4.1.1能控性定义 定义4-1[能控性]线性连续定常系统的状态方程 x=Ax+Bu (4-1) 如果对任意初始状态x(t,)=x,和任意终端状态()=x, 存在一个无约束容许输入u(t),能在有限时间区间[t内！ 使系统状态由转移到 x则称此系统或 (对是状 态完全能控的，或简称此系统或 (猎是能控的。否则， 则称此系统或 对趣状态不完全能控的，或简称不 能控。 说明： 对状态转移的轨迹没有规定，表征了能控性的定性特点 ·无约束容许输入是指的每个分量的幅值没有加以限 制，但山的每个分量均需在时间区间[，]上平方可积
4.1.1 能控性定义 定义4-1[能控性]线性连续定常系统的状态方程 （4—1） 如果对任意初始状态 和任意终端状态 ， 存在一个无约束容许输入 ，能在有限时间区间 内， 使系统状态由 转移到 ，则称此系统或 对是状 态完全能控的，或简称此系统或 对是能控的。否则， 则称此系统或 对是状态不完全能控的，或简称不 能控。 说明： •对状态转移的轨迹没有规定，表征了能控性的定性特点 •无约束容许输入是指 的每个分量的幅值没有加以限 制，但 的每个分量均需在时间区间 上平方可积 x Ax Bu 0 0 x(t ) x 1 x( ) xf t u(t) [ , ] 0 1 t t 0 x x f (A,B) (A,B) (A,B) u u [ , ] 0 1 t t
能控性举例 例4一1考虑图4-2(a)、(b)所示电路系统的能控性。 u(t (t) (a) (b) 图4-2 不能控电路系统 结论：利用能控性定义，能够对简单的系统进行能控性判断。 但分析一般系统的能控性，需要能控性判别准则
能控性举例 例4－1 考虑图4-2(a)、(b)所示电路系统的能控性。 u(t) R R R C x y C C R R u(t) x1 x2 R (a) (b) 图4-2 不能控电路系统 结论：利用能控性定义，能够对简单的系统进行能控性判断。 但分析一般系统的能控性，需要能控性判别准则
4.1.2线性定常系统的能控性判据 1、线性定常系统的能控性判据 定理4-1[能控性格拉姆矩阵判据]线性连续定常系统 文=Ax+Bw 为完全能控的充分必要条件是，存在时刻>0，使 如下定义的格拉姆矩阵 .(O,t)=eBB"edt (4一3) 为非奇异。 证明：见教材P115 格拉姆矩阵判据主要用于理论分析和推导
8 4.1.2 线性定常系统的能控性判据 定理4-1[能控性格拉姆矩阵判据]线性连续定常系统 为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使 如下定义的格拉姆矩阵 (4—3) 为非奇异。 x Ax Bu 0 t1 1 1 0 (0, ) A A W BB t T t T t c t e e dt 证明：见教材 P115 格拉姆矩阵判据主要用于理论分析和推导 1、线性定常系统的能控性判据
定理4-2[能控性秩判据]线性连续定常系统 x=Ax+Bu 为完全能控的充分必要条件为 rank[B AB .A"-B]=n (4-13) 式中，n为矩阵A的维数。 U=「BAB A"-B1 (4-14) 称为系统的能控性判别矩阵。 证明：见教材P116 秩判据在线性定常系统的能控性判别中被经常应用 式(4一13)等价于矩阵U行满秩
9 定理4-2[能控性秩判据]线性连续定常系统 为完全能控的充分必要条件为 （4—13） 式中，n为矩阵A的维数。 （4—14） 称为系统的能控性判别矩阵。 x Ax Bu 1 [B AB A B] n rank n 1 U [B AB A B] n 证明：见教材 P116 秩判据在线性定常系统的能控性判别中被经常应用 式（4—13）等价于矩阵 U 行满秩
推论： (1)对于单输入系统，能控性判别矩阵为方阵，则有 (A,b)能控→U非奇异台detU≠0 detU的值表示了系统能控的程度，即能控度。 dtU的值大表示系统远离不能控，即能控度大。 能控度的有物理意义为当通过状态反馈移动极点位置时， 同样的移动距离，能控度越大，所需反馈增益越小，反 之，所需反馈增益越大。 对于多输入系统有类似的关系和性质。 (2)对于多输入系统，U阵非方，UU为方阵，则有 (A,B)能控←→U'非奇异 则能控度即为detU'U的值
10 推论： （1）对于单输入系统，能控性判别矩阵为方阵，则有 能控 非奇异 的值表示了系统能控的程度，即能控度。 的值大表示系统远离不能控，即能控度大。 能控度的有物理意义为当通过状态反馈移动极点位置时， 同样的移动距离，能控度越大，所需反馈增益越小，反 之，所需反馈增益越大。 对于多输入系统有类似的关系和性质。 （2）对于多输入系统， 阵非方， 为方阵，则有 能控 非奇异 则能控度即为 的值。 (A,b) U detU 0 detU detU T U U U (A, B) T U U det T U U