《信号与线性系统分析》课程教学资源（教案讲义）第四章 连续系统的频域分析

、奇偶函数的付里叶系数的特点 1、为偶函数:f(-t)=f(t),关于纵坐标对称。 a=(2/T)J-T/2 f(t)cos (nQt)dt (2/T)5T/2f(t)cos(nQt)dt+(2/T)52f(t)cos (nQt)dt a=(4/T)of(t)cos(nQt)dt b,=(2/T)IT/2f(t)sin(nQt)dt+(2/T)f(t)sin (nQt)dt ∴bn=0. 当f(t)为偶函数时 an=(4/T)5of(t)cos(nQt)dt An=|an bn/a=0 qp=mπ arctgb/an角度为0,π 2、f(t)为奇函数。F(-t)=-f(t),波形关于原点对称 当f(t)为奇函数时: b=(4/T)f(t)sin(n9t)dt'qn=(2m+1)/2.b,/a→∞. ∴奇函数只有正弦项。 ★任意函数 f(t)=fa(t)+f。(t) f。(t)=(f(t)-f(t)/2. f(t)=fod(t)+fev(t)=-fod(t)+fer(t f。(t)=(f(t)+f(-t)/2. 3、f(t)为奇谐函数。(半波对称函数) f(t)=-f(t址/2),移动T/2后,关于横轴对称 f(t)f(t-T/2) 付里叶级数只含奇次谐波,不含偶次谐波。 a0=a2=a4=a6=,b=b2=b4=..=0

6 二、奇偶函数的付里叶系数的特点: 1、为偶函数：f(-t)=f(t),关于纵坐标对称。 an=(2/T) f(t)cos(nt)dt =(2/T) f(t) cos(nt)dt +(2/T) f(t) cos(nt)dt ∴an=(4/T) f(t) cos(nt)dt bn=(2/T) f(t)sin(nt)dt+(2/T) f(t)sin(nt)dt ∴ bn= 0. 当 f(t)为偶函数时 an=(4/T) f(t) cos(nt)dt An= |an| bn/ an=0 bn= 0 n= m arctgbn/an角度为 0， 2、f(t)为奇函数。F(-t)=-f(t),波形关于原点对称。 当 f(t)为奇函数时： an=0 An= |bn| bn=(4/T) f(t)sin(nΩt)dt n= (2m+1)/2. bn/an→∞. ∴ 奇函数只有正弦项。 ★ 任意函数 f(t)=fod(t)+fev(t) → fod(t)=(f(t)-f(-t))/2. f(-t)= fod(-t)+fev(-t)= -fod(t)+fev(t) fev(t)=(f(t)+f(-t))/2. 3、f(t)为奇谐函数。（半波对称函数） f(t)=- f(tT/2),移动 T/2 后，关于横轴对称。 付里叶级数只含奇次谐波，不含偶次谐波。 a0= a2= a4= a6= b0= b2= b4==0

例4.2-2把锯齿波信号展为付里叶级数 解 f(t=t/T fer(t) 11 f(-t) foa(t) -t+T 方法1:f(t)=t/T既不是偶函数也不是奇函数, 直接在[0,们区间上求an,bn 方法二:把分为奇偶两部分 f。(t)=(1/2)[f(t)-f(-t)]=(1/2)[t/T+(t+1)/T=1/2. f。a(t)=(1/2)[f(t)+f(-t)]=(1/2)[t/T(-t+T)/T=t/T-1/2=(t-T/2)/T 奇函数部分分解为:an bn=(4/T)o[t/T-1/2]sin(nQt)dt (4/T2)Isin(nQt)-nQ2cos (nQt)1/(nQ)o T/2 +(2/T)[cos(ngt)]/(ng2)]0=-1/n.n=1,2,3 .f(t)=f(t)+fo(t)=1/2+e bn sin(nQt) 1/2-(1/x)[sing2t+(1/2)sin(292t)+(1/3)sin(3g2t)+. 锯齿波含直流分量和各次谐波分量。 三、周期信号分解为指数形付里叶级数。 1、定义式:(由三角形式推导)

