解的步漆，并对若干问题作出简短的评 注。 关键词：线性定常系统，能控性，能观测性，典范分解 Methods and Comments of Linear Constant System Canonical Decomposition Dong Musen Abstract It is known that the state space for time-invariant linear system can be decomposed into different canonical forms with regard to its con- trollability and observability.In this paper proposes four decomposition methods which leads the state space up to an unit and casy-calculated canonical form,and also give an example to show how to use the me- thods and some comments on some problems related to. Key words:linear system,controllablity,observability,canonical decomposition 1987一04-28收稿 209

卷第 期 年 月 北 京 钢 铁 学 院 学 报 。 。 。 滋命 袄与 ‘ 内 目巨， ， ，曰 目卜目喇目 山， 网曲叫 一 一 一 巨份吧 ， 一一 一 叭一 一 一一一 一 一一 ，一 网 线性定常系统典范分解方法与评注 董木森 自控教研室 》 摘 要 线性定常系统的状态空间可按能控性 能观测性进行分解 针对现有文献给出 的典范分解形式不尽相同 ， 本文整理推导出 种分解方法 ， 这些方法能给出统一的 典范分解式 ， 举例说明它们具体实施分解的步骤 ， 并对若干 问题作 出 简 短 的 评 注 。 关锐词 线性定常系统 ， 能控性 ， 能观测性 ， 典范分解 ” 夕 卜 一 一 ， 权 ， ， ， 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1988．02．031

前 言 把线性系统的状态空间按能控性、能观测性进行结构分解是状态空间分析中一个十 分重要的内容，在理论上它揭示了系统状态空间的基本特性：一般情况下，它由4个不同 的子空间所组成，系统的传递函数阵仅反映系统能控能观测子空间的特性，这为系统内在 特性的分析和最小实现的提出，提供了理论依据。在工程上它与系统的状态反馈、系统 的镇定等问题都有密切的关系。 对于一个不完全能控和不完全能观测的线性系统，已经证明：经过适当的坐标变换 能将它分解成“典范形式”1~3)，但在具体实施分解时，据现有各文献指出方法所 得结果在形式上却各不相同，且在某些方面尚存在一些困难。为此，本文整理总结出定 常线性系统典范分解的4种方法。 1 典范分解的方法 给定不完全能控和不完全能观测的系统为 x=Ax+Bu (1) y=Cx 其中：xERn,u∈Rx,y∈Rm1 A∈Rnxn,B∈Rnxr,C∈Rmxn 则一定存在非奇异的坐标变换阵T∈R、“,使得在作变换x=Tx后，有C1) ￥=A￥+Bu (2) y=Cx 其中： A11 0 0 0 0 d= A31 A32 0 0 B= B: C=〔C:C200〕 A31 0 A33 0 0 A: A3在，A4 B2 A1、A2、A,a、A44的特征值分别为系统(C,A,B)的不能控能观测、能控能观 测、不能控不能观测、能控不能观测因子。 方法1〔4) 若系统（1)矩阵A具有m个不同的特征值入、2、…m,则存在坐标变换阵T, 使得当作变换x=Tx后，得 210

毛‘ 一‘ 月 舌 把线性系统 的状态空 间按能控 性 、 能观测性进行结 构分解是状态空 间分析 中一个十 分重要的 内容 ， 在理论上它揭示了系统状态空 间的基本特性 一般 情况下 ， 它 由 个不 同 的 子空 间所组成 ，系统 的传递 函数阵仅反映系统能控能观测 子空 间的特性 。 这为 系统 内在 特性 的分析和最小实现的提 出 ， 提 供 了理论依据 。 在工程上它与系 雏的状态反馈 、 系统 的镇定等 问题都有密 切约 关系 。 、 一 ‘ · ， 对 于一 个不完全 能控 和 不 完全能观测 的线性 系统 ， 已经证明 经 过适当的坐标 变换 能将它分解 成 “ 典范形式” 〔 ‘ 一 〕 ， 但在具体实施 分解时 ， 据现有各文献 指 出 方 法 所 得 结果在 形式 上却 各不相 同 ， 且在某些 方面尚存在一些 困难 。 为此 ， 本文整理 总结出定 常线性 系统 典范 分解 的 种方法 。 典范分解的方法 给定不完 全 能控和 不完 全 能观测 的 系统为 了妥 二 月 二 飞 一 二 其 中 〔 ‘ ’ ， 〔 “ 又 ” ， “ 〔 “ ， 〔 “ 〔 火 ， 〔 ‘ ” 则 一 定存在非 奇 异 的坐标 变换 阵犷‘ ” “ ’ ， 使得在作 变换万 护汾后 ， 有 山 ︸ 林 ︹ ︵ 了 义 、声气了 、 其 中 几及 一 ︸ ， 月 ， 月 己一 己 成 。 〕 月 一一 、 月 、 、 且 ， 的 特征值分别 为系统 ， 测 、 不能控不 能观测 、 能控不 能观测 因子 。 方法 〔 〕 若系统 矩 阵 具有 个不 同 的特征 值只 ，、 使 得 当作 变换 二后 ， 得 搜 ， 的不能控 能观测 、 能控能观 只 、 … 六 ， 则 存在坐标 变换 阵

