.第】章无机材料的受力形变 定义横向变形系数以： n=8=e (1.7) 式中μ为泊松比。显然，泊松比是一个无量纲的物理量。 由式(1.7)可得 6,=-ue:=-u2,6:=-μ管 (1.8) 如果上述长方体各面分别受均匀分布的正应力。，、，则任一方向上总的正 应变为3个应力分量在这一方向上所分别引起的应变分量的加和，即 ,=[o,-u(a,+a)] g=e[a,-μ(a:+)门 (1.9) ,=[a,-a(o十)门 对于剪切应变，胡克定律则可以写成 Y=老 (1.10) =老 式中，G称为剪切模量或刚性模量。 对于各向同性的均匀连续体，弹性模量E、剪切模量G和泊松比：之间有下列关系： G=21+4 (1.11) 另一个较为重要的参数是材料的体积模量。考虑一个特殊的情况：如图1.4所 示的长方体受到了一个各向同等的压力（等静压）P作用，即：，=，=,=一P。这 时由式(1.9)可以得到： e=e,=e,=6,=[-P-a(-2P)]=f(2u-1) (1.12) 相应的体积变化为 ￥=1+e01+e01+e)-1 将上式展开，并略去应变e的二次项以上的徽量得到 '≈3e=3瞿(2μ-1) (1.13)
6 无机材料物理性能 材料的体积模量K定义为使材料发生单位体积形变所需的各向同等压力。由 上面的推导不难得出体积模量 K=a品-32D-312p -E (1.14) 上述关于各弹性常数的定义都是针对各向同性体给出的。对于大多数多晶体材 料，虽然组成材料的各晶粒在微观上都具有方向性，但因品粒数量很大且随机排列， 宏观上都可以当作各向同性体处理。一些非晶态固体如硅酸盐玻璃等，宏观上也可 以视作各向同性体。 金属材料的泊松比一般介于0.29一0.33之间。大多数无机材料的泊松比则略 小一些，一般为0.2~0.25。各向同性无机材料的弹性模量E随材料的不同变化范 围很大，约为几十到几百GPa。表1.1列出了一些典型无机材料的弹性模量数值。 表1.1一些典型无机材料的弹性模量数值 材料 E/GPa 材料 E/GPa 氧化铝晶体 380 密实SiC(气孔率5%) 470 烧结氧化铝（气孔率5%） 高铝瓷(90%~95%AlO) 38 烧结稳定Z02(气孔率5%) 150 莫来石瓷 烧结氧化饺（气孔率5%） 310 滑石瓷 69 热压BN(气孔率5%) 83 热压氮化硅 300 烧结MgO(气孔率5%) 110 BaTiO, 烧结MoSi(气孔率5%) 407 CaF2 160 烧结TiC(气孔率5%) 310 钠钙玻璃 74 烧结MgAl2O,(气孔率5%) 238 硅酸盐玻璃 61 1.2.2单晶的弹性常数 单晶、具有织构的材料以及纤维增强的复合材料等则具有明显的方向性。在这 种情况下，各种弹性常数随方向而不同。描述这类材料在弹性形变阶段的应力-应 变关系就需要借助于所谓的广义胡克定律。 对于各向异性材料，E≠E,≠E。卡=卡如。它们在受单向正应力o作用 时，y方向的应变为 es -Uae,-Ba B -Sud. (1.15) 式中，S1=一台，称之为弹性柔顺系数。 同理， eg=-影=S,S1=-置
7 .第1章无机材料的受力形变. 6m-=So,S= 柔顺系数S的下标中，十位数表示应变方向，个位数为所受应力的方向。 对于同时受有三向应力的各向异性材料，除法向应力分量对应变分量有上述关 系外，剪应力分量也对正应变分量有影响，同时，法向应力分量也会对剪应变分量有 影响。各应变分量通式形式为 E,=Sadu Saay+Sadm+Sutn Sita+Sat E:=Ssidu+Ss:ap +Ssda +Sutx+Ssste+Ssst (1.16) Yx-Saldu +Sxdy Sssdm Suts Ssta Sut Yu=Ss1am+Ss20>Sssaa+Ssts +Sssta+Sst 式(1.16)中出现了36个弹性柔顺系数。但是，由于倒顺关系，S,=Sm,因此S 的数目减至21个。此外，晶体的对称性还可以进一步减少独立的弹性柔顺系数的数 量。例如对于斜方晶系（晶轴长度与轴间夹角特征为a≠b≠c,a=90),剪应力只影 响本平行平面的y而不影响正应变，S的数目可以减少为9个(S1、S2、S3、S4、S5s、 S、S2、S,S1)。六方晶系的S数量为5个(S、Sn、S4、S6、S,)；立方晶系为3 个(S、S4、S2). 式(1.16)表明，单晶体对外力的弹性变形相应取决于外力的作用方向，这就导致了单 晶体的弹性模量和剪切模量对方向的依赖性。许多无机材料都是由立方晶体构成的。可 以证明：立方晶体在一个特定方向上的弹性模量和剪切模量可以由下式计算得到： 元=S-2[(S-S:)-s]g+片6+店) (1.17) 后=S+4[(S:-S)-号s]号+5+) 式中1为方向余弦，即所考虑的方向相对于三个<100》轴向的方向余弦 以Mg0单晶体为例。MgO为立方晶系，在25℃时其3个独立的柔顺系数分别 为：5=4.03×10-2Pa1,S1=-0.94×102Pa1,S4=6.47×10-2Pa1。由 这些数据及方向余弦可以算出Mg0单晶在<100>，<110>，<111)等方向上的弹性常 数，计算结果列于表1.2。可以看出，各向异性晶体的弹性常数不是均匀的。 表1.2Mg0单晶体在不同方向上的弹性常数 方向余弦 方向 E/GPa G/GPa (1003 0 0 2482 154.6 110) 1/W2 1/W2 316,4 121.9 <111> 1/3 1W5 1/W3 348.9 113.8