7 例 4.2-2 把锯齿波信号展为付里叶级数。 解： 方法 1：f(t)=t/T 既不是偶函数也不是奇函数， 直接在[0,T]区间上求 an ，bn . 方法二：把分为奇偶两部分。 fev(t)=(1/2)[f(t)-f(-t)]=(1/2)[t/T+(-t+T)/T]=1/2. fod(t)=(1/2)[f(t)+f(-t)]=(1/2)[t/T-(-t+T)/T]=t/T-1/2=(t-T/2)/T. 奇函数部分分解为：an bn =(4/T) [t/T-1/2]sin(nt)dt =(4/T2 )[sin(nt)-ncos(nt)]/(n) 2 +(2/T)[cos(nt)]/(n)] =-1/n. n=1,2,3… ∴f(t)= fev(t)+fod(t)=1/2+ bn sin(nt) =1/2-(1/)[sint+(1/2)sin(2t)+(1/3) sin(3t)+…]. 锯齿波含直流分量和各次谐波分量。 三、周期信号分解为指数形付里叶级数。 1、定义式：（由三角形式推导）

f(t)=A/2+ h Acos(ns2t+ou =A/2+盖(A/2)[e+e"] f(t=盖Fnen 2、确定付里叶系数Fn Fn=(1/2)Anen+(1/2)[Ancosop )+jAn sino.=(1/2)(an-jbn) (1/2)(2/T)5-1/2 f(t)cos(nQ t)dt j(1/2)(2/T)T/2 f(t)sin(nQ t)dt (1/T)T/2f(t)[cos(n Q t)jsin(nQ t)]dt ∴Fn=(1/T)vzf(t)endt.n=0,±1,±2 3、物理意义:周期信号可分解为许多不同频率(nΩ)的虚指数信号(e加)之和。 每个分量的大小用Fn来表示,分为幅度和相位 ★各三角函数型和指数型付里叶级数及其系数,以及各系数间的关系见表4-1。 §4.3周期信号的频谱 、频谱的概念: 频谱分为 幅度频谱:以频率ω(或角频率Ω)为横坐标,An/|Fn丨为纵坐标 相位频谱:以频率ω(或角频率Ω2)为横坐标,q为纵坐标。 f(t)=A/2+ Ncos(nQ t+pn) A为直流分量幅度;A为n次谐波的振幅;q为n次谐波的初相角

8 f(t)=A0/2+ Ancos(nt+φn) = A0/2+ (An/2)[ej(nΩt+φn)+e -j(nΩt+φn)]。 ∴ f(t)= FnejnΩt 2、确定付里叶系数 Fn Fn=(1/2) Ane jφn +(1/2)[Ancosφn)+jAnsinφn]=(1/2)(an-jbn) =(1/2)(2/T) f(t)cos(nΩt)dt -j(1/2)(2/T) f(t)sin(nΩt)dt =(1/T) f(t)[cos(nΩt)-jsin(nΩt)]dt ∴ Fn=(1/T) f(t)e-jnΩt dt. n=0,±1,±2… 3、物理意义：周期信号可分解为许多不同频率(n)的虚指数信号(ejnΩt )之和。 每个分量的大小用 Fn 来表示，分为幅度和相位。 ★ 各三角函数型和指数型付里叶级数及其系数，以及各系数间的关系见表4-1。 §4.3 周期信号的频谱 一、频谱的概念： 频谱分为  幅度频谱：以频率 ω（或角频率）为横坐标，An/｜Fn｜为纵坐标。  相位频谱：以频率 ω（或角频率）为横坐标，φn 为纵坐标。 f(t)=A0/2+ Ancos(nΩt+φn) A0为直流分量幅度；An为 n 次谐波的振幅；φn为 n 次谐波的初相角

造钱包络 0468 周期信号的频谱是离散的。 结论:正如波形是信号在时域的表示一样,频谱则是信号在频域的表示。 描述了一个信号的频谱就等于描述了这个信号。 信号分解:从已知信号绘制其频谱图。 合成:根据其频谱图反过来和成原有的信号。 波形f()分频谱 Fn与An比较 An:每条谱线代表一个完整的谐波分量的幅度,物理意义明确 Fn:从数学上将cosnΩt分成e和en,有负频率,没有物理意义。变化趋 势一致都可进行信号的频谱分析。|Fn|=(1/2)An 3、周期信号频谱的特点:离散性;谐波性(是基波频率的整数倍) 二、周期矩形脉冲的频谱 f(t)幅度为1,脉冲宽度为τ;周期为T 1、求频谱:f(t)=hnen Fn=(1/T)51/2f(t adt=(1/T)I- e-inatdt (τ/T)[sin(ngτ)/(ng)]=(τ/T)[sin(ng/2)/n2τ/2)] (τ/T)Sa(ng/2) 或g=2π/T.Fn=(τ/T)[sin(n2r/2/(n2x/2T)] =(τ/T)Sa(nπτ/2).N=0,±1,±2..(1)