y-Cx 其中： 0 众= 4- 0 Am 月1 B- B1- Bis B= 62 6 i c=cC,c2…C),C=〔仑.Cc:a,〕 C1,=CCC2…Cii〕 i=1,2,,m,j=1,2,,r(i),AiER 这里A:表示所有与特征值入：相关的！ordan块，r(i)是A:中Jordan块的数目，A1, 是A1中第j个Jordan块，而B:j,C:是与之相应的分块矩阵。个是由矩阵A相应于特 征值入1、入2、…入的线性无关的特征向量和广义特征量作为列，按适当的顺序排列起 来所构成的n×n矩阵。 至此，则可对每一三元组(C:,A:,B:,）依据有关判据判断各状态变量组在状 态空间中的属性。如需要，还可对其中某个（些）三元组进行更进一步的变换与判断。 从而得出每个状态变量的属性，并将它们归并到相应的子空间，最后即完成对系统(1) 的典范分解。此时所得是典范分解式(2)的一个特例： A21=A1=A41=A42=A4s=0。 方法2 此法基于下述两点结论： (1)如果系统(C、A、B)是不完全能观测的，则存在非奇异的坐标变换阵 T·,作变换名=T°x能使得系统具有如下形式 r =A花+B0u y=Cox 211

八 、 、 洲内 、 洲、 勺 洲、 二 其中 戈 久， 久 久 一 八 、 了 、盆卫 ‘从 一 击八、 ︿月 八 方 凡︿入 一 ︿ 凡︿ · 凡八 ，厅卫‘厂、 ‘厄，、 ︿ · ︿ 〔 ” · 〕 〔 … 〕 、声 〔 一 ，… ， ， ’ 二 ， ， ， … ， 艾 这 里 ，表示所有与特征值久 相关 的 块 ， 是 中 块的 数 目 ， 是刁 中第 个 块 ， 而 ， 是与之相应 的 分块矩阵 。 征值久 、 只 、 …只 的线性无关的特征向量和广 义特征量 作为 列 来所构成的 火 矩阵 。 是 由矩阵 相 应 于特 按 适当的顺序排列起 至此 ， 则可对每一三元组 ， ， 月 ，， 依据有关判 据判 断 各状态变量组在状 态空 间中的 属性 。 如需要 ， 还可对其 中某个 些 三元组进行更进 一步的 变换与判 断 。 从而得 出每 个状态变量 的属性 ，并将它们 归并到相应的子空 间 ，最后 即完成对系统 的典范分解 。 此时所得 是典范分解式 的一 个特例 ， ‘ 月 ‘ 二 。 方法 此法基于下述两 点结论 如果系统 、 、 是不完 全能观测 的 ， 则存在非奇异 的 坐 标 变 换 阵 “ ， 作变换 、 劣 ” 能使得 系统具有 如下 形式 、 二 二 。 、 劣 劣

其中： A011 0 }99 B°1) ga A0= B0= (A°21A°22J in-ga B in-ga gp n-ga Co=〔C0〕}m ga n-gp qa=rank〔C'A'C'…(An-1'C)' T的构造方法：从系统的能观测性矩阵中选取q个独立的行向量，令其为μ1、2 μ，再选n-gB个行向量μg+,μ，使μ1，μ2…μ。为Rxn的一组基底，令 T0=〔μ'1…μ'a)'即可。 (2)如果系统(C,,B)是不完全能控的，则存在非异坐标变换阵T,使得在 作坐标变换x=Tx后，系统有如下形式 ￥=Aex+Bu ly✉Cx 其中 Ai1 0）}n-qa 0n-ga A5= B:= tA549。 NB}qa n-ga ga C=〔C:C〕}m n-ga qa g。=rank (B 4 B(A)-B〕 T的构成方法：从系统的能控性矩阵中选取q。个独立的列向量，令其为V。:, Va-1,…,V1,再选n-9a个列向量Vn,Va-1,…Vaa+1,使得Vn,…V为Rax的一 组基底，令Te=〔Va,…V:〕1即可。 用方法2进行典范分解的步骤是：首先将待分解系统按能观测性分解，然后将每一 部分按能控性分解，最后即得所要求的典范分解式。 方法3 212