8 .无机材料物理性能 1.2.3弹性模量的物理本质 弹性模量E是一个重要的材料常数。从 吸力 原子尺度上看，弹性模量E是原子间结合强度 的一个标志。图1,5示出了原子间结合力随原 子间距离的变化关系曲线，而弹性模量E则与 原子间结合力曲线上任一受力点处的曲线斜率 有关。在不受外力的情况下，曲线斜率tana反 原子间距离 映了弹性模量E的大小：原子间结合力弱（如 图中曲线l),a1较小，tana1较小，E,也就小， 斥力 原子间结合力强（如图中曲线2），a2和tana:都 较大，E2也就大。 图1.5原子间结合力随原子间距离 关系曲线 共价键、离子键结合的晶体结合力强，E都 较大。分子键结合力弱，这样键合的物体E较低。此外，改变原子间距离也将影响 弹性模量。例如压应力使原子间距离变小，曲线上该受力点处的斜率增大，因而E 将增大；张应力使原子间距离增加，因而E降低。温度升高，由于热膨胀，原子间距 离变大，E降低。这些都已被实验所证实。 多品多相材料表现出了典型的各向同性弹性性质。从物理本质上看，多晶多相 材料的弹性模量不再仅仅是原子间结合力曲线的斜率，还与材料的组成、显微结构以 及所存在的缺陷等密切相关。事实上，我们在考查多晶多相材料的宏观弹性形变行 为以及其他宏观力学行为时，也常常需要从显微尺度甚至徽观尺度上进行分析，找出 性能与结构之间的内在联系。 1.2.4多相材料的弹性模量 多相材料的弹性模量可以看成是组成该材料的各相弹性模量的加权平均值，多 相材料的弹性模量一般总是介于高弹性模量成分与低弹性模量成分的数值之间。为 了获得多相材料的弹性模量的估计值，可以采用不同的加权方法。最简单的加权方 法是假定材料中存在有均匀应变或均匀应力。例如，在两相系统中，假定组成材料的 两相具有相同的泊松比，在外力作用下两相的应变相同，则根据力的平衡条件，可得 到下面公式： Eu=EV+E:V, (1.18) 式中，E和E:分别为第一相及第二相成分的弹性模量，V和V:分别为第一相及 第二相成分的体积分数 实验证明，由式(1,18)计算得到的Eu为两相系统弹性模量的最高值，因此也称 为上限模量。式(1.18)用来近似估算金属陶瓷、玻璃纤维、增强塑料以及在玻璃质基
9 第1章无机材料的受力形变 体中含有晶体的半透明材料的弹性模量可以得到比较满意的结果】 如果假定两相所受的应力相同，则由下式可以得到两相系统弹性模量的最低值 E。该值也叫下限模量： (1.19) 许多无机材料往往不是完全致密的，此时材料中存在的气孔也可以作为第二相 进行处理，但气孔的弹性模量为零，因此就不能应用式(1.18)和式(1.19)。对连续基 体内的密闭气孔，一般可用下面经验公式计算弹性模量 E=E(1-1.9P+0.9P2) (1.20) 式中，E。为材料无气孔时的弹性模量；P为气 0 孔率。当气孔率达50%时此式仍可用。如果 弹性模品 0.8 0性模盘 气孔变成连续相，则其影响将比式(1.20)计算 的还要大。图1.6为氧化铝的相对弹性模量 ,按公式计算的结果 与按式(1.20)计算的曲线的比较，可以看出， 直到气孔率接近50%时理论计算与实验结果 04 实验结果 仍符合得很好。 02 值得指出的是，气孔对材料弹性模量的影 响还在很大程度上取决于气孔的形状。在考 0 020.4 0.6 0.81.0 虑了气孔形状的影响后，材料气孔率与弹性模 气率 量之间关系的最佳拟合形式为 图1,6氧化铝陶瓷相对弹性模 E=E6(1-bP) (1.21) 量随气孔率的变化关系 式中，b是一个随材料而变化的经验常数，它表征了气孔的特征，其中包括气孔的形状。 1.2.5弹性模量的测定 无机材料的弹性模量通常可以采用静态法和动态法两种方法进行测试。 静态法采用常规的三点弯曲加载方式，通过测定试样的应力应变曲线（实际操 作中大多测定试样的跨中垂度随荷截的变化关系)，在曲线的线弹性范围内确定材料 的弹性模量。为了保证测试的精度，通常需要在正式测读应力应变关系之前，先在 低荷载范围内对试样进行几次反复的加载、卸载，以消除试件在承载初期可能出现的 各种非线性变形，如试件与加载系统支点间的虚接触等。之后，一般采用试验机动梁 位移速率0.5mm/min对试样进行加载，记录相应的应力-应变曲线。在线弹性范围 内，测得的应力应变曲线应该为一条较为理想的直线，在该直线上任意选取两点计 算出其斜率即为弹性模量值。 在采用静态法测得材料的弹性模量时，所使用的试样高度应为跨距的15~20倍，以 保证试样在承载过程中严格处于纯弯曲状态，这样就可以使得测得的弹性模量不受弯曲 梁内剪切应力的影响。常用的试样尺寸一般为高3mm、宽4mm、跨距50~60mm