9 周期信号的频谱是离散的。 结论：正如波形是信号在时域的表示一样，频谱则是信号在频域的表示。 描述了一个信号的频谱就等于描述了这个信号。 信号分解：从已知信号绘制其频谱图。 合成：根据其频谱图反过来和成原有的信号。 波形 f(t) 频谱 Fn 与 An 比较： An：每条谱线代表一个完整的谐波分量的幅度，物理意义明确。 Fn：从数学上将 cosnt 分成 e jnΩt和 e -jnΩt，有负频率，没有物理意义。变化趋 势一致都可进行信号的频谱分析。｜Fn｜=(1/2)An. 3、周期信号频谱的特点：离散性；谐波性（是基波频率的整数倍）。 二、周期矩形脉冲的频谱。 f(t)幅度为 1，脉冲宽度为;周期为 T. 1、求频谱：f(t)= nejnΩt Fn=(1/T) f(t) e -jnΩt dt=(1/T) e -jnΩt dt =(/T)[sin(n)/(n)]=(/T)[sin(n/2)/(n/2)] = (/T)Sa(n/2) 或=2/T. n=(/T)[sin(n2/2T)/(n2/2T)] =(/T)Sa(n/2). N=0,1,2 (1)

f(t)=-(τ/T)Sa(nπτ/2)e°是指数形式的付里叶级数展开式。 由(1)式画出矩形脉冲信号频谱图。设T=4τ Fn=(τ/4τ)Sa(nrτ/4τ)=(1/4)[sin(n/4)/(n/4)] sin(nr)/(nπ) n=0Fo=1/4=0.25[∵Sa(x)=1,当x0时] n=1F1=sin(x/4)/x=0.225 4 salz n=2F2=sin(x/2)/2r=0.16 n=3F3=sin(3x/4)/3x=0.075 n=4F=sin(π)/4x=0. n=5Fs=sin(5π/4)/5兀=-0.045 n=6F6=sin(3/2)/6=-0.053.n=7F=sin(7π/4)/7=0.032 n=8F8=sin(2π)/8兀=0 特点:1、是离散的,仅含有=nΩ的各分量。(n取整数)。 2、谱线间隔为g2(g=2π/T) T个间隔小,密 T间隔大,疏 3、第一零点在2π/τ处,与τ有关tτ↑主瓣宽 主瓣窄。 2、脉冲宽度与频谱的关系:;直流分量F。=τ/T↓ 频带宽度AF=1/τ个 保持第一零点内能量不变

10  f(t)= (/T)Sa(n/2) e jnΩt 是指数形式的付里叶级数展开式。 由（1）式画出矩形脉冲信号频谱图。设 T=4 Fn=(/4)Sa(n/4)=(1/4)[sin(n/4)/(n/4)] = sin(n)/(n) n=0,1,2 n=0 F0 =1/4=0.25 [∵Sa(x)=1,当 x→0 时] n=1 F1= sin(/4)/=0.225. n=2 F2= sin(/2)/2=0.16 n=3 F3= sin(3/4)/3=0.075. n=4 F4= sin()/4=0. n=5 F5= sin(5/4)/5=-0.045. n=6 F6= sin(3/2)/6=-0.053. n=7 F7= sin(7/4)/7=-0.032. n=8 F8= sin(2)/8=0. 特点：1、是离散的，仅含有=n的各分量。(n 取整数)。 2、谱线间隔为（=2/T） T 间隔小，密 T 间隔大，疏 3、第一零点在 2/处，与有关  主瓣宽  主瓣窄。 2、脉冲宽度与频谱的关系： 直流分量 F0=/T 频带宽度F=1/ ∴ 保持第一零点内能量不变