其 中 ， “ 、 一 尸 夕 、 ，， 声 一 刀 一 口 …” 一 ， “ ” ’ ’ ‘ 。 一 呈 …全 一 ， 〔 昙‘ 尸 尸 刀 〕 ， 炸一 刀 ， 己 〔 ， ， ， … 一 ‘ ‘ ， 〕 ， ” 的 构造方 汇 从系统 的能观测 性矩 阵中选取 口个独立的行 向量 ， 令其为 林 、 协 … 卜，，， 再选 一 ， 个行向量 林 ， ， ， … 件 ， 使 “ ，， 林 … 林 。 为 ‘ ” 的 一 组 基 底 ， 令 “ 〔 协， … … 卜， 。 〕 尹 即可 。 如 果系统 ， ， 是 不完全能控的 ， 则 存在非异坐标变换阵 “ ， 使得在 作坐 际变换 “ 二后 ， 系统 有如 下形式 戈 “ 沼 人 二卜 其 中 ，‘ 一 全 一 。 、 一 。 孟、 、 产 副 炸 一 孟 一 户 曰 “ 。 、 卫 “ 〔 全 盆〕 二 粗 一 。 二 〔 一 、 八、 ” 一 〕 ‘ 的构成方法 从系统 的能控性矩 阵 中选取 。 个独立 的 列 向 量 ， 令 其 为犷。 。 ， 。 口 一 ， 一 ， 犷 ， 再选 一 。 个列 向量 犷 ， 。 一 ， … 犷 ， 。 、 ， 使得 厂 。 ， 一 犷， 为 ” ‘ ” 的一 组基底 ， 令 “ 〔 犷 。 ， 一厂 〕 一 ‘ 即可 。 用 方法 进行典范分解 的步骤 是 首先将 待分解系统 按能观测性 分解 ， 然后 将每 一 部分按能控性分解 ， 最后 即得所 要求 的典范分解式 。 方法

此法也是分两步进行：首先将待分解系统按能观测性分解，得(C°，A°，B), 然后令 （A)-1B0) Q: 〔BAB0… 其中Q。=〔B:AB(A)-B〕 R 选取非异矩阵T∈Rn×", P 0 Q: 0 R: 它能使得有T 号年年 0 P2 R2 则T便能将(C°，A°，B9)变换成所需的典范分解式。 方法4C1) 此法是寻找出坐标变换阵T,对给定系统(C,A,B)进行一次坐标变换得出所需 的典范分解式。T是通过如下方法得到的。 令U=〔BAB…A-B〕V=〔CA'C…(An-1)'C')' 设rank U=qa<n, rank V=q8<n rank VU=g 选取(qB-qa)×mn的矩阵P1,并使之满足 P,VU=0且rank P,V=qa-g 令t1=P1V 选？×mn的矩阵P2,使之满足 (PiV rank =98 令 t2 PaV P2Vi 选(n-qa-q。+g)×m矩阵t3,使之满足 t. t3U=0, rank =n-ga 最后选（q。-q)×mn矩阵t4,使得 t h t2 f2 rank 则T= 就是所需的变换阵。 213

此法 也是 分两步进行 首先将待分解系统按能观测 性分解 ， 得 。 ， 。 ， “ 然后令 八 三卜 〔 ” 。 ” 一 ‘ 。 〕 “ 川 其 中 。 二 〔 全 卜 翌 一 ‘ 冲 。 少 选取非异矩 阵 〔 ” ‘ ” ， 尸 尸 尸 。 “ … ‘ 它 能使得有 犷 一 “ 气左 杖 则 便能将 。 ， “ ， 。 变换成所需的 典范 分解式 。 方法 〕 此法是 寻找 出坐标变换阵少 ， 对给定系统 ， 月 ， 进行一次坐标变换得 出所需 的典范分解式 。 于是通过如下方法得到 的 。 令 二 〔 … 一 ‘ 〕 犷 〔 ， ， ， … 注 一 ‘ ‘ ， 〕 ， 设 。 ， 犷 ， 犷 二 选取 神一 。 。 的矩阵尸 ， 并使之满足 ， 且 ，犷 ，一 令 尸 ，厂 选 ” 的矩阵尸 ， 使之满足 ， 价“ ， 尸 的 矫 二 尸 犷 选 ， 一 月 一 。 又 。 林矩阵 ， 使之满足 ， 之 邓 一 。 最后选 。 一 矩阵 ‘ ， 使得 人儿 ︸一一 八川 一 … 九 进 八 就是所需的变换阵