北京邮电大学：《通信系统原理》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 数字基带传输系统（1/2）

1.证明s(t)是循环平稳随机过程循环平稳随机过程的定义：数学期望和自相关函数是时间的周期函数数学期望：+0+00gr(t-nT,)E(s(t) = ZE(anigr(t-nT,)= man=-00n=-00故E(s(t))是周期函数，周期为T常数（a，的统计平均值）:s(t)的auto-correlation function:R,(t,t+t) = E(s(t)s(t +t) = ZE(anat)gr(t -nT,)gr(t+t - kT,)n=-00k=-00(an}广义平稳，故 E(a,a}=E(anantm}=R(m)

• 1. 证明s(t)是循环平稳随机过程 • 循环平稳随机过程的定义：数学期望和自相关函数是 时间的周期函数 • 数学期望： 故 是周期函数，周期为Ts • s(t)的auto-correlation function: {an}广义平稳，故   + =− + =− = − = − n T s n n T s a E{s(t)} E{a }g (t nT ) m g (t nT ) 常数（an的统计平均值） E{s(t)} ( , ) { ( ) ( )} { } ( ) ( ) T s n k s n k T s R t t + = E s t s t + =  E a a g t − nT g t + − k T + =− + =−    E{a a } E{a a } R (m) n k = n n+m = a

·因此有R.(t,t+ t) = E(s(t)s(t+t))+o= Z ZR.(m)gr(t-nT,)gr(t+t-nT, -mT,)n=-00m=-00++0NR(m) Zgr(t-nT,)gr(t+ T -nT, -mT,)m=-oon=-00周期函数，周期为T即s(t)的自相关函数为周期函数。结论1：s(t)是循环平稳随机过程

• 因此有 • 即s(t)的自相关函数为周期函数。 • 结论1：s(t)是循环平稳随机过程。     + =− + =− + =− + =− = − + − − = − + − − + = + m s T s s n a T T s s n m a T s s R m g t nT g t nT m T R m g t nT g t nT m T R t t E s t s t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) { ( ) ( )}     周期函数，周期为Ts

2. 求R.(t,t + t) 白的时间平均值： R.(t)T./21R,(t,t+t)dtRCTT-T,/2Ts/2+8+80NR.(m) (Zgr(t-nT,)gr(t+t-nT, -mT,)dtm=-0-T,/2 n=-00+0+8+8NR.(m)Z了gr(t)gr(t +t -mT,)dtm=-80n=-00-00g(t)的自相关函数则:>R.(m)R.(t -mT,)RZm=-00

• 2. 求 Rs (t,t + ) 的时间平均值： () Rs R m g t g t m T dt R m g t nT g t nT m T dt R t t dt T R m T s n a T m s T s s n T T T a T T s s s s s s s        + =− + =− + − + =− + − =− − = + − = − + − − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 1 ( ) 2 2 2 2     g(t)的自相关函数  + =− = − m a g s s s R m R mT T R ( ) ( ) 1 ( )  则：

·3.求PSDZ R.(m)[ Rg(t- mT,)e-12* dtP,() = F(R,(t)Tm=-o0+80-R (m)e-j2fm7,Z[R(t-mT,)e-j2(t-mT,)d(t-mT,)1o1P.(f)Gr(f)PSD的一般表达式T其中: P(f)= 艺R。(m)e-J2mT.(an}的PSDm=-00Gr(f) = F(gr(t))

• 3. 求PSD 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) { ( )} P f G f T R m e R m T e d m T T R m R m T e d T P f F R a T s s j f m T m g s j fmT a s j f m a g s s s s s s = = − − = = − − − + =− + − − − + =− + −               PSD的一般表达式  + =− − = m j fmT a a s P f R m e 2 其中： ( ) ( ) {an}的PSD GT ( f ) = F{gT (t)}

结论：MPAM数字信号的PSD与a,的PSD及脉冲载波gr(t)的频谱特性G(f)有关·合理地选择载波波形和,a,就能有效地控制P.(f)的形状·而Pa(f)是周期为Ts的周期函数，P。(f)=R。(m)e-j2fmT,mRa(m)是其Fourier级数的系数，即：1/2T,R.(m) = T, [ Pa(f)ej2fm dfz91-1/2T

结论：MPAM数字信号的PSD与{an }的PSD及脉冲载波 gT(t)的频谱特性G(f)有关。 • 合理地选择载波波形和{an }就能有效地控制Ps (f)的形状。 • 而Pa(f)是周期为Ts的周期函数， Ra(m)是其Fourier级数的系数，即：  + =− − = m j fmT a a s P f R m e 2 ( ) ( )  − = s s s T T j fmT Ra m Ts Pa f e df 